शर्तों की कमी (हल किए गए अभ्यासों के साथ) - गणित - 2025

ऐसे शब्दों की कमी बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए प्रयोग की जाने वाली विधि है। एक बीजीय अभिव्यक्ति में, जैसे शब्द वे होते हैं जिनके समान चर होते हैं; अर्थात्, उनके पास एक पत्र द्वारा दर्शाए गए समान अज्ञात हैं, और उनके पास एक ही प्रतिपादक हैं।

कुछ मामलों में बहुपद व्यापक हैं, और एक समाधान पर पहुंचने के लिए अभिव्यक्ति को कम करने की कोशिश करनी चाहिए; यह संभव है जब ऐसे शब्द हों जो समान हों, जिन्हें जोड़कर और बीजीय गुणों जैसे जोड़, घटाव, गुणा और भाग को जोड़कर किया जा सकता है।

व्याख्या

जैसे शब्द समान घातांक के साथ समान चर से बने होते हैं, और कुछ मामलों में ये केवल उनके संख्यात्मक गुणांकों द्वारा विभेदित होते हैं।

समान शर्तों को भी माना जाता है जिनके पास चर नहीं हैं; यह है, उन शर्तों कि केवल स्थिरांक है। इसलिए, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित शब्द इस प्रकार हैं:

- 6x ² - 3x ² । दोनों शब्दों में एक ही चर x ^{2 है} ।

- 4 ए ² बी ³ + 2 ए ² बी ³ । दोनों शब्दों का एक ही चर ² b ^{3 है} ।

- 7 - 6. शब्द स्थिर हैं।

वे शब्द जिनके समान चर होते हैं, लेकिन विभिन्न घातांक वाले होते हैं, उन्हें भिन्न शब्द कहते हैं, जैसे:

- 9 ए ² बी + ⁵ ए बी। चर के विभिन्न घातांक होते हैं।

- 5x + y। चर अलग-अलग हैं।

- b - 8. एक शब्द में एक चर है, दूसरा एक स्थिर है।

बहुपद बनाने वाले समान शब्दों की पहचान करते हुए, इन्हें एक के साथ घटाया जा सकता है, उन सभी को मिलाकर जो समान घातांक के साथ समान होते हैं। इस तरह, अभिव्यक्ति की संख्या को कम करने के द्वारा सरल किया जाता है जो इसे रचना करता है और इसके समाधान की गणना की सुविधा होती है।

कैसे करें जैसे शब्दों की कमी?

इस तरह की शर्तों की कटौती इसके अलावा और उत्पाद की वितरण संपत्ति की साहचर्य संपत्ति को लागू करने के द्वारा की जाती है। निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग करते हुए, एक अवधि में कमी की जा सकती है:

- पहले, जैसे शब्दों को समूहीकृत किया जाता है।

- समान शर्तों के गुणांक (संख्याएँ जो चर के साथ होती हैं) जोड़ दी जाती हैं या घटा दी जाती हैं, और जैसा कि मामला हो सकता है, सहयोगी, कम्यूटेटिव या वितरण गुण लागू होते हैं।

- फिर प्राप्त नई शर्तें लिखी गई हैं, उनके सामने यह संकेत है कि ऑपरेशन के परिणामस्वरूप।

उदाहरण

निम्नलिखित अभिव्यक्ति की शर्तों को कम करें: 10x + 3y + 4x + 5y।

उपाय

सबसे पहले, शर्तों को उन लोगों के समूह के लिए आदेश दिया जाता है जो समान हैं, कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी को लागू करते हैं:

10x + 3y + 4x + 5y = 10x + 4x + 3y + 5y।

फिर वितरण योग्य संपत्ति को लागू किया जाता है और चर के साथ आने वाले गुणांक को शब्दों की कमी प्राप्त करने के लिए जोड़ा जाता है:

