- समीकरण
- समतल में रेखा का समीकरण
- तिरछी रेखाओं के उदाहरण
- प्रकाश की किरणें
- लाइनें जो एक ही विमान में नहीं हैं
- संदर्भ
परोक्ष लाइनों या तो एक सपाट सतह या अन्य लाइन के सापेक्ष उन है कि झुका रहे हैं, एक विशेष पते का संकेत कर रहे हैं। एक उदाहरण के रूप में, एक विमान में खींची गई तीन पंक्तियों पर विचार करें जो निम्न आकृति में दिखाई देती हैं।
हम उनके संबंधित पदों को जानते हैं क्योंकि हम उनकी तुलना एक संदर्भ पंक्ति से करते हैं, जो आमतौर पर क्षैतिज को दर्शाती एक्स-एक्सिस है।
चित्र 1. एक ही विमान में लंबवत, क्षैतिज और तिरछी रेखाएँ। स्रोत: एफ। ज़पाटा
इस तरह, क्षैतिज को संदर्भ के रूप में चुनना, बाईं ओर की रेखा ऊर्ध्वाधर है, केंद्र में एक क्षैतिज है और दाईं ओर एक तिरछा है, क्योंकि यह दैनिक संदर्भ लाइनों के संबंध में झुका हुआ है।
अब, एक ही तल पर होने वाली रेखाएं, जैसे कि कागज या स्क्रीन की सतह, एक दूसरे के सापेक्ष विभिन्न पदों पर कब्जा करती हैं, इस पर निर्भर करती है कि वे अंतरंग हैं या नहीं। पहले मामले में वे एकांत रेखाएं हैं, जबकि दूसरे में, वे समानांतर हैं।
दूसरी ओर, एकांत रेखाएँ तिरछी रेखाएँ या लंब रेखाएँ हो सकती हैं। दोनों ही मामलों में, रेखाओं की ढलान अलग-अलग होती है, लेकिन तिरछी रेखाएँ कोण α और उनके बीच sl, 90, से भिन्न होती हैं, जबकि लंब रेखाओं द्वारा निर्धारित कोण हमेशा 90º होते हैं।
निम्नलिखित आंकड़ा इन परिभाषाओं को सारांशित करता है:
चित्रा 2. लाइनों के बीच सापेक्ष स्थिति: समानांतर, तिरछा और सीधा उन कोणों में भिन्न होता है जो वे एक दूसरे के साथ बनाते हैं। स्रोत: एफ। ज़पाटा
समीकरण
समतल में रेखाओं की सापेक्ष स्थिति जानने के लिए, उनके बीच के कोण को जानना आवश्यक है। ध्यान दें कि लाइनें हैं:
समानांतर: यदि उनके पास एक ही ढलान (एक ही दिशा) है और कभी भी प्रतिच्छेद नहीं होता है, इसलिए उनके बिंदु समान होते हैं।
संयोग: जब इसके सभी बिंदु मेल खाते हैं और इसलिए समान ढलान है, लेकिन इसके बिंदुओं के बीच की दूरी शून्य है।
ड्रायर: यदि उनकी ढलान अलग हैं, तो उनके बिंदुओं के बीच की दूरी भिन्न होती है और चौराहा एक बिंदु होता है।
तो यह जानने का एक तरीका है कि क्या विमान में दो रेखाएं एकांत या समानांतर हैं, जो उनकी ढलान के माध्यम से हैं। लाइनों के समानांतरवाद और लंबता के मानदंड निम्नलिखित हैं:
यदि, विमान में दो रेखाओं के ढलान को जानते हुए, पिछले मानदंडों में से कोई भी पूरा नहीं हुआ है, तो हम निष्कर्ष निकालते हैं कि लाइनें तिरछी हैं। एक रेखा पर दो बिंदुओं को जानने के बाद, ढलान की तुरंत गणना की जाती है, जैसा कि हम अगले भाग में देखेंगे।
आप यह पता लगा सकते हैं कि क्या दो पंक्तियाँ उनके चौराहे को खोजने या उनके समानांतर समीकरणों की प्रणाली को हल करने से होती हैं: यदि कोई समाधान है, तो वे एकांत हैं, यदि कोई समाधान नहीं है, तो वे समानांतर हैं, लेकिन यदि समाधान अनंत हैं, तो रेखाएँ संयोग हैं।
हालांकि, यह मानदंड हमें इन पंक्तियों के बीच के कोण के बारे में सूचित नहीं करता है, भले ही वे अंतर हो।
रेखाओं के बीच के कोण को जानने के लिए, हमें दो वैक्टर यू और वी चाहिए, जो उनमें से प्रत्येक के हैं। इस प्रकार यह संभव है कि वे इस प्रकार परिभाषित किए गए वैक्टर के स्केलर उत्पाद के माध्यम से कोण बनाते हैं:
u • v = uvcos α
समतल में रेखा का समीकरण
कार्तीय तल की एक रेखा को कई तरीकों से दर्शाया जा सकता है, जैसे:
- ढलान-अवरोधन का रूप: यदि m रेखा का ढलान है और b ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ रेखा का चौराहा है, तो रेखा का समीकरण y = mx + b है।
