Bayes प्रमेय एक प्रक्रिया है जो हमें की अनुमति देता है के लिए केवल ए की संभावना वितरण के बाद से, एक यादृच्छिक घटना एक दिया बी की सशर्त संभावना व्यक्त घटना ए और बी की संभावना वितरण के मामले में
यह प्रमेय बहुत उपयोगी है, इसके लिए धन्यवाद, हम इस संभावना से संबंधित कर सकते हैं कि एक घटना A होती है जो यह जानती है कि B हुई, इस संभावना के साथ कि विपरीत होती है, अर्थात B, A को देता है।
बेयस की प्रमेय रेवरेंड थॉमस बेयस द्वारा 18 वीं शताब्दी के अंग्रेजी धर्मशास्त्री थे, जो एक गणितज्ञ भी थे। वह धर्मशास्त्र में कई कार्यों के लेखक थे, लेकिन आज उन्हें कुछ गणितीय संधियों के लिए जाना जाता है, जिनमें से प्रमुख बेएस थियोरम मुख्य परिणाम के रूप में सामने आया है।
बेयस ने इस प्रमेय को 1763 में प्रकाशित "एन एसेय इन द डॉक्ट्रिन ऑफ़ चांसज़" में एक समस्या को हल करने वाले काम से निपटा और जिस पर बड़ी संख्या में विकास किया गया है। ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में अनुप्रयोगों के साथ अध्ययन।
व्याख्या
सबसे पहले, इस प्रमेय की बेहतर समझ के लिए, प्रायिकता सिद्धांत के कुछ बुनियादी विचार आवश्यक हैं, विशेष रूप से सशर्त संभाव्यता के लिए गुणन प्रमेय, जो बताता है कि
ई और ए के लिए एक नमूना स्थान एस की मनमानी घटनाओं एस।
और विभाजन की परिभाषा, जो हमें बताती है कि अगर हमारे पास A 1, A 2,…, एक नमूना स्थान S की एक n घटनाएं हैं, तो ये S का एक विभाजन बनाएंगे, यदि A i परस्पर अनन्य हैं और उनका संघ S है।
इसे देखते हुए, B एक अन्य घटना है। तो हम बी को देख सकते हैं
कहाँ एक मैं बी के साथ प्रतिच्छेद परस्पर अनन्य घटनाओं रहे हैं।
और परिणाम में,
फिर, गुणन प्रमेय को लागू करना
दूसरी ओर, एआई दिए गए बी की सशर्त संभावना द्वारा परिभाषित किया गया है
उचित रूप से प्रतिस्थापित करने के लिए हमारे पास है कि किसी भी i
Bayes 'प्रमेय के अनुप्रयोग
इस परिणाम के लिए धन्यवाद, अनुसंधान समूहों और विभिन्न निगमों ने उन प्रणालियों में सुधार करने में कामयाबी हासिल की है जो ज्ञान पर आधारित हैं।
उदाहरण के लिए, रोगों के अध्ययन में, बेयस प्रमेय इस संभावना की व्याख्या करने में मदद कर सकता है कि किसी बीमारी के साथ लोगों के समूह में एक बीमारी पाई जाती है, जो डेटा की वैश्विक दरों और उक्त विशेषताओं के प्रसार के रूप में लेती है। दोनों स्वस्थ और बीमार लोग।
दूसरी ओर, उच्च प्रौद्योगिकियों की दुनिया में, इसने विकसित बड़ी कंपनियों को प्रभावित किया है, इस परिणाम के लिए धन्यवाद, "ज्ञान-आधारित" सॉफ्टवेयर।
एक दैनिक उदाहरण के रूप में हमारे पास Microsoft Office सहायक है। बेयस प्रमेय सॉफ्टवेयर को उन समस्याओं का मूल्यांकन करने में मदद करता है जो उपयोगकर्ता प्रस्तुत करता है और निर्धारित करता है कि उसे क्या सलाह दी जाए और इस प्रकार उपयोगकर्ता की आदतों के अनुसार बेहतर सेवा प्रदान करने में सक्षम हो।
विशेष रूप से, इस सूत्र को हाल के दिनों तक नजरअंदाज कर दिया गया था, इसका मुख्य कारण यह है कि जब यह परिणाम 200 साल पहले विकसित हुआ था, तो उनके लिए बहुत कम व्यावहारिक उपयोग था। हालांकि, हमारे समय में, महान तकनीकी विकास के लिए धन्यवाद, वैज्ञानिकों ने इस परिणाम को अभ्यास में लाने के तरीके ढूंढ लिए हैं।
हल किए गए व्यायाम
अभ्यास 1
एक सेल फोन कंपनी के पास दो मशीनें ए और बी हैं। उत्पादित 54% सेल फोन मशीन ए द्वारा बनाए गए हैं और बाकी मशीन बी द्वारा नहीं। उत्पादित सभी सेल फोन अच्छी स्थिति में नहीं हैं।
ए द्वारा किए गए दोषपूर्ण सेल फोन का अनुपात 0.2 और बी का 0.5 है। क्या संभावना है कि उस कारखाने से एक सेल फोन दोषपूर्ण है? क्या संभावना है कि, यह जानते हुए कि एक सेल फोन दोषपूर्ण है, यह मशीन ए से आता है?
