कोपलानर वैक्टर क्या हैं? (हल किए गए अभ्यास के साथ) - शारीरिक - 2025

समतलीय वैक्टर या समतलीय उन जो एक ही विमान पर निहित हैं कर रहे हैं। जब केवल दो वैक्टर होते हैं, तो ये हमेशा कोप्लानर होते हैं, क्योंकि अनंत विमान होते हैं, उनमें से किसी एक को चुनना हमेशा संभव होता है।

यदि आपके पास तीन या अधिक वैक्टर हैं, तो यह हो सकता है कि उनमें से कुछ अन्य के समान विमान में नहीं हैं, इसलिए उन्हें कोपलानर नहीं माना जा सकता है। निम्नलिखित आंकड़ा बोल्ड ए, बी, सी और डी में दर्शाए गए कोपलानर वैक्टर का एक सेट दिखाता है:

चित्र 1. चार कोपलानर वैक्टर। स्रोत: स्व बनाया

वैक्टर विज्ञान और इंजीनियरिंग के लिए प्रासंगिक भौतिक मात्रा के व्यवहार और गुणों से संबंधित हैं; उदाहरण के लिए वेग, त्वरण और बल।

एक बल एक वस्तु पर अलग-अलग प्रभाव पैदा करता है जब इसे लागू किया जाता है, तो विविधता होती है, उदाहरण के लिए तीव्रता, दिशा और दिशा बदलकर। यहां तक ​​कि इन मापदंडों में से केवल एक को बदलने से परिणाम काफी भिन्न होते हैं।

कई अनुप्रयोगों में, दोनों स्टैटिक्स और डायनेमिक्स में, एक शरीर पर अभिनय करने वाले बल एक ही विमान पर होते हैं, इसलिए उन्हें कोपलानर माना जाता है।

वैक्टर के लिए स्थितियाँ कॉपलनार होने की

तीन वैक्टर को कॉपलनार होने के लिए उन्हें एक ही विमान में लेटना चाहिए और ऐसा तब होता है जब वे निम्नलिखित में से किसी भी स्थिति को पूरा करते हैं:

-वेक्टर समानांतर होते हैं, इसलिए उनके घटक आनुपातिक और रैखिक रूप से निर्भर होते हैं।

-आपका मिश्रित उत्पाद अशक्त है।

-यदि आपके पास तीन वैक्टर हैं और उनमें से किसी को अन्य दो के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है, तो ये वैक्टर कॉपलनार हैं। उदाहरण के लिए, एक वेक्टर जो दो अन्य लोगों के योग के परिणामस्वरूप होता है, तीनों एक ही विमान में होते हैं।

वैकल्पिक रूप से, कॉपलनारिटी स्थिति को निम्नानुसार सेट किया जा सकता है:

तीन वैक्टर के बीच मिश्रित उत्पाद

वैक्टर के बीच मिश्रित उत्पाद को तीन वैक्टर यू, वी और डब्ल्यू के साथ परिभाषित किया गया है , जिसके परिणामस्वरूप एक स्केलर होता है जो निम्नलिखित ऑपरेशन करने के परिणामस्वरूप होता है:

u · (v x w) = u · (v x w)

सबसे पहले, कोष्ठक में जो क्रॉस उत्पाद होता है: v x w , जिसका परिणाम विमान के लिए एक सामान्य सदिश (सीधा) है जिसमें v और w दोनों झूठ बोलते हैं ।

यदि u, v और w के समान विमान पर है , तो स्वाभाविक रूप से u के बीच स्केलर उत्पाद (डॉट उत्पाद) और कहा कि सामान्य वेक्टर 0. होना चाहिए। इस तरह से यह सत्यापित किया जाता है कि तीन वैक्टर कॉपलनार हैं (वे एक ही विमान पर झूठ बोलते हैं)।

जब मिश्रित उत्पाद शून्य नहीं होता है, तो इसका परिणाम समांतर चतुर्भुज की मात्रा के बराबर होता है जिसमें आसन्न पक्षों के रूप में वैक्टर यू , वी और डब्ल्यू होता है।

अनुप्रयोग

कोपलानार, समवर्ती और गैर-कोलीनियर बल

समवर्ती बल सभी एक ही बिंदु पर लागू होते हैं। यदि वे भी कॉपलनर हैं, तो उन्हें एक एकल द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिसे परिणामी बल कहा जाता है और मूल बलों के समान प्रभाव होता है।

यदि कोई शरीर तीन कोप्लानर बलों के समतुल्य है, तो समवर्ती और गैर-समवर्ती (समानांतर नहीं), जिसे ए , बी और सी कहा जाता है, लामि का प्रमेय इंगित करता है कि इन बलों (परिमाण) के बीच संबंध निम्नलिखित है:

