दो बिंदुओं A और A में एक बिंदु O के संबंध में केंद्रीय समरूपता है जब खंड AA 'इससे होकर गुजरता है और यह AA का मध्य बिंदु भी है।' बिंदु O को समरूपता का केंद्र कहा जाता है।
एक बिंदु O के संबंध में एक त्रिभुज ABC का केंद्रीय सममिति, एक अन्य त्रिभुज A'B'C है जिसमें निम्नलिखित विशेषताएं हैं:
-होमोलोगस खंड समान लंबाई के होते हैं
-उनकी संगत कोणों का माप समान है।
चित्र 1. त्रिभुज ABC और इसका सममित A'B'C '। स्रोत: एफ। ज़पाटा
चित्र 1 एक त्रिभुज ABC (लाल) और उसके केंद्रीय समरूपता A'B'C '(हरा) को दर्शाता है, समरूपता O के केंद्र के संबंध में है।
इसी आंकड़े में, एक चौकस पर्यवेक्षक को एहसास होगा कि मूल त्रिकोण के रोटेशन को लागू करने से एक ही परिणाम प्राप्त होता है, जब तक कि यह 180º है और ओ पर केंद्रित है।
इसलिए, एक केंद्रीय समरूपता समरूपता के केंद्र के संबंध में 180 with मोड़ के बराबर है।
केंद्रीय समरूपता के गुण
एक केंद्रीय समरूपता में निम्नलिखित गुण होते हैं:
-समिति का केंद्र उस खंड का मध्य बिंदु है जो अपनी समरूपता के साथ एक बिंदु से जुड़ता है।
दूसरे का एक सममित बिंदु जो समरूपता के केंद्र में स्थित है, समरूपता के केंद्र के साथ मेल खाता है।
-एक त्रिभुज की केंद्रीय सममिति मूल के लिए एक त्रिभुज त्रिभुज (बराबर) है।
-एक वृत्त की केंद्रीय समरूपता द्वारा छवि समान त्रिज्या का एक और चक्र है।
-इस परिधि में अपने केंद्र के संबंध में केंद्रीय समरूपता है।
चित्रा 2. केंद्रीय समरूपता के साथ डिजाइन। स्रोत: पिक्साबे
-लिपि में अपने केंद्र के संबंध में केंद्रीय समरूपता है।
-इस खंड में मध्य बिंदु के संबंध में केंद्रीय समरूपता है।
-इस समबाहु त्रिभुज में केंद्र के संबंध में केंद्रीय समरूपता नहीं है, क्योंकि इसकी समरूपता, हालांकि पहले के अनुरूप है, एक घूर्णी समबाहु त्रिभुज देता है।
-चौकों में उनके केंद्र के संबंध में केंद्रीय समरूपता होती है।
-पेंटागोन में अपने केंद्र के संबंध में केंद्रीय समरूपता का अभाव है।
-Regular बहुभुज केंद्रीय समरूपता है जब उनके पास पक्षों की संख्या होती है।
उदाहरण
विज्ञान और इंजीनियरिंग में समरूपता मानदंडों के कई अनुप्रयोग हैं। केंद्रीय समरूपता प्रकृति में मौजूद है, उदाहरण के लिए बर्फ के क्रिस्टल और कोबवे में इस तरह की समरूपता है।
इसके अलावा, केंद्रीय समरूपता और अन्य प्रकार के समरूपता के अस्तित्व का लाभ उठाते समय कई समस्याएं आसानी से हल हो जाती हैं। इसलिए, यह तब होता है जब यह जल्दी से पहचान करने के लिए सुविधाजनक है।
चित्रा 3. बर्फ के क्रिस्टल में केंद्रीय समरूपता होती है। स्रोत: पिक्साबे
उदाहरण 1
निर्देशांक (a, b) के एक बिंदु P को देखते हुए, हमें निर्देशांक (0, 0) के मूल O के संबंध में इसके सममित P 'के निर्देशांक खोजने होंगे।
बिंदु P 'का निर्माण करने वाली पहली चीज है, जिसके लिए एक रेखा खींची जाती है जो मूल O से होकर गुजरती है और बिंदु P से। इस रेखा का समीकरण y = (b / a) x है।
अब आइए सममित बिंदु P 'के निर्देशांक (a, b') को कॉल करें। बिंदु P 'को उस रेखा पर लेटना चाहिए जो O से होकर गुजरती है और इसलिए यह सत्य है: b' = (b / a) a '। इसके अलावा, ओपी की दूरी ओपी के बराबर होनी चाहिए, जो विश्लेषणात्मक रूप में इस तरह लिखा जाता है:
+ (एक 2 + बी 2) = √ (एक ' 2 + बी' 2)
निम्नलिखित बी को = पिछली अभिव्यक्ति में और वर्गमूल को समाप्त करने के लिए समानता के दोनों पक्षों को प्रतिस्थापित करना है: (2 + बी 2) =
सामान्य कारक को निकालने और सरल करने से, हमें यह मिलता है कि ' 2 = 2 । इस समीकरण के दो वास्तविक समाधान हैं: a '= + or a' = -a।
B 'प्राप्त करने के लिए, हम फिर से b' = (b / a) a 'का उपयोग करते हैं। यदि 'के सकारात्मक समाधान को प्रतिस्थापित किया जाता है, तो हम उस b' = b पर पहुंचते हैं। और जब नकारात्मक समाधान प्रतिस्थापित किया जाता है, तो b '= -b।