10x + 4x + 3y + 5y

= (10 + 4) x + (3 + 5) y

= 14x + 8y

शब्दों की तरह कम करने के लिए, चर के साथ आने वाले गुणांक के संकेतों को ध्यान में रखना आवश्यक है। तीन संभावित मामले हैं:

समान संकेतों के साथ शब्दों की कमी

इस मामले में गुणांक जोड़ दिए जाते हैं और परिणाम के सामने शब्दों का चिह्न रखा जाता है। इसलिए, यदि वे सकारात्मक हैं, तो परिणामी शब्द सकारात्मक होंगे; इस मामले में कि शर्तें नकारात्मक हैं, परिणाम में चर के साथ साइन (-) होगा। उदाहरण के लिए:

a) 22ab ² + 12ab ² = 34 ab ² ।

b) -18x ³ - 9x ³ - 6 = -27x ³ - 6।

जैसे शब्दों की कमी c

इस मामले में, गुणांक घटाया जाता है, और परिणाम के सामने सबसे बड़े गुणांक का चिह्न रखा जाता है। उदाहरण के लिए:

a) 15x ² y - 4x ² y + 6x ² y - 11x ² y

= (15x ² y + 6x ² y) + (- 4x ² y - 11x ² y)

= 21x ² y + (-15x ² y)

= 21x ² y - 15x ² y

= 6x ² और।

ख) -5a ³ बी + 3 एक ³ ख - 4 ए ³ बी + एक ³ ख

= (3 a ³ b + a ³ b) + (-5a ³ b - 4a ³ b)

= 4 ए ³ बी - 9 ए ³ बी

= -5 से ³ बी।

इस तरह, समान शब्द जिनके अलग-अलग चिह्न हैं, को कम करने के लिए, एक एकल योगात्मक शब्द उन सभी के साथ बनता है जिनके पास सकारात्मक संकेत (+) है, गुणांक जोड़ दिए जाते हैं और परिणाम चर के साथ होता है।

उसी तरह, एक सबट्रैक्टिव शब्द बनता है, उन सभी शब्दों के साथ जिनमें नकारात्मक चिन्ह (-) होता है, गुणांक जुड़ जाते हैं और परिणाम चर के साथ होता है।

अंत में गठित दो शर्तों के योगों को घटाया जाता है, और परिणाम पर अधिक से अधिक का चिह्न रखा जाता है।

संचालन में शर्तों की कमी

जैसे शब्दों की कमी बीजगणित का एक ऑपरेशन है, जिसे इसके अलावा, घटाव, गुणा और बीजगणितीय विभाजन में लागू किया जा सकता है।

रकम में

जब आपके पास कई पॉलीओनियम्स जैसे शब्द होते हैं, तो उन्हें कम करने के लिए, प्रत्येक बहुपद की शर्तों को उनके संकेतों को रखने का आदेश दिया जाता है, फिर उन्हें एक के बाद एक लिखा जाता है और जैसे शब्द कम हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, हमारे पास निम्नलिखित बहुपद हैं:

3x - 4xy + 7x ² और + 5xy ² ।

- 6x ² y - 2xy + 9 xy ² - 8x।

घटाव में

एक बहुपद को दूसरे से घटाने के लिए, minuend लिखा जाता है और फिर इसके संकेतों के साथ सबट्रेंड बदल जाता है, और फिर समान शब्दों की कटौती की जाती है। उदाहरण के लिए:

5 ए ³ - 3AB ² + 3 बी ² सी

6ab ² + 2a ³ - 8b ² c

इस प्रकार, बहुपदों को 3a ³ - 9ab ² + 11b ² c से संक्षेपित किया जाता है ।

गुणा में

बहुपद के एक उत्पाद में, गुणक बनाने वाले शब्द प्रत्येक शब्द से गुणा किए जाते हैं जो गुणक बनाता है, यह देखते हुए कि गुणन के संकेत समान हैं यदि वे सकारात्मक हैं।