A / sin α = B / sin = = C / sin =

Α, और β के साथ लागू बलों के विपरीत कोण के रूप में, जैसा कि निम्नलिखित आंकड़े में दिखाया गया है:

चित्रा 2. तीन कॉपलनार ए, बी और सी एक वस्तु पर कार्य करते हैं। स्रोत: अंग्रेजी विकिपीडिया पर किवावोक

हल किया अभ्यास

-अभ्यास 1

K का मान ज्ञात कीजिए ताकि निम्नलिखित वैक्टर कोप्लानर हो:

u = <-3, के, 2>

v = <4, 1, 0>

डब्ल्यू = <-1, 2, -1>

उपाय

चूंकि हमारे पास वैक्टर के घटक हैं, इसलिए मिश्रित उत्पाद की कसौटी का उपयोग किया जाता है, इसलिए:

u (v x w) = 0

पहले v x w को हल करें । वैक्टर को यूनिट वैक्टर i, j और k के संदर्भ में व्यक्त किया जाएगा जो अंतरिक्ष में तीन लंबवत दिशाओं (चौड़ाई, ऊंचाई और गहराई) को भेद करते हैं:

v = 4 i + j + 0 k

w = -1 i + 2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - ४ (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i = 4 j + ९ k

अब हम यू और वेक्टर के बीच अदिश उत्पाद पर विचार करते हैं, जो पिछले ऑपरेशन से उत्पन्न हुआ है, ऑपरेशन को 0 के बराबर सेट करना:

u (v x w) = (-3 i + k j + 2 k) · (-2 i + 4 j + ९ k) = ६ + ४k +१ 0 = ०

24 + 4k = 0

मांगा गया मूल्य है: k = - 6

तो वेक्टर यू है:

u = <-3, -6, 2>

-उपचार 2

आकृति एक ऐसी वस्तु दिखाती है जिसका वजन डब्ल्यू = 600 एन है, जो आंकड़े में दिखाए गए कोणों पर रखे गए केबलों के कारण संतुलन के लिए लटका हुआ है। 3. क्या इस स्थिति में लैमी का प्रमेय लागू करना संभव है? किसी भी स्थिति में, T ₁, T ₂ और T ₃ के परिमाण ज्ञात करें जो संतुलन को संभव बनाते हैं।

चित्र 3. दिखाए गए तीन तनावों की कार्रवाई के तहत संतुलन संतुलन में लटका रहता है। स्रोत: स्व बनाया

उपाय

इस स्थिति में लेमी का प्रमेय तब लागू होता है जब जिस नोड पर तीन तनाव लगाए जाते हैं, उस पर विचार किया जाता है, क्योंकि वे कोपलानर बलों की एक प्रणाली का गठन करते हैं। सबसे पहले, फांसी वजन के लिए मुक्त शरीर आरेख, टी ₃ की परिमाण निर्धारित करने के लिए किया जाता है _:

चित्रा 4. फांसी के वजन के लिए मुक्त शरीर आरेख। स्रोत: स्व बनाया

संतुलन स्थिति से यह निम्नानुसार है:

बलों के बीच के कोणों को निम्नलिखित आंकड़े में लाल रंग में चिह्नित किया गया है, यह आसानी से सत्यापित किया जा सकता है कि उनकी राशि 360º है। अब लैमी की प्रमेय को लागू करना संभव है, क्योंकि बलों में से एक और उनके बीच के तीन कोण ज्ञात हैं:

चित्र 5. लैमी के प्रमेय को लागू करने के लिए कोणों को लाल करें। स्रोत: स्व बनाया

टी ₁ / पाप 127 ₁ = डब्ल्यू / पाप 106 /

इसलिए: टी ₁ = पाप 127º (डब्ल्यू / पाप 106 =) = 498.5 एन

फिर से लैमी की प्रमेय को टी _{2 के} हल के लिए लागू किया जाता है:

टी ₂ / पाप 127 = टी ₁ / पाप 127 /

टी ₂ = टी ₁ = 498.5 एन

संदर्भ

1. फिगेरोआ, डी। सीरीज: फिजिक्स फॉर साइंसेज एंड इंजीनियरिंग। मात्रा 1. काइनेमेटिक्स। 31-68।
2. शारीरिक। मॉड्यूल 8: वैक्टर। से पुनर्प्राप्त: frtl.utn.edu.ar
3. हिबेलर, आर। 2006. मैकेनिक्स फॉर इंजीनियर्स। स्थिर छठा संस्करण। महाद्वीपीय प्रकाशन कंपनी। 28-66।
4. मैकलीन, डब्ल्यू। शाउम सीरीज़। इंजीनियर्स के लिए मैकेनिक्स: स्टेटिक्स और डायनेमिक्स। तीसरा संस्करण। मैकग्रा हिल। 1-15।
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