चेबिसोव का प्रमेय: यह क्या है, अनुप्रयोग और उदाहरण - गणित - 2025

प्रमेय Chebyshev (Chebyshev या असमानता) प्रायिकता के सिद्धांत का सबसे महत्वपूर्ण शास्त्रीय परिणामों में से एक है। यह एक यादृच्छिक चर X के संदर्भ में वर्णित एक घटना की संभावना का अनुमान लगाने की अनुमति देता है, हमें एक बाध्य प्रदान करता है जो यादृच्छिक चर के वितरण पर निर्भर नहीं करता है लेकिन एक्स के विचरण पर निर्भर करता है।

प्रमेय का नाम रूसी गणितज्ञ पफानुत चेबिसोव (चेबचीव या टचेबाइफ़ के रूप में भी लिखा गया है) के नाम पर रखा गया है, जो प्रमेय का पहला राज्य नहीं होने के बावजूद 1867 में एक प्रमाण देने वाले पहले व्यक्ति थे।

यह असमानता, या वे जो अपनी विशेषताओं के कारण चेबिसोव की असमानता कहलाती हैं, का उपयोग मुख्य रूप से सीमा की गणना करके संभावित संभावनाओं के लिए किया जाता है।

इसमें क्या शामिल होता है?

संभाव्यता सिद्धांत के अध्ययन में, यह होता है कि यदि एक यादृच्छिक चर X के वितरण फ़ंक्शन को ज्ञात किया जाता है, तो इसकी अपेक्षित मूल्य-गणितीय अपेक्षाओं E (X) - और इसके विचरण Var (X) की गणना की जा सकती है, जब तक कि ऐसी राशियाँ मौजूद हैं। हालांकि, विश्वास जरूरी नहीं है।

यही है, ई (एक्स) और वार (एक्स) को जानना, एक्स के वितरण समारोह को प्राप्त करना आवश्यक नहीं है, इसलिए कुछ k> 0 के लिए P (-X-> k) जैसे मात्रा को प्राप्त करना बहुत मुश्किल है। लेकिन चेबिज़ोव की असमानता के लिए धन्यवाद, यादृच्छिक चर की संभावना का अनुमान लगाना संभव है।

चेबिशॉव की प्रमेय हमें बताती है कि अगर हमारे पास एक संभाव्यता फ़ंक्शन पी के साथ एक नमूना स्थान एस पर एक यादृच्छिक चर एक्स है, और यदि k> 0, तो:

अनुप्रयोग और उदाहरण

चेबिज़ोव के प्रमेय के कई अनुप्रयोगों में, निम्नलिखित का उल्लेख किया जा सकता है:

संभावनाओं को सीमित करना

यह सबसे आम अनुप्रयोग है और इसका उपयोग P (-XE (X)-)k) के लिए एक ऊपरी सीमा देने के लिए किया जाता है, जहाँ k> 0, केवल विचरण और यादृच्छिक चर X की अपेक्षा के साथ, संभाव्यता फ़ंक्शन को जाने बिना ।

उदाहरण 1

मान लीजिए कि एक सप्ताह के दौरान एक कंपनी में निर्मित उत्पादों की संख्या 50 के औसत के साथ एक यादृच्छिक चर है।

यदि उत्पादन के एक सप्ताह का विचरण 25 के बराबर माना जाता है, तो हम इस संभावना के बारे में क्या कह सकते हैं कि इस सप्ताह उत्पादन औसत से 10 से अधिक भिन्न होगा?

उपाय

हमारे पास चेबिसोव की असमानता को लागू करना:

इससे हम यह प्राप्त कर सकते हैं कि उत्पादन सप्ताह में लेखों की संख्या औसत से अधिक 10 से अधिक 1/4 है।

सीमा प्रमेयों का प्रमाण

सबसे महत्वपूर्ण सीमा प्रमेयों को साबित करने में चेबिसोव की असमानता एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। एक उदाहरण के रूप में हमारे पास निम्नलिखित हैं:

बड़ी संख्या का कमजोर कानून

इस कानून में कहा गया है कि एक ही औसत वितरण E (Xi) = μ और variance Var (X) =, ², और एक ज्ञात माध्य नमूना के साथ एक क्रमिक X1, X2,…, Xn,… दिए गए हैं।

फिर k> 0 के लिए हमारे पास:

या, समकक्ष:

प्रदर्शन

आइए पहले निम्नलिखित पर ध्यान दें:

चूंकि X1, X2,…, Xn स्वतंत्र हैं, यह इस प्रकार है:

इसलिए, निम्नलिखित बताना संभव है:

फिर, चेबिसोव के प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

अंत में, प्रमेय इस तथ्य से परिणामित होता है कि दाईं ओर की सीमा शून्य है क्योंकि n, अनंतता के निकट है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह परीक्षण केवल उस मामले के लिए किया गया था जिसमें शी का विचरण मौजूद है; यह है, यह विचलन नहीं करता है। इस प्रकार हम मानते हैं कि यदि ई (शी) मौजूद है तो प्रमेय हमेशा सत्य है।

Chebyshov सीमा प्रमेय

यदि X1, X2,…, Xn,… एक स्वतंत्र यादृच्छिक चर का अनुक्रम है, जिसमें कुछ C <infinity मौजूद है, जैसे कि Var (Xn) for C सभी प्राकृतिक n के लिए, फिर किसी भी k> 0 के लिए:

प्रदर्शन

चूंकि भिन्नताओं का क्रम समान रूप से बंधा हुआ है, इसलिए हमारे पास सभी प्राकृतिक n के लिए Var (Sn) of C / n है। लेकिन हम जानते हैं कि:

अनन्तता की ओर n रुझान बनाना, निम्नलिखित परिणाम:

चूँकि संभावना 1 के मान से अधिक नहीं हो सकती, इसलिए वांछित परिणाम प्राप्त होता है। इस प्रमेय के परिणामस्वरूप, हम बर्नौली के विशेष मामले का उल्लेख कर सकते हैं।

यदि किसी प्रयोग को दो संभव परिणामों (असफलता और सफलता) के साथ स्वतंत्र रूप से दोहराया जाता है, जहां p प्रत्येक प्रयोग में सफलता की संभावना है और X यादृच्छिक चर है जो प्राप्त की गई सफलताओं की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, तो प्रत्येक k> 0 के लिए आपको करना होगा:

नमूने का आकार

विचरण के संदर्भ में, चेबिसोव असमानता हमें एक नमूना आकार n खोजने की अनुमति देती है जो यह गारंटी देने के लिए पर्याप्त है कि संभावना है कि -S-μ - = k तब वांछित के रूप में छोटा है, जो एक सन्निकटन की अनुमति देता है औसत करने के लिए।

विशेष रूप से, X 1, X2,… Xn का आकार n के स्वतंत्र यादृच्छिक चर का एक नमूना हो और मान लीजिए कि E (Xi) = μ और इसका विचरण । ^{2 है} । फिर, चेबिसोव की असमानता से हमारे पास:

उदाहरण

मान लीजिए कि एक्स 1, एक्स 2,… एक्सएन बर्नौली वितरण के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर का एक नमूना है, जैसे कि वे प्रायिकता p = 0.5 के साथ मान 1 लेते हैं।

नमूना का आकार क्या होना चाहिए, इस बात की गारंटी देने में सक्षम होने की संभावना है कि अंकगणित माध्य Sn और इसके अपेक्षित मान (0.1 से अधिक से अधिक) के बीच का अंतर 0.01 से कम या बराबर है?

उपाय

हमारे पास वह E (X) = μ = p = 0.5 और वह Var (X) = E ² = p (1-p) = 25-25 है। Chebyshov की असमानता से, किसी भी k> 0 के लिए हमारे पास है:

अब, k = 0.1 और 0.01 = 0.01 लेते हुए, हमारे पास:

इस तरह यह निष्कर्ष निकाला गया है कि कम से कम 2,500 का एक नमूना आकार इस बात की गारंटी के लिए आवश्यक है कि घटना की संभावना -Sn - 0.5 -> = 0.1 0.01 से कम है।

चेबीशोव-प्रकार की असमानताएं

चेबिसोव की असमानता से संबंधित कई असमानताएं हैं। सबसे अच्छे में से एक मार्कोव असमानता है:

इस अभिव्यक्ति में एक्स k, r> 0 के साथ एक गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर है।

मार्कोव असमानता विभिन्न रूप ले सकती है। उदाहरण के लिए, Y एक गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर है (इसलिए P (Y> = 0) = 1) और मान लीजिए कि E (Y) = μ मौजूद है। यह भी मान लीजिए कि (E (Y)) ^r = μ _r कुछ पूर्णांक r> 1 के लिए मौजूद है। इसलिए:

एक और असमानता गॉसियन है, जो हमें बताती है कि शून्य पर मोड के साथ एक असमान यादृच्छिक चर एक्स दिया गया, फिर> 0 के लिए,

संदर्भ

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