ऑक्टल सिस्टम: इतिहास, नंबरिंग सिस्टम, रूपांतरण - गणित - 2025

अष्टाधारी प्रणाली एक आधार-आठ (8) स्थितीय नंबर प्रणाली है, अर्थात्, इसमें आठ अंक होते हैं, जो हैं: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 और 7. इसलिए, प्रत्येक अष्टक संख्या के प्रत्येक अंक का मान 0 से 7. तक हो सकता है। अष्टक संख्या वे बाइनरी नंबर से बनते हैं।

ऐसा इसलिए है क्योंकि इसका आधार दो (2) की सटीक शक्ति है। यही है, संख्याएं जो अष्टक प्रणाली से संबंधित हैं, जब वे तीन लगातार अंकों में बांटी जाती हैं, तो दाएं से बाएं, इस प्रकार उनका दशमलव मान प्राप्त किया जाता है।

इतिहास

प्राचीन काल में अष्टक प्रणाली की उत्पत्ति हुई है, जब लोग अपने हाथों का इस्तेमाल आठ से आठ तक के जानवरों की गिनती के लिए करते थे।

उदाहरण के लिए, गायों की संख्या को स्थिर करने के लिए, दाहिने हाथ से गिनना शुरू किया, अंगूठे को छोटी उंगली से जोड़ना; फिर, दूसरे जानवर को गिनने के लिए, अंगूठे को तर्जनी के साथ जोड़ा गया, और इसी तरह प्रत्येक हाथ की शेष अंगुलियों के साथ 8 तक पूरा किया गया।

एक संभावना है कि प्राचीन समय में ऑक्टेल नंबरिंग प्रणाली का उपयोग दशमलव से पहले इंटरडिजिटल स्पेस को गिनने में सक्षम होने के लिए किया गया था; यही है, अंगूठे को छोड़कर सभी उंगलियों को गिनें।

बाद में ऑक्टल नंबरिंग सिस्टम स्थापित किया गया था, जो बाइनरी सिस्टम से उत्पन्न हुआ था, क्योंकि इसे केवल एक नंबर का प्रतिनिधित्व करने के लिए कई अंकों की आवश्यकता होती है; तब से, ऑक्टल और हेक्सागोनल सिस्टम बनाए गए थे, जिन्हें इतने अंकों की आवश्यकता नहीं होती है और आसानी से बाइनरी सिस्टम में परिवर्तित किया जा सकता है।

अष्टक संख्या प्रणाली

अष्टक प्रणाली में आठ अंक होते हैं जो 0 से 7 तक जाते हैं। दशमलव प्रणाली के मामले में इनका मूल्य समान होता है, लेकिन उनके स्थान के आधार पर उनके सापेक्ष मूल्य में परिवर्तन होता है। प्रत्येक स्थिति का मूल्य आधार 8 की शक्तियों द्वारा दिया गया है।

एक अष्टक संख्या में अंकों के पदों में निम्नलिखित भार हैं:

8 ⁴, 8 ³, 8 ², 8 ¹, 8 ⁰, अष्ट बिंदु, 8 ^-1, 8 ^-2, 8 ^-3, 8 ^-4, 8 ^-5 ।

सबसे बड़ा अष्टक अंक 7 है; इस प्रकार, इस प्रणाली में गिनती करते समय, अंक की स्थिति 0 से 7 तक बढ़ जाती है। 7 तक पहुंचने पर, इसे अगली गणना के लिए 0 पर पुनर्नवीनीकरण किया जाता है; इस तरह अगले अंक की स्थिति बढ़ जाती है। उदाहरण के लिए, अनुक्रमों को गिनने के लिए, अष्टक प्रणाली में यह होगा:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10।
• 53, 54, 55, 56, 57, 60।
• 375, 376, 377, 400।

एक मौलिक प्रमेय है जिसे अष्टक प्रणाली पर लागू किया जाता है, और इसे निम्नलिखित तरीके से व्यक्त किया जाता है:

इस अभिव्यक्ति में di आधार 8 की शक्ति से गुणा किए गए अंक का प्रतिनिधित्व करता है, जो प्रत्येक अंक के स्थान मान को इंगित करता है, उसी तरह जैसे कि यह दशमलव प्रणाली में आदेशित है।

उदाहरण के लिए, आपके पास संख्या 543.2 है। इसे अष्टक प्रणाली में लाने के लिए, यह निम्नानुसार टूटता है:

एन = 4 = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + (2 * 0.125)

एन = 320 +32 + 2 + 0.25 = 354 + 0.25 _डी

इस प्रकार, हमारे पास 543.2 _q = 354.25 _{d है} । सबस्क्रिप्टस्क्रिप्ट इंगित करता है कि यह एक अष्टक संख्या है जिसे संख्या 8 द्वारा भी दर्शाया जा सकता है; और सबस्क्रिप्ट डी दशमलव संख्या को संदर्भित करता है, जिसे संख्या 10 द्वारा भी दर्शाया जा सकता है।

ऑक्टल से दशमलव प्रणाली में रूपांतरण

दशमलव प्रणाली में समतुल्य अष्टक प्रणाली से एक संख्या को उसके समकक्ष में परिवर्तित करने के लिए, दाईं ओर से शुरू करके, प्रत्येक अष्टक अंक को उसके स्थान मान से गुणा करें।

उदाहरण 1

732 ₈ = (7 _* 8 ²) + (3 _* 8 ¹) + (2 _* 8 ⁰) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732 ₈ = 448 +25 +2

732 ₈ = 474 ₁₀

उदाहरण 2

26.9 ₈ = (2 _* 8 ¹) + (6 _* 8 ⁰) + (9 _* 8 ^-1) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0.125)

