अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय: प्रमाण, उदाहरण और अभ्यास - गणित - 2025

अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय एक प्रथम आदेश अंतर समीकरण लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तों, किसी प्रारंभिक शर्त के साथ स्थापित करता है, एक समाधान है और कहा कि समाधान के लिए केवल एक ही होना जरूरी है।

हालांकि, प्रमेय किसी भी तकनीक या संकेत नहीं देता है कि इस तरह के समाधान को कैसे खोजना है। अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय को प्रारंभिक स्थितियों के साथ उच्च-क्रम अंतर समीकरणों तक भी विस्तारित किया जाता है, जिसे कॉची समस्या के रूप में जाना जाता है।

चित्रा 1. प्रारंभिक स्थिति और इसके समाधान के साथ एक अंतर समीकरण दिखाया गया है। अस्तित्व और विशिष्टता सिद्धांत की गारंटी है कि यह एकमात्र संभव समाधान है।

अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय का औपचारिक विवरण इस प्रकार है:

"एक विभेदक समीकरण y '(x) = f (x, y) के लिए प्रारंभिक स्थिति y (a) = b के साथ, XY समतल के एक आयताकार क्षेत्र में कम से कम एक समाधान मौजूद है जिसमें बिंदु (a, b) हो, यदि f (x, y) उस क्षेत्र में निरंतर है। और यदि y के संबंध में f का आंशिक व्युत्पन्न: g = /f / partialy उसी आयताकार क्षेत्र में निरंतर है, तो समाधान fy की निरंतरता के क्षेत्र में निहित बिंदु (ए, बी) के पड़ोस में अद्वितीय है। जी। "

इस प्रमेय की उपयोगिता यह जानने में सबसे पहले निहित है कि XY विमान के कौन से क्षेत्र हैं जिनमें एक समाधान मौजूद हो सकता है और यह भी जानना कि क्या पाया गया समाधान एकमात्र संभव है या यदि अन्य हैं।

ध्यान दें कि यदि विशिष्टता की स्थिति संतुष्ट नहीं है, तो प्रमेय यह अनुमान नहीं लगा सकता है कि कुल कैची समस्या के कितने समाधान हैं: शायद यह एक, दो या अधिक है।

अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय का प्रमाण

चित्रा 2. चार्ल्स 2.mile Picard (1856-1941) को अस्तित्व और विशिष्टता सिद्धांत के पहले प्रमाणों में से एक का श्रेय दिया जाता है। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

इस प्रमेय के लिए, दो संभावित प्रमाणों को जाना जाता है, उनमें से एक चार्ल्स ilemile Picard (1856-1941) का प्रमाण है और दूसरा Giuseppe Peano (1858-1932) के कारण है जो ऑगस्टिन लुई कॉची (1789-1857) के कार्यों पर आधारित है। ।

यह उल्लेखनीय है कि उन्नीसवीं शताब्दी के सबसे शानदार गणितीय दिमाग ने इस प्रमेय के प्रमाण में भाग लिया, इसलिए यह अंतर्ज्ञान किया जा सकता है कि उनमें से कोई भी सरल नहीं है।

औपचारिक रूप से प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, पहले अधिक उन्नत गणितीय अवधारणाओं की एक श्रृंखला स्थापित करना आवश्यक है, जैसे कि लिप्सचित्ज़-प्रकार के कार्य, बानाच स्थान, कैराथोडोरी के अस्तित्व प्रमेय, और कई अन्य, जो लेख के दायरे से परे हैं।

अंतर समीकरणों का एक बड़ा हिस्सा जो भौतिक विज्ञान में रुचि के क्षेत्रों में निरंतर कार्यों से निपटता है, इसलिए हम खुद को यह दिखाने के लिए सीमित करेंगे कि कैसे साधारण समीकरणों में प्रमेय को लागू किया जाता है।

उदाहरण

- उदाहरण 1

आइए एक प्रारंभिक स्थिति के साथ निम्नलिखित अंतर समीकरण पर विचार करें:

y '(x) = - y; y (1) = 3 के साथ

क्या इस समस्या का कोई हल है? क्या यह एकमात्र संभव समाधान है?