- लाइन का सामान्य समीकरण: Ax + By + C = 0, जहां m = A / B ढलान है।
कार्टेशियन विमान में, ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज रेखाएं रेखा के समीकरण के विशेष मामले हैं।
- लंबवत रेखाएं: x = a
- क्षैतिज रेखाएँ: y = k
चित्रा 3. बाईं ओर खड़ी रेखा x = 4 और क्षैतिज रेखा y = 6. दाईं ओर तिरछी रेखा का उदाहरण है। स्रोत: एफ। ज़पाटा
आकृति 3 के उदाहरणों में, ऊर्ध्वाधर लाल रेखा में समीकरण x = 4 है, जबकि x- अक्ष (नीला) के समानांतर रेखा में समीकरण y = 6. समकोण रेखा के लिए है, हम देखते हैं कि यह तिरछा है और इसके समीकरण का पता लगाने के लिए हम चित्र में हाइलाइट किए गए बिंदुओं का उपयोग करते हैं: (0,2) और (4,0) इस तरह से:
ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ इस रेखा का कट y = 2 है, जैसा कि ग्राफ से देखा जा सकता है। इस जानकारी के साथ:
एक्स-अक्ष के संबंध में झुकाव के कोण का निर्धारण करना आसान है। मैं महसूस करता हूँ कि:
इसलिए x अक्ष से रेखा तक का सकारात्मक कोण है: 180 26 - 26.6 153 = 153.4 angle
तिरछी रेखाओं के उदाहरण
चित्रा 4. तिरछी रेखाओं के उदाहरण। स्रोत: फेनर्स इयान पैटरसन पीसा की झुकी मीनार। Pixabay।
ओब्लिक लाइनें कई स्थानों पर दिखाई देती हैं, यह उन्हें वास्तुकला, खेल, विद्युत आपूर्ति तारों, पाइपों और कई और स्थानों में खोजने के लिए ध्यान देने का विषय है। प्रकृति में तिरछी रेखाएँ भी मौजूद हैं, जैसा कि हम नीचे देखेंगे:
प्रकाश की किरणें
सूर्य का प्रकाश सीधी रेखा में यात्रा करता है, लेकिन पृथ्वी का गोल आकार प्रभावित करता है कि सूर्य की सतह कैसे टकराती है।
नीचे दी गई छवि में हम स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि सूर्य की किरणें उष्णकटिबंधीय क्षेत्रों में लंबवत रूप से प्रहार करती हैं, लेकिन इसके बजाय समशीतोष्ण क्षेत्रों में और ध्रुवों पर सतह तक पहुँचती हैं।
यही कारण है कि सूरज की किरणें वायुमंडल के माध्यम से लंबी दूरी की यात्रा करती हैं और गर्मी भी एक बड़ी सतह पर फैलती है (आंकड़ा देखें)। नतीजा यह है कि ध्रुवों के पास के क्षेत्र ठंडे हैं।
चित्रा 5. सूरज की किरणें समशीतोष्ण क्षेत्रों और ध्रुवों में विशिष्ट रूप से गिरती हैं, इसके बजाय वे उष्णकटिबंधीय में अधिक या कम लंबवत होती हैं। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स
लाइनें जो एक ही विमान में नहीं हैं
जब दो लाइनें एक ही विमान में नहीं होती हैं, तो वे अभी भी तिरछी या विकृत हो सकती हैं, क्योंकि वे भी जानी जाती हैं। इस मामले में, उनके निर्देशक वैक्टर समानांतर नहीं हैं, लेकिन चूंकि वे एक ही विमान से संबंधित नहीं हैं, इसलिए ये रेखाएं एक दूसरे को नहीं काटती हैं।
उदाहरण के लिए, आंकड़ा 6 दाईं ओर की रेखाएं स्पष्ट रूप से विभिन्न विमानों में हैं। यदि आप उन्हें ऊपर से देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि वे प्रतिच्छेदन करते हैं, लेकिन उनके पास एक सामान्य बिंदु नहीं है। दाईं ओर हम साइकिल के पहियों को देखते हैं, जिनके प्रवक्ता सामने से देखने पर क्रॉस करते हैं।
चित्र 6. विभिन्न विमानों से संबंधित ओब्लिक रेखाएँ। स्रोत: बाएं एफ। ज़पाटा, दाएँ पिकाबे।
संदर्भ
- ज्यामिति। एक लाइन के निर्देशक वेक्टर। से पुनर्प्राप्त: juanbragado.es।
- लार्सन, आर। 2006. एनालिटिकल ज्योमेट्री के साथ पथरी। 8। संस्करण। मैकग्रा हिल।
- गणित एक खेल है। रेखाएँ और कोण। से पुनर्प्राप्त: juntadeandalucia.es।
- सीधी रेखाएँ जो प्रतिच्छेद करती हैं। से पुनर्प्राप्त: profesoraltuna.com।
- आर 3 में विलेना, एम। विश्लेषणात्मक ज्यामिति। से पुनर्प्राप्त: dspace.espol.edu.ec।