अक्षीय समरूपता: गुण, उदाहरण और अभ्यास - गणित - 2025

अक्षीय समरूपता एक सीधे द्विभाजक से एक और व्यक्ति की अंकों के साथ एक आंकड़ा मेल खाना के अंक समरूपता की धुरी कहते है। इसे रेडियल, घूर्णी या बेलनाकार समरूपता भी कहा जाता है।

यह आमतौर पर ज्यामितीय आंकड़ों में लगाया जाता है, लेकिन यह प्रकृति में आसानी से देखने योग्य है, क्योंकि तितलियों, बिच्छू, भिंडी या मनुष्यों जैसे जानवर हैं जो अक्षीय समरूपता दिखाते हैं।

टोरंटो शहर के क्षितिज और पानी में इसके प्रतिबिंब की इस तस्वीर में अक्षीय समरूपता प्रदर्शित की गई है। (स्रोत: पिक्साबे)

अक्षीय सममिति कैसे खोजें

एक पंक्ति (L) के संबंध में एक बिंदु P के अक्षीय समरूपता P 'को खोजने के लिए, निम्नलिखित ज्यामितीय संचालन किए जाते हैं:

1.- रेखा के लंबवत (L) जो बिंदु P से होकर गुजरती है।

2.- दो रेखाओं का अवरोध एक बिंदु O निर्धारित करता है।

3.- सेगमेंट पीओ की लंबाई को मापा जाता है, फिर इस लंबाई को बिंदु P से निर्धारित करते हुए P से O की दिशा में O से शुरू होने वाली रेखा (PO) पर कॉपी किया जाता है।

4.- बिंदु P 'अक्ष (L) के संबंध में बिंदु P का अक्षीय सममिति है, क्योंकि रेखा (L) खंड PP का द्विभाजक है, जो कि उक्त खंड का मध्य बिंदु O है।

चित्र 1. दो बिंदु P और P 'अक्षीय (L) अक्षीय रूप से सममित हैं यदि अक्ष अक्ष खंड PP का द्विभाजक है'

अक्षीय समरूपता के गुण

- अक्षीय समरूपता सममितीय है, अर्थात्, एक ज्यामितीय आकृति की दूरी और इसके समरूपता संरक्षित हैं।

- एक कोण और उसके सममिति का माप बराबर है।

- समरूपता के अक्ष पर एक बिंदु का अक्षीय समरूपता ही बिंदु है।

- समरूपता के अक्ष के समानांतर एक रेखा की सममितीय रेखा भी उक्त अक्ष के समानांतर एक रेखा है।

- समरूपता की धुरी के लिए एक सेकेंडरी लाइन में सममित रेखा के रूप में एक और सेकंड लाइन होती है, जो मूल रेखा पर समान बिंदु पर समरूपता की धुरी को काटती है।

- एक रेखा की सममित छवि एक अन्य रेखा है जो मूल रेखा के समान माप के समरूपता के अक्ष के साथ एक कोण बनाती है।

- समरूपता के अक्ष के लिए लंबवत एक रेखा की सममित छवि एक और रेखा है जो पहले वाले को ओवरलैप करती है।

- एक रेखा और इसकी अक्षीय सममितीय रेखा एक कोण बनाती है जिसका द्विभाजक सममिति का अक्ष है।

चित्रा 2. अक्षीय समरूपता दूरी और कोण को संरक्षित करती है।

अक्षीय समरूपता के उदाहरण

प्रकृति अक्षीय समरूपता के प्रचुर उदाहरण प्रदर्शित करती है। उदाहरण के लिए, आप कई अन्य लोगों के अलावा चेहरे, कीड़े जैसे तितलियों, शांत पानी की सतहों और दर्पणों पर प्रतिबिंब या पौधों की पत्तियों को देख सकते हैं।

चित्रा 3. यह तितली सही अक्षीय समरूपता के पास प्रदर्शित होती है। (स्रोत: पिक्साबे)

चित्र 4. इस लड़की के चेहरे में अक्षीय समरूपता है। (स्रोत: पिक्साबे)

अक्षीय समरूपता अभ्यास

अभ्यास 1

हमारे पास ए, बी और सी के त्रिकोण हैं जिनके कार्टेशियन निर्देशांक क्रमशः ए = (2, 5), बी = (1, 1) और सी = (3,3) हैं। Y अक्ष (निर्देशांक अक्ष) के बारे में त्रिभुज सममिति के कार्टेशियन निर्देशांक का पता लगाएं।

समाधान: यदि किसी बिंदु P में निर्देशांक (x, y) है तो उसके सममित अक्ष (Y अक्ष) के बारे में P '= (- x, y) है। दूसरे शब्दों में, इसके अनुपस्थिति के मूल्य में परिवर्तन होता है, जबकि समन्वय का मूल्य समान रहता है।