वे केवल तब बदले जाएंगे जब किसी शब्द के गुणन में वह ऋणात्मक हो; यही है, जब एक ही संकेत के दो शब्द गुणा किए जाते हैं तो परिणाम सकारात्मक (+) होगा, और जब उनके पास अलग-अलग संकेत होंगे तो परिणाम नकारात्मक (-) होगा।

उदाहरण के लिए:

a) (a + b) _* (a + b)

= एक ² + अब + एबी + बी ²

= एक ² + 2ab + b ² ।

बी) (ए + बी) _* (ए - बी)

= एक ^२ - अब + अब - बी ^२

= एक ² - बी ² ।

ग) (ए (बी) _* (ए - बी)

= एक ² - एबी - एबी + बी ²

= एक ² - 2ab + बी ² ।

विभाजनों में

जब आप एक विभाजन के माध्यम से दो बहुपद को कम करना चाहते हैं, तो आपको तीसरे बहुपद को खोजना होगा, जब दूसरे (भाजक) से गुणा किया जाता है, तो पहले बहुपद (लाभांश) में परिणाम होता है।

उसके लिए, लाभांश और विभाजक की शर्तों को आदेश दिया जाना चाहिए, बाएं से दाएं, ताकि दोनों में चर एक ही क्रम में हों।

फिर विभाजन का प्रदर्शन किया जाता है, डिवाइडर के बाईं ओर पहले शब्द से लाभांश के बाईं ओर पहले शब्द से शुरू होता है, हमेशा प्रत्येक शब्द के संकेतों को ध्यान में रखता है।

उदाहरण के लिए, बहुपद को कम करें: 10x ⁴ - 48x ³ y + 51x ² और ² + 4xy ³ - 15y ⁴ इसे बहुपद ^{द्वारा} विभाजित करें: -5x ² + 4xy + 3y ² ।

परिणामी बहुपद -2x ² + 8xy - 5y ^{2 है} ।

हल किया अभ्यास

पहला व्यायाम

दिए गए बीजीय अभिव्यक्ति की शर्तों को कम करें:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab - 9 + 4a ² - 13 ab।

उपाय

इसके अलावा, वैधानिक संपत्ति को लागू किया जाता है, जो समान चर वाले शब्दों को समूहित करते हैं:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= (15a ² + 6a ² + 4a ²) + (- 8ab - 6ab) + (9 - 13)।

फिर गुणन की वितरणशील संपत्ति लागू होती है:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= (15 + 6 + 4) एक ² + (- 8 - 6) ab + (9 - 13)।

अंत में, प्रत्येक पद के गुणांकों को जोड़कर और घटाकर उनका सरलीकरण किया जाता है:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= 25 ए ² - 14ab - 4।

दूसरा व्यायाम

निम्नलिखित बहुपद के उत्पाद को सरल बनाएँ:

(8x ³ + 7xy ²) _* (8x ³ - 7 xy ²)।

उपाय

पहले बहुपद के प्रत्येक शब्द को दूसरे से गुणा किया जाता है, यह ध्यान में रखते हुए कि शब्दों के संकेत अलग-अलग हैं; इसलिए, इसके गुणन का परिणाम नकारात्मक होगा, साथ ही घातांक के कानून भी लागू होने चाहिए।

(8x ³ + 7xy ²) _* (8x ³ - 7xy ²)

= 64 x ⁶ - 56 x ³ _* xy ² + 56 x ³ _* xy ² - 49 x ² y ⁴

= 64 x ⁶ - 49 x ² y ⁴ ।

संदर्भ

1. एंजल, एआर (2007)। प्राथमिक बीजगणित। पियर्सन शिक्षा,
2. बाल्डोर, ए। (1941)। बीजगणित। हवाना: संस्कृति।
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4. स्मिथ, एसए (2000)। बीजगणित। पियर्सन शिक्षा।
5. विजिल, सी। (2015)। बीजगणित और उसके अनुप्रयोग।