यूक्लिड का प्रमेय: प्रमाण, अनुप्रयोग और अभ्यास - गणित - 2025

यूक्लिड के प्रमेय एक लाइन आकर्षित करने के लिए एक त्रिकोण के गुणों से पता चलता है कि विभाजित यह दो नए त्रिकोण कि समान हैं और बदले में, मूल त्रिकोण के समान हैं में; फिर, आनुपातिकता का एक संबंध है।

यूक्लिड प्राचीन युग के सबसे महान गणितज्ञों और ज्यामितीय लोगों में से एक थे जिन्होंने महत्वपूर्ण प्रमेयों के कई प्रमाण प्रस्तुत किए। मुख्य में से एक वह है जो अपना नाम बताता है, जिसका एक व्यापक अनुप्रयोग रहा है।

यह मामला रहा है, क्योंकि इस प्रमेय के माध्यम से, यह एक सरल तरीके से बताता है कि सही त्रिकोण में मौजूद ज्यामितीय रिश्ते, जहां त्रिकोण के पैर कर्ण पर उनके अनुमानों से संबंधित हैं।

सूत्र और प्रदर्शन

यूक्लिड की प्रमेय का प्रस्ताव है कि हर सही त्रिकोण में, जब एक रेखा खींची जाती है - जो ऊंचाई का प्रतिनिधित्व करती है जो कर्ण के संबंध में समकोण के शीर्ष से मेल खाती है - मूल से दो दाहिने त्रिकोण बनते हैं।

ये त्रिकोण एक दूसरे के समान होंगे और मूल त्रिकोण के समान भी होंगे, जिसका अर्थ है कि उनके समान पक्ष एक दूसरे के लिए आनुपातिक हैं:

तीन त्रिभुजों के कोण सर्वांगसम हैं; यह कहना है, जब वे अपने शीर्ष के बारे में 180 डिग्री घुमाए जाते हैं, तो एक कोण दूसरे के साथ मेल खाता है। इसका तात्पर्य है कि वे सभी समान होंगे।

इस तरह, तीन त्रिकोणों के बीच मौजूद समानता को उनके कोणों की समानता से भी सत्यापित किया जा सकता है। त्रिकोणों की समानता से, यूक्लिड ने दो प्रमेयों से इनका अनुपात स्थापित किया:

- ऊँचाई प्रमेय।

- पैरों की गति।

इस प्रमेय का एक विस्तृत अनुप्रयोग है। प्राचीन समय में इसका उपयोग हाइटोन या दूरियों की गणना करने के लिए किया गया था, जो त्रिकोणमिति के लिए एक महान अग्रिम का प्रतिनिधित्व करता था।

यह वर्तमान में विभिन्न क्षेत्रों में लागू किया जाता है जो गणित पर आधारित होते हैं, जैसे इंजीनियरिंग, भौतिकी, रसायन विज्ञान और खगोल विज्ञान, कई अन्य क्षेत्रों में।

ऊंचाई प्रमेय

इस प्रमेय में यह स्थापित किया जाता है कि किसी भी समकोण त्रिभुज में, कर्ण के संबंध में समकोण से खींची गई ऊँचाई पैरों के अनुमानों के बीच ज्यामितीय आनुपातिक माध्य (ऊँचाई का वर्ग) है जिसे वह कर्ण पर निर्धारित करता है।

यही है, ऊंचाई का वर्ग अनुमानित पैरों के गुणन के बराबर होगा जो कर्ण बनाते हैं:

h _c ² = m _* n

प्रदर्शन

एक त्रिभुज ABC को देखते हुए, जो कि शीर्ष C पर सही है, ऊँचाई को काटते हुए दो समान समकोण त्रिभुज बनाता है, ADC और BCD; इसलिए, उनके संबंधित पक्ष आनुपातिक हैं:

इस तरह से कि ऊँचाई h _c जो खंड CD से मेल खाती है, कर्ण AB = c से मेल खाती है, इस प्रकार हम निम्न हैं:

बदले में, यह निम्नलिखित है:

समानता के दो सदस्यों को गुणा करने के लिए कर्ण (h _c) के लिए हल, हमारे पास है:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c ² = m _* n

इस प्रकार, कर्ण का मान किसके द्वारा दिया जाता है:

लेग प्रमेय

इस प्रमेय में, यह स्थापित किया जाता है कि, प्रत्येक दाहिने त्रिभुज में, प्रत्येक पैर का माप ज्यामितीय आनुपातिक माध्य (प्रत्येक पैर का वर्ग) कर्ण की माप (पूर्ण) और उस पर प्रत्येक के प्रक्षेपण के बीच होगा:

बी ² = सी _* एम

एक ² = सी _* एन

प्रदर्शन

एक त्रिकोण एबीसी को देखते हुए, जो कि शीर्ष C पर सही है, इस तरह से कि इसका कर्ण c है, जब ऊँचाई (h) को प्लॉट करते हुए a और b के पैरों के अनुमान निर्धारित किए जाते हैं, जो क्रमशः m और n सेगमेंट हैं, और जो झूठ बोलते हैं कर्ण।

इस प्रकार, सही त्रिभुज ABC पर खींची गई ऊँचाई दो समान दाएँ त्रिभुज, ADC और BCD उत्पन्न करती है, ताकि संबंधित पक्ष समानुपातिक हों, जैसे:

DB = n, जो कर्ण पर लेग CB का प्रक्षेपण है।

AD = m, जो कर्ण पर लेग AC का प्रक्षेपण है।

फिर, कर्ण सी को उसके अनुमानों के पैरों के योग द्वारा निर्धारित किया जाता है:

सी = एम + एन

त्रिकोण ADC और BCD की समानता के कारण, हमारे पास:

उपरोक्त समान है:

समानता के दो सदस्यों को गुणा करने के लिए "एक" पैर के लिए समाधान, हमारे पास है:

a _* a = c _* n

एक ² = सी _* एन

इस प्रकार, पैर "ए" का मूल्य निम्न द्वारा दिया जाता है:

उसी तरह, त्रिकोण एसीबी और एडीसी की समानता के कारण, हमारे पास:

उपरोक्त बराबर है:

समानता के दो सदस्यों को गुणा करने के लिए पैर "बी" के लिए हल करना, हमारे पास है:

b _* b = c _* m

बी ² = सी _* एम

इस प्रकार, पैर "बी" का मूल्य निम्न द्वारा दिया जाता है:

यूक्लिड के प्रमेयों के बीच संबंध

ऊंचाई और पैरों के संदर्भ में प्रमेय एक दूसरे से संबंधित हैं क्योंकि दोनों का माप सही त्रिकोण के कर्ण के संबंध में किया गया है।

यूक्लिड के प्रमेयों के संबंध के माध्यम से ऊंचाई का मूल्य भी पाया जा सकता है; पैर प्रमेय से मी और एन के मूल्यों को हल करके यह संभव है और उन्हें ऊंचाई प्रमेय में बदल दिया जाता है। इस तरह यह पूरा होता है कि ऊँचाई पैरों के गुणा के बराबर होती है, कर्ण द्वारा विभाजित:

बी ² = सी _* एम

m = b ^2। c

एक ² = सी _* एन

n = एक ² ÷ सी

ऊंचाई प्रमेय में हम m और n को प्रतिस्थापित करते हैं:

h _c ² = m _* n

h _c ² = (b ²) c) _* (a ² b c)

h _c = (b ² _* a ²) ² c

हल किया अभ्यास

उदाहरण 1

त्रिकोण एबीसी को देखते हुए, ए पर, एसी और एडी का माप निर्धारित करें, यदि एबी = 30 सेमी और बीडी = 18 सेमी

उपाय

इस मामले में हमारे पास अनुमानित पैरों (बीडी) और मूल त्रिकोण (एबी) के पैरों में से एक का माप है। इस तरह, लेग बीसी के मूल्य को खोजने के लिए लेग प्रमेय लागू किया जा सकता है।

एबी ² = बीडी _* बीसी

(३०) ^२ = १ 18 _* ई.पू.

900 = 18 _* ईसा पूर्व

ईसा पूर्व = 900 ÷ 18

बीसी = 50 सेमी

लेग सीडी का मूल्य ज्ञात हो सकता है कि बीसी = 50:

सीडी = बीसी - बीडी

सीडी = 50 - 18 = 32 सेमी

अब लेग प्रमेय को फिर से लागू करते हुए, पैर एसी के मूल्य को निर्धारित करना संभव है:

एसी ² = सीडी _* बीडी

एसी ² = 32 _* 50

एसी ² = 160

एसी = 001600 = 40 सेमी

ऊँचाई के मान (AD) को निर्धारित करने के लिए, ऊँचाई प्रमेय को लागू किया जाता है, क्योंकि अनुमानित पैर सीडी और BD के मान ज्ञात किए जाते हैं:

AD ² = 32 _* 18

ई। ^२ = ^{५ 2६}

AD = √576

एडी = 24 सेमी

उदाहरण 2

एक त्रिकोण MNL की ऊँचाई (h) के मान को N के ठीक से निर्धारित करते हुए, खण्डों के उपायों को जानकर:

एनएल = 10 सेमी

एमएन = 5 सेमी

पीएम = 2 सेमी

उपाय

हमारे पास कर्ण (पीएम) पर प्रक्षेपित पैरों में से एक का माप है, साथ ही साथ मूल त्रिकोण के पैरों के माप भी हैं। इस तरह, पैर प्रमेय को अन्य अनुमानित पैर (एलएन) के मूल्य को खोजने के लिए लागू किया जा सकता है:

एनएल ² = पीएम _* एलएम

(१०) ^२ = ५ _* एल.एम.

100 = 5 _* एलएम

पीएल = 100 = 5 = 20

जैसा कि पैरों और कर्ण के मूल्य को पहले से ही जाना जाता है, ऊंचाई और पैरों के प्रमेयों के संबंध के माध्यम से, ऊंचाई का मूल्य निर्धारित किया जा सकता है:

एनएल = 10

MN = 5

एलएम = 20

h = (b ² _* a ²) (c।

h = (१० ^२ _* ५ ^२) ÷ (२०)

h = (१०० _* २५) 25 (२०)

h = 2500 = 20

एच = १२५ सेमी।

संदर्भ

1. ब्रौन, ई। (2011)। अराजकता, भग्न और अजीब बातें। आर्थिक संस्कृति का कोष।
2. कैबरेरा, वीएम (1974)। आधुनिक गणित, खंड 3।
3. डैनियल हर्नांडेज़, डीपी (2014)। 3 साल का गणित। कराकस: संतिलाना।
4. एनसाइक्लोपीडिया ब्रिटानिका, i। (उनीस सौ पचानवे)। हिस्पैनिक विश्वकोश: मैक्रोपीडिया। एनसाइक्लोपीडिया ब्रिटानिका पब्लिशर्स।
5. यूक्लिड, आरपी (1886)। यूक्लिड के तत्व ज्यामिति।
6. गार्डेनो, एजे (2000)। गणित की विरासत: यूक्लिड से न्यूटन तक, उनकी पुस्तकों के माध्यम से प्रतिभा। सेविला विश्वविद्यालय।