सकारात्मक समाधान P 'के लिए समान बिंदु P देता है, इसलिए इसे छोड़ दिया जाता है। नकारात्मक समाधान निश्चित रूप से सममित बिंदु के निर्देशांक देता है:
पी ': (-ए, -बी)
उदाहरण 2
यह दिखाना आवश्यक है कि एक खंड AB और उसके केंद्रीय सममित A'B की लंबाई समान है।
बिंदु A के समन्वय के साथ शुरू, जो (Ax, Ay) और बिंदु B के हैं: (Bx, By), खंड AB की लंबाई निम्न द्वारा दी गई है:
d (AB) = √ ((Bx - Ax) 2 + (द्वारा - Ay) 2)
सादृश्य से, सममित खंड A'B 'द्वारा दी गई लंबाई होगी:
d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ') 2 + (द्वारा -' Ay ') 2)
सममित बिंदु A 'के निर्देशांक Ax' = -Ax और Ay '= -Ay हैं। इसी प्रकार B 'के' Bx '= -Bx और By' = -By हैं। यदि ये निर्देशांक हमारे पास दूरी d (A'B ') के समीकरण में प्रतिस्थापित किए जाते हैं:
d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) 2 + (-By + Ay) 2) जो इसके समतुल्य है:
X ((बीएक्स - एक्स) 2 + (द्वारा - अय) 2) = डी (एबी)
इस प्रकार दिखाया जा रहा है कि दोनों खंडों की लंबाई समान है।
हल किया अभ्यास
- अभ्यास 1
विश्लेषणात्मक रूप से दिखाएं कि त्रिज्या R और केंद्र O के एक वृत्त का केंद्रीय सममित O एक ही मूल चक्र है।
उपाय
त्रिज्या R और केंद्र O (0,0) के साथ एक वृत्त का समीकरण है:
x 2 + y 2 = R 2 (परिधि C का समीकरण)
यदि निर्देशांक के परिधि y के प्रत्येक बिंदु पर (x, y) निर्देशांक का x (y, y)) सममित है, तो सममित परिधि का समीकरण है:
x ' 2 + y' 2 = R 2 (सममितीय वृत्त C का समीकरण)
अब हम उदाहरण 1 के परिणाम का उल्लेख करते हैं, जिसमें यह निष्कर्ष निकाला गया है कि एक बिंदु P 'के निर्देशांक, P के सममित और निर्देशांक (a, b), (-a -b) के साथ है।
लेकिन इस अभ्यास में, बिंदु P में निर्देशांक (x, y) है, इसलिए इसके सममित P 'में निर्देशांक x' = -xe y '= -y होगा। हमारे पास सममित सर्कल के समीकरण में इसे प्रतिस्थापित करना:
(-x) 2 + (-y) 2 = आर 2
जो इसके समतुल्य है: x 2 + y 2 = R 2, यह निष्कर्ष निकालता है कि इसके केंद्र के संबंध में एक वृत्त की केंद्रीय सममिति स्वयं चक्र है।
- व्यायाम २
ज्यामितीय रूप में दिखाएं कि केंद्रीय समरूपता कोणों को संरक्षित करती है।
उपाय
चित्रा 4. व्यायाम के लिए सममित बिंदुओं का निर्माण 2. स्रोत: एफ। ज़पाटा।
विमान पर ए, बी और सी तीन बिंदु हैं। इसके समरूपता A ', B' और C 'को समरूपता O के केंद्र के संबंध में बनाया गया है, जैसा कि चित्र 4 में दिखाया गया है।
अब हमें यह दिखाना चाहिए कि कोण ∡ABC = the में कोण showAB'C '=।' के समान माप है।
चूंकि C और C 'सममित हैं, तो OC = OC'। इसी तरह OB = OB 'और OA = OA'। दूसरी ओर, कोण OCBOC ='B'OC 'क्योंकि वे शीर्ष द्वारा विरोध किया जाता है।
इसलिए त्रिभुज BOC और B'OC 'सर्वांगसम हैं क्योंकि उनके बीच दो बराबर भुजाओं के बराबर कोण है।
चूँकि BOC B'OC 'के अनुरूप है, तो कोण γ और is' बराबर हैं। लेकिन ये कोण, γ = are 'को पूरा करने के अलावा, BC और B'C' के बीच के आंतरिक विकल्प हैं, जिसका अर्थ है कि BC BC, B'C के समानांतर है।
इसी तरह BOA B'OA 'के लिए बधाई है जिसमें से वह α = α' का अनुसरण करता है। लेकिन α और α 'बीए और बी' लाइन के बीच वैकल्पिक आंतरिक कोण हैं, जिससे यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि रेखा बीए बीए के समानांतर है।
चूंकि कोण parallelABC = β की भुजाएं कोण theA'B'C '= both' के साथ समानांतर हैं और दोनों ही तीव्र हैं, यह इस प्रकार है:
∡ABC = ∡A'B'C '= β = ∡'
इस तरह से साबित करना, कि केंद्रीय समरूपता कोणों के माप को संरक्षित करती है।
संदर्भ
- बाल्डोर, जेए 1973. विमान और अंतरिक्ष ज्यामिति। मध्य अमेरिकी सांस्कृतिक।
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- विकिपीडिया। कन्वेयर। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.com
- जैपाटा एफ। आंतरिक और बाहरी कोणों को मिलाते हैं। से पुनर्प्राप्त: lifeder.com