26.9 ₈ = 16 + 6 + 1.125

26.9 ₈ = 23.125 ₁₀

दशमलव से अष्टक प्रणाली में रूपांतरण

एक दशमलव पूर्णांक को बार-बार विभाजन विधि का उपयोग करके एक ऑक्टल संख्या में परिवर्तित किया जा सकता है, जहां दशमलव पूर्णांक 8 से विभाजित किया जाता है, जब तक कि भागफल 0 के बराबर नहीं होता है, और प्रत्येक विभाजन के अवशेष ओक्टल संख्या का प्रतिनिधित्व करेंगे।

अवशेषों को अंतिम से पहली तक आदेश दिया जाता है; अर्थात्, पहला शेष अष्टक संख्या का सबसे कम महत्वपूर्ण अंक होगा। इस तरह, सबसे महत्वपूर्ण अंक अंतिम शेष होगा।

उदाहरण

दशमलव संख्या अष्टक 266 ₁₀

- दशमलव संख्या 266 को 8 = 266/8 = 33 + 2 से भाग दें।

- फिर 33 को 8 = 33/8 = 4 + 1 के शेष से विभाजित करें।

- 4 को 8 = 4/8 = 0 + शेष 4 से विभाजित करें।

अंतिम विभाजन के साथ 1 से कम भागफल प्राप्त होता है, इसका मतलब है कि परिणाम मिल गया है; आपको केवल अवशेषों को उलटने का आदेश देना होगा, ताकि दशमलव 266 की अष्टक संख्या 412 हो, जैसा कि निम्नलिखित छवि में देखा जा सकता है:

अष्टाधारी से बाइनरी सिस्टम में रूपांतरण

ऑक्टल से बाइनरी में कनवर्ट करना ऑक्टल अंक को उसके समकक्ष बाइनरी अंक में परिवर्तित करके किया जाता है, जिसमें तीन अंक होते हैं। एक तालिका है जिसमें दिखाया गया है कि आठ संभावित अंक कैसे परिवर्तित होते हैं:

इन रूपांतरणों से, ओक्टल सिस्टम से बाइनरी में किसी भी संख्या को बदला जा सकता है, उदाहरण के लिए, संख्या 572 ₈ को बदलने के लिए , हम तालिका में इसके समकक्षों की तलाश करते हैं। इस प्रकार, आपको निम्न करना होगा:

५ ₅ = १०१

7 ₈ = 111

२ ₂ = १०

इसलिए, 572 ₈ बाइनरी सिस्टम में 10111110 के बराबर है।

बाइनरी से अष्टक में परिवर्तित

द्विआधारी पूर्णांकों को अष्टक पूर्णांकों में बदलने की प्रक्रिया पिछली प्रक्रिया का उल्टा है।

यही है, बाइनरी नंबर के बिट्स को तीन बिट्स के दो समूहों में बांटा गया है, दाएं से बाएं शुरू होता है। फिर, बाइनरी से ऑक्टल में रूपांतरण ऊपर की तालिका के साथ किया जाता है।

कुछ मामलों में बाइनरी नंबर में 3 बिट्स के समूह नहीं होंगे; इसे पूरा करने के लिए, पहले समूह के बाईं ओर एक या दो शून्य जोड़े जाते हैं।

उदाहरण के लिए, बाइनरी नंबर 11010110 को ऑक्टल में बदलने के लिए, निम्नलिखित करें:

- 3 बिट्स के समूह दाईं ओर से शुरू होते हैं (अंतिम बिट):

11010110

- चूंकि पहला समूह अधूरा है, एक अग्रणी शून्य जोड़ा गया है:

011010110

- रूपांतरण तालिका से बनाया गया है:

011 = 3

010 = 2

११० = ६

इस प्रकार, बाइनरी नंबर 011010110 326 _{8 के} बराबर है ।

अष्टदल से षोडश आधारी और इसके विपरीत

एक अष्टक संख्या से हेक्साडेसिमल प्रणाली या हेक्साडेसिमल से अष्टक में बदलने के लिए, पहले संख्या को बाइनरी में परिवर्तित करना आवश्यक है, और फिर वांछित प्रणाली के लिए।

इसके लिए, एक तालिका है जहां प्रत्येक हेक्साडेसिमल अंक को द्विआधारी प्रणाली में इसके समकक्ष के साथ दर्शाया गया है, जो चार अंकों से बना है।

कुछ मामलों में, बाइनरी नंबर में 4 बिट्स के समूह नहीं होंगे; इसे पूरा करने के लिए, पहले समूह के बाईं ओर एक या दो शून्य जोड़े जाते हैं

उदाहरण

अष्टकोणीय संख्या 1646 को हेक्साडेसिमल संख्या में बदलें:

- ऑक्टल से बाइनरी में नंबर को कन्वर्ट करें

१ ₁ = १

६ ₆ = ११०

४ ₄ = १००

६ ₆ = ११०

- तो, ​​1646 ₈ = 1110100110।

- बाइनरी से हेक्साडेसिमल में बदलने के लिए, उन्हें पहले 4 बिट्स के समूह में ऑर्डर किया जाता है, जो दाएं से बाएं शुरू होता है:

11 1010 0110

- पहला समूह शून्य के साथ पूरा हो गया है, ताकि इसमें 4 बिट्स हो सकें:

0011 1010 0110

- बाइनरी से हेक्साडेसिमल में रूपांतरण किया जाता है। तालिकाओं को तालिका के माध्यम से प्रतिस्थापित किया जाता है:

0011 = 3

1010 = ए

0110 = 6

इस प्रकार, अष्टक संख्या 1646 हेक्साडेसिमल प्रणाली में 3A6 के बराबर होती है।

संदर्भ

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