उपाय
यहाँ, आपके पास एक प्रयोग है जो दो भागों में किया जाता है; पहले भाग में घटनाएं घटती हैं:
ए: मशीन ए द्वारा बनाई गई सेल।
बी: मशीन बी द्वारा बनाई गई सेल।
चूँकि मशीन A 54% सेल फोन का उत्पादन करता है और बाकी मशीन B द्वारा निर्मित होते हैं, इसलिए यह अनुसरण करता है कि मशीन B 46% सेल फोन का उत्पादन करता है। इन घटनाओं की संभावनाएँ दी गई हैं, अर्थात्:
पी (ए) = 0.54।
पी (बी) = 0.46।
प्रयोग के दूसरे भाग की घटनाएं हैं:
डी: दोषपूर्ण सेल फोन।
ई: गैर-दोषपूर्ण सेल फोन।
जैसा कि बयान में कहा गया है, इन घटनाओं की संभावना पहले भाग में प्राप्त परिणाम पर निर्भर करती है:
पी (डीए) = 0.2।
पी (डीबी) = 0.5।
इन मूल्यों का उपयोग करते हुए, इन घटनाओं के पूरक की संभावनाओं को भी निर्धारित किया जा सकता है, अर्थात:
पी (ईए) = 1 - पी (डीए)
= 1 - 0.2
= 0.8
तथा
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0.5
= 0.5।
अब घटना D को निम्न प्रकार से लिखा जा सकता है:
सशर्त संभाव्यता परिणामों के लिए गुणन प्रमेय का उपयोग करना:
जिसमें पहले प्रश्न का उत्तर दिया गया है।
अब हमें केवल P (AD) की गणना करने की आवश्यकता है, जिसके लिए बेयस प्रमेय लागू किया गया है:
बेयस प्रमेय के लिए धन्यवाद, यह कहा जा सकता है कि सेल ए को मशीन ए द्वारा बनाया गया है, यह जानते हुए कि सेल फोन दोषपूर्ण है, 0.319 है।
व्यायाम २
तीन बक्से में काले और सफेद बॉल होते हैं। उनमें से प्रत्येक की संरचना इस प्रकार है: यू 1 = {3 बी, 1 एन}, यू 2 = {2 बी, 2 एन}, यू 3 = {1 बी, 3 एन}।
बक्से में से एक को यादृच्छिक पर चुना जाता है और एक गेंद यादृच्छिक पर खींची जाती है जो सफेद हो जाती है। सबसे अधिक संभावना है कि किस बॉक्स को चुना गया है?
उपाय
U1, U2 और U3 का उपयोग करते हुए, हम चुने हुए बॉक्स का भी प्रतिनिधित्व करेंगे।
इन घटनाओं में S का विभाजन होता है और यह सत्यापित होता है कि P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 है क्योंकि बॉक्स का चुनाव यादृच्छिक है।
यदि B = {खींची गई गेंद सफेद है}, हमारे पास P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4 होगा।
हम जो प्राप्त करना चाहते हैं, वह संभावना है कि गेंद को बॉक्स से बाहर निकाल दिया गया है, यह जानते हुए कि गेंद सफेद थी, यानी पी (यूआई-बी), और देखें कि इनमें से कौन से तीन मान सबसे अधिक हैं बॉक्स सबसे अधिक संभावना क्यू गेंद की निकासी है।
बॉक्स के पहले में बेअर्स प्रमेय लागू करना:
और अन्य दो के लिए:
P (U2-B) = 2/6 और P (U3-B) = 1/6।
फिर, बॉक्स में से पहला क्यू बॉल के निष्कर्षण के लिए चुने जाने की उच्चतम संभावना वाला एक है।
संदर्भ
- कै लाई चुंग। स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के साथ प्राथमिक क्षमता सिद्धांत। स्प्रिंगर-वर्लग न्यूयॉर्क इंक
- Kenneth.H। Rosen। असतत गणित और उसके अनुप्रयोग। SAMCGRAW- पहाड़ी / INTERAMERICANA डे ESPAÑA।
- पॉल एल मेयर। संभाव्यता और सांख्यिकीय अनुप्रयोग। SA अल्हम्बा MEXICANA।
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- सीमोर लिप्सचुट्ज़ पीएच.डी. सिद्धांत और संभाव्यता समस्याएं। मैकग्रा-हिल।