सेट सिद्धांत: विशेषताएं, तत्व, उदाहरण, अभ्यास - गणित - 2025

सेट सिद्धांत गणितीय तर्क-जो संस्थाओं सेट कहा जाता है के बीच संबंधों का अध्ययन के लिए जिम्मेदार है की एक शाखा है। सेट की विशेषता एक ही प्रकृति की वस्तुओं का संग्रह है। ये ऑब्जेक्ट सेट के तत्व हैं और हो सकते हैं: संख्या, अक्षर, ज्यामितीय आंकड़े, शब्द जो वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, ऑब्जेक्ट स्वयं और अन्य।

यह जॉर्ज कैंटर था, जो 19 वीं शताब्दी के अंत में था, जिसने सेट सिद्धांत का प्रस्ताव रखा था। जबकि 20 वीं शताब्दी में अन्य उल्लेखनीय गणितज्ञों ने अपनी औपचारिकता बनाई: गोटलोब फ्रेज, अर्नस्ट जर्मेलो, बर्ट्रेंड रसेल, एडोल्फ फ्रेंकेल अन्य।

चित्रा 1. सेट ए, बी और उनके प्रतिच्छेदन A (बी (स्वयं के विस्तार) के वेन आरेख।

वेन आरेख एक सेट का प्रतिनिधित्व करने का ग्राफिक तरीका है, और इसमें एक बंद विमान आकृति होती है जिसके भीतर सेट के तत्व होते हैं।

उदाहरण के लिए, आकृति 1 में दो सेट A और B दर्शाए गए हैं, जिनमें समान रूप से ए और बी के तत्व हैं, ये एक नया सेट है, जिसे A और B का प्रतिच्छेदन सेट कहा जाता है, जो फॉर्म में लिखा गया है निम्नानुसार प्रतीकात्मक:

A ∩ बी

विशेषताएँ

सेट एक आदिम अवधारणा है क्योंकि यह ज्यामिति में बिंदु, रेखा या समतल की अवधारणा है। उदाहरणों को इंगित करने की तुलना में अवधारणा को व्यक्त करने का कोई बेहतर तरीका नहीं है:

स्पेन के झंडे के रंगों से गठित ई। सेट को व्यक्त करने का यह तरीका समझ से कहा जाता है। एक्सटेंशन द्वारा लिखित वही सेट E है:

ई = {लाल, पीला}

इस मामले में, लाल और पीले सेट ई के तत्व हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि तत्व ब्रेसिज़ में सूचीबद्ध हैं और दोहराए नहीं जाते हैं। स्पैनिश ध्वज के मामले में, तीन रंगीन धारियाँ (लाल, पीली, लाल) होती हैं, जिनमें से दो को दोहराया जाता है, लेकिन पूरे व्यक्त होने पर तत्वों को दोहराया नहीं जाता है।

मान लीजिए कि पहले तीन स्वर वर्णों द्वारा गठित सेट V:

V = {a, e, i}

V का पावर सेट, जिसे P (V) द्वारा दर्शाया गया है, सभी सेटों का सेट है, जिसे V के तत्वों के साथ बनाया जा सकता है:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

सेट के प्रकार

परिमित सेट

यह एक ऐसा सेट है जिसमें इसके तत्व गिनती के होते हैं। परिमित सेट के उदाहरण स्पेनिश वर्णमाला के अक्षर हैं, स्पेनिश के स्वर, सौर मंडल के ग्रह, अन्य। एक परिमित सेट में तत्वों की संख्या को इसकी कार्डिनैलिटी कहा जाता है।

अनंत सेट

एक अनंत सेट को यह समझा जाता है कि इसके तत्वों की संख्या बेशुमार है, क्योंकि इसके तत्वों की संख्या कितनी भी बड़ी क्यों न हो, हमेशा अधिक तत्वों का पता लगाना संभव है।

एक अनंत सेट का एक उदाहरण प्राकृतिक संख्या एन का सेट है, जो व्यापक रूप में निम्नानुसार व्यक्त किया गया है:

N = {1, 2, 3, 4, 5,…।} स्पष्ट रूप से एक अनंत सेट है, क्योंकि कोई भी प्राकृतिक संख्या कितनी बड़ी हो सकती है, अगला सबसे बड़ा हमेशा एक अंतहीन प्रक्रिया में पाया जा सकता है। स्पष्ट रूप से एक अनंत सेट की कार्डिनैलिटी ity है।

खाली सेट

यह वह सेट है जिसमें कोई तत्व नहीं होता है। खाली सेट V को: या अंदर तत्वों के बिना कुंजियों की एक जोड़ी द्वारा दर्शाया गया है:

वी = {} = Ø।

खाली सेट अद्वितीय है, इसलिए "खाली सेट" कहना गलत होना चाहिए, सही रूप "खाली सेट" कहना है।

खाली सेट के गुणों में से हमारे पास यह है कि यह किसी भी सेट का सबसेट है:

⊂ ⊂ ए

इसके अलावा, यदि कोई सेट खाली सेट का सबसेट है, तो जरूरी कहा गया सेट वैक्यूम होगा:

A A ⊂ ⇔ A = Ø

एकात्मक सेट

एक यूनिट सेट कोई भी सेट होता है जिसमें एक ही तत्व होता है। उदाहरण के लिए, पृथ्वी के प्राकृतिक उपग्रहों का सेट एक एकात्मक सेट है, जिसका एकमात्र तत्व चंद्रमा है। पूर्णांक 2 से कम और शून्य से अधिक के सेट बी में केवल तत्व 1 है, इसलिए यह एक इकाई सेट है।

बाइनरी सेट

एक सेट बाइनरी है यदि इसमें केवल दो तत्व हैं। उदाहरण के लिए सेट X, जैसे कि x, x ^ 2 = 2. का एक वास्तविक संख्या समाधान है, यह एक्सटेंशन द्वारा सेट इस तरह लिखा जाता है:

X = {-√2, + }2}

सार्वसमुच्चय

सार्वभौमिक सेट एक सेट है जिसमें एक ही प्रकार या प्रकृति के अन्य सेट होते हैं। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का सार्वभौमिक सेट वास्तविक संख्याओं का समूह है। लेकिन वास्तविक संख्याएँ एक सार्वभौमिक सेट होती हैं जो संपूर्ण संख्याओं और परिमेय संख्याओं की होती हैं।

कोर आइटम

- सेट के बीच संबंध

विधानसभाओं में, उनके और उनके तत्वों के बीच विभिन्न प्रकार के संबंध स्थापित किए जा सकते हैं। यदि दो सेट A और B में उनके बीच समान तत्व हैं, तो एक समानता संबंध स्थापित होता है, जिसे निम्नानुसार दर्शाया जाता है:

ए = बी

यदि सेट A के सभी तत्व सेट B से संबंधित हैं, लेकिन B के सभी तत्व A से संबंधित नहीं हैं, तो इन सेटों के बीच एक समावेश संबंध है जो इस तरह से दर्शाया जाता है:

ए ⊂ बी, लेकिन बी। ए

उपरोक्त अभिव्यक्ति पढ़ती है: A, B का सबसेट है, लेकिन B, A का उपसमूह नहीं है।

यह इंगित करने के लिए कि कुछ तत्व या तत्व एक सेट के हैं, सदस्यता चिन्ह ∈ का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए यह कहना कि x तत्व या तत्व सेट A से संबंधित हैं, इस तरह से प्रतीकात्मक रूप से लिखा जाता है:

x ∈ ए

यदि कोई तत्व सेट A से संबंधित नहीं है, तो यह संबंध इस तरह लिखा जाता है:

और ∉ ए

एक सेट और सेट के तत्वों के बीच सदस्यता संबंध मौजूद है, पावर सेट के एकमात्र अपवाद के साथ, पावर सेट संग्रह या सभी संभव सेटों का सेट है जो उक्त सेट के तत्वों के साथ बनाया जा सकता है।

मान लीजिए V = {a, e, i}, इसका पावर सेट P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i} है।, {a, e, i}}, उस स्थिति में सेट V, P (V) के सेट का एक तत्व बन जाता है और लिखा जा सकता है:

वी ∈ पी (वी)

- समावेश के गुण

समावेशन की पहली संपत्ति यह स्थापित करती है कि प्रत्येक सेट अपने आप में या दूसरे शब्दों में समाहित है, कि यह स्वयं का एक उपसमूह है:

अ ⊂ अ

समावेशन की अन्य संपत्ति ट्रांज़िटिविटी है: यदि A, B का उपसमूह है और B बदले में C का उपसमूह है, तो A, C का एक उपसमूह है। प्रतीकात्मक रूप में, पारगमन का संबंध निम्नानुसार लिखा गया है:

(ए) बी) ^ (बी ⊂ सी) => ए) सी

नीचे वेन आरेख शामिल किए जाने की संवेदनशीलता के साथ है:

चित्रा 2. (ए) बी) ^ (बी = सी) => ए ⊂ सी

- सेट के बीच संचालन

चौराहा

चौराहे दो सेटों के बीच एक ऑपरेशन है जो पहले दो के समान सार्वभौमिक सेट से संबंधित एक नए सेट को जन्म देता है। उस अर्थ में, यह एक बंद ऑपरेशन है।

प्रतीकात्मक रूप से प्रतिच्छेदन ऑपरेशन इस तरह तैयार किया जाता है:

A⋂B = {x / x∈A ^ x }B}

एक उदाहरण निम्नलिखित है: शब्द "तत्वों" के अक्षरों का सेट ए और शब्द "दोहराया" के अक्षरों का सेट बी, ए और बी के बीच का अंतर इस तरह लिखा जाता है:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} r {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}। A का सार्वभौमिक सेट U, B का और A isB का भी स्पेनिश वर्णमाला के अक्षरों का समूह है।