इस मामले में, लंबवत A ', B' और C 'वाले सममित त्रिकोण में निर्देशांक होंगे:

ए '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) और C' = (- 3, 3) जैसा कि आकृति 6 में देखा जा सकता है।

चित्र 6. यदि किसी बिंदु में निर्देशांक (x, y) है, तो Y अक्ष (निर्देशांक अक्ष) के संबंध में इसके सममिति में निर्देशांक (-x, y) होंगे।

व्यायाम २

त्रिभुज ABC और इसके सममित A'B'C के संदर्भ में व्यायाम 1 से, यह जांचें कि मूल त्रिभुज की संगत भुजाएं और इसका सममित एक समान लंबाई है।

समाधान: हम यूक्लिडियन दूरी सूत्र का उपयोग करने वाले पक्षों की दूरी या लंबाई जानने के लिए:

d (A, B) = √ ((Bx - Axe) ^ 2 + (द्वारा - Ay) ^ 2) =) ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ (- (1)) ^ 2 + (-4) ^ 2) = 17 (17) = 4.123

संबंधित सममित पक्ष A'B 'की लंबाई की गणना नीचे की गई है:

d (A ', B') = √ (((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = -4 ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = 17 (17) = 4.123

इस तरह, यह सत्यापित है कि अक्षीय समरूपता दो बिंदुओं के बीच की दूरी को बनाए रखती है। प्रक्रिया को त्रिकोण के अन्य दो पक्षों और इसकी सममित के लिए दोहराया जा सकता है ताकि लंबाई में आक्रमण की जांच की जा सके। उदाहरण के लिए -एसी- = -'''''- = =5 = 2,236।

व्यायाम ३

व्यायाम 1 से त्रिभुज ABC और इसके सममित A'B'C के संबंध में, जाँचें कि मूल त्रिभुज के संगत कोण और उसके सममित का एक ही कोणीय माप है।

समाधान: उपायों का निर्धारण करने के कोण की बीएसी और B'A'C ', हम पहले वैक्टर की अदिश उत्पाद की गणना करेगा एबी के साथ एसी और उसके बाद की अदिश उत्पाद A'B' के साथ A'C ' ।

याद रहे कि:

ए = (2, 5), बी = (1, 1) और सी = (3,3)

ए '= (- 2, 5); बी '= (- 1, 1) और सी' = (- 3, 3)।

यह है:

एबी = <1-2, 1-5> और एसी = <3-2, 3-5>

उसी प्रकार

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> और AC = <-3 + 2, 3-5>

फिर निम्नलिखित अदिश उत्पाद पाए जाते हैं:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

उसी प्रकार

A'B' -4A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ((-2) = -1 + 8 = 7

कोण BAC का माप है:

∡BAC = ARccOS (AB⋅AC / (- AB- ⋅- एसी)) =

आर्कोस (7 / (4,123⋅2,236)) = 40.6 /

इसी तरह, कोण B''C 'का माप है:

∡B'A'C '= आर्ककोस (A'B'AA'C' / (- A'B'- C- A'C'-)) =

आर्कोस (7 / (4,123⋅2,236)) = 40.6 /

उस अक्षीय सममिति को समाप्‍त करने से कोणों का माप संरक्षित होता है।

व्यायाम ४

आज्ञा देना एक बिंदु P निर्देशांक (a, b) का है। लाइन y = x के संबंध में इसके अक्षीय समरूपता P 'के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान: हम पंक्ति y = x के संबंध में सममित बिंदु P 'के निर्देशांक (a, b') को कॉल करेंगे। सेगमेंट PP 'के मिडपॉइंट M में निर्देशांक ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) है और यह लाइन y = x पर भी है, इसलिए निम्नलिखित समानता रखती है:

a + a '= b + b'

दूसरी ओर, सेगमेंट PP 'में ढलान -1 है क्योंकि यह ढलान 1 के साथ लाइन y = x पर लंबवत है, इसलिए निम्नलिखित समानता रखती है:

b - b '= a -a

पिछले दो समानताएँ 'और b' के लिए हल यह निष्कर्ष निकाला गया है कि:

a '= by that b' = a।

अर्थात्, एक बिंदु P (a, b), रेखा y = x के संबंध में इसकी अक्षीय समरूपता P '(b, a) है।

संदर्भ

1. एर्स एम।, ब्लाज़ज़ एस और अन्य। विमान का रूपांतरण। से पुनर्प्राप्त: educationutmxli.files.wordpress.com
2. गणना सी.सी. अक्षीय समरूपता। से पुनर्प्राप्त: कैलकुलेट करें
3. Superprof। अक्षीय समरूपता। से पुनर्प्राप्त: superprof.es
4. विकिपीडिया। अक्षीय समरूपता। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.com
5. विकिपीडिया। वृत्ताकार समरूपता। से पुनर्प्राप्त: en.wikipedia.com