संघ

दो सेटों का संघ दो सेटों के लिए सामान्य और दो सेटों के गैर-सामान्य तत्वों द्वारा गठित सेट है। सेट के बीच संघ संचालन प्रतीकात्मक रूप से इस तरह व्यक्त किया जाता है:

A∪B = {x / x∈A vx }B}

अंतर

सेट ए माइनस सेट बी के अंतर ऑपरेशन को एबी द्वारा निरूपित किया जाता है। AB एक नया सेट है जो सभी तत्वों द्वारा बनता है जो A में हैं और जो B से संबंधित नहीं है। यह इस तरह से लिखा गया है:

ए - बी = {एक्स / एक्स ∈ ए ^ एक्स} बी}

चित्रा 3. ए - बी = {एक्स / एक्स A ए ^ एक्स} बी}

सममित अंतर

सममित अंतर दो सेटों के बीच का एक ऑपरेशन है, जिसके परिणामस्वरूप सेट दो सेटों के लिए सामान्य नहीं तत्वों से बना होता है। सममित अंतर को प्रतीकात्मक रूप से इस तरह दर्शाया गया है:

A /B = {x / x∈ (AB) ^ x BA (BA)}

उदाहरण

उदाहरण 1

वेन आरेख सेट का प्रतिनिधित्व करने का एक चित्रमय तरीका है। उदाहरण के लिए, शब्द सेट में अक्षरों के सेट C को इस तरह दर्शाया गया है:

उदाहरण 2

वेन आरेखों द्वारा नीचे दिखाया गया है कि "सेट" शब्द में स्वरों का सेट "सेट" शब्द में अक्षरों के सेट का सबसेट है।

उदाहरण 3

सेट Ñ स्पेनिश वर्णमाला के अक्षरों की, एक परिमित सेट है विस्तार से इस सेट इस तरह लिखा है:

Ñ = {ए, बी, सी, डी, ई, एफ, जी, एच, मैं, जे, के, एल, एम, एन, ओ, पी, क्यू, आर, एस, टी, यू, वी, डब्ल्यू, x, y, z} और इसकी कार्डिनैलिटी 27 है।

उदाहरण 4

स्पैनिश में स्वरों का सेट V सेट का एक सबसेट है:

वी ⊂ Ñ इसलिए एक परिमित सेट है।

व्यापक रूप में परिमित सेट V इस तरह लिखा जाता है: V = {a, e, i, o, u} और इसकी कार्डिनैलिटी 5 है।

उदाहरण 5

सेट को देखते हुए A = {2, 4, 6, 8} और B = {1, 2, 4, 7, 9}, AB और BA निर्धारित करें।

ए - बी ए के तत्व हैं जो बी में नहीं हैं:

ए - बी = {६, {}

बी - ए बी के तत्व हैं जो ए में नहीं हैं:

बी - ए = {१, 1, ९}

हल किया अभ्यास

अभ्यास 1

प्रतीकात्मक रूप में लिखें और 10 से कम प्राकृतिक संख्याओं के सेट P के विस्तार से भी।

हल: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

पी = {२, ४, ६,,}

व्यायाम २

मान लीजिए कि सेट ए, प्राकृतिक संख्याओं से बना है जो 210 के कारक हैं, और सेट बी जो कि प्रमुख प्राकृतिक संख्याओं से 9 से कम है। दोनों सेटों को विस्तार से निर्धारित करें और दो सेटों के बीच क्या संबंध स्थापित करें।

समाधान: सेट ए के तत्वों को निर्धारित करने के लिए, हमें प्राकृतिक संख्या 210 के कारकों को खोजना शुरू करना चाहिए:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

तब सेट A लिखा जाता है:

ए = {२, ३, ५,,}

अब हम सेट B पर विचार करते हैं, जो कि 9. 1 से कम के प्राइम हैं, क्योंकि यह प्राइम की परिभाषा को पूरा नहीं करता है: "एक संख्या प्राइम है अगर और केवल अगर इसके दो डिविज़न हैं, तो 1 और नंबर ही है।" 2 समान है और उसी समय यह अभाज्य है क्योंकि यह एक अभाज्य की परिभाषा से मिलता है, 9 से कम वाले अन्य प्राइम 3, 5 और 7 हैं। तो सेट B है:

बी = {२, ३, ५,,}

इसलिए दो सेट बराबर हैं: ए = बी।

व्यायाम ३

निर्धारित करें कि किसके तत्व x x से भिन्न हैं।

हल: C = {x / x x x}

चूंकि प्रत्येक तत्व, संख्या या वस्तु स्वयं के बराबर है, इसलिए सेट C खाली सेट के अलावा अन्य नहीं हो सकता है:

सी = Ø

व्यायाम ४

N के प्राकृतिक संख्याओं के सेट को और Z को पूर्णांकों के सेट को दें। एन ine जेड और एन। जेड निर्धारित करें।

उपाय:

N ≤ Z = {x / Z / x = 0} = (-0, 0]

एन N जेड = जेड क्योंकि एन। जेड।

संदर्भ

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