जवाब

पहले स्थान पर, विभेदक समीकरण के समाधान के अस्तित्व का मूल्यांकन किया जाता है और यह प्रारंभिक स्थिति को भी पूरा करता है।

इस उदाहरण में f (x, y) = - और अस्तित्व की स्थिति के लिए यह जानना आवश्यक है कि f (x, y) XY समतल के एक क्षेत्र में निरंतर है जिसमें निर्देशांक x = 1, y = 3 का बिंदु है।

लेकिन f (x, y) = - y वह एफाइन फ़ंक्शन है, जो वास्तविक संख्याओं के डोमेन में निरंतर है और वास्तविक संख्याओं की सीमा में मौजूद है।

इसलिए यह निष्कर्ष निकाला गया है कि आर ² में एफ (एक्स, वाई) निरंतर है, इसलिए प्रमेय कम से कम एक समाधान के अस्तित्व की गारंटी देता है।

यह जानने के बाद, यह मूल्यांकन करना आवश्यक है कि क्या समाधान अद्वितीय है या यदि इसके विपरीत, एक से अधिक है। इसके लिए, चर y के संबंध में f के आंशिक व्युत्पन्न की गणना करना आवश्यक है:

फिर जी (एक्स, वाई) = -1 जो ​​एक निरंतर कार्य है, जो सभी आर ^{2 के} लिए भी परिभाषित है और वहां भी निरंतर है। यह इस प्रकार है कि अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय गारंटी देता है कि इस प्रारंभिक-मूल्य समस्या का एक अनूठा समाधान है, हालांकि यह हमें नहीं बताता है कि यह क्या है।

- उदाहरण २

प्रारंभिक स्थिति के साथ निम्नलिखित प्रथम क्रम साधारण अंतर समीकरण पर विचार करें:

y '(x) = 2√y; और (0) = 0।

क्या इस समस्या का कोई समाधान y (x) है? यदि ऐसा है, तो निर्धारित करें कि क्या एक या एक से अधिक है।

जवाब दे दो

हम फ़ंक्शन च (x, y) = 2.y पर विचार करते हैं। फ़ंक्शन f को केवल y≥0 के लिए परिभाषित किया गया है, क्योंकि हम जानते हैं कि एक नकारात्मक संख्या में वास्तविक जड़ का अभाव है। इसके अलावा, एफ (एक्स, वाई) एक्स अक्ष सहित आर ² के ऊपरी आधे विमान में निरंतर है, इसलिए अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय उस क्षेत्र में कम से कम एक समाधान की गारंटी देता है।

अब प्रारंभिक स्थिति x = 0, y = 0 समाधान क्षेत्र के किनारे पर है। तब हम y के संबंध में f (x, y) का आंशिक व्युत्पन्न लेते हैं:

∂f / ∂y = 1 / ∂y

इस मामले में फ़ंक्शन को y = 0 के लिए परिभाषित नहीं किया गया है, ठीक है जहां प्रारंभिक स्थिति है।

प्रमेय हमें क्या बताता है? यह हमें बताता है कि यद्यपि हम जानते हैं कि एक्स अक्ष सहित एक्स अक्ष के ऊपरी आधे तल में कम से कम एक समाधान है, क्योंकि विशिष्टता की स्थिति पूरी नहीं हुई है, कोई गारंटी नहीं है कि एक अनूठा समाधान होगा।

इसका मतलब यह है कि च (x, y) की निरंतरता के क्षेत्र में एक या एक से अधिक समाधान हो सकते हैं। और हमेशा की तरह, प्रमेय हमें यह नहीं बताता कि वे क्या हो सकते हैं।

हल किया अभ्यास

- अभ्यास 1

उदाहरण 1 में कैची समस्या का समाधान करें:

y '(x) = - y; y (1) = 3 के साथ।

फ़ंक्शन y (x) का पता लगाएं जो विभेदक समीकरण और प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है।

उपाय

उदाहरण 1 में यह निर्धारित किया गया था कि इस समस्या का हल है और यह अद्वितीय भी है। समाधान खोजने के लिए, ध्यान देने वाली पहली बात यह है कि यह अलग-अलग चर का पहला डिग्री अंतर समीकरण है, जिसे निम्नानुसार लिखा गया है:

हमारे बीच के चर को अलग करने के लिए और दोनों सदस्यों में विभाजित:

अनिश्चितकालीन अभिन्न दोनों सदस्यों में लागू किया जाता है:

हमारे पास अनिश्चितकालीन अभिन्न हल करना:

जहां C एक एकीकरण का एक निरंतरता है जो प्रारंभिक स्थिति द्वारा निर्धारित किया जाता है:

C के मान को प्रतिस्थापित करना और उसे पुन: व्यवस्थित करना:

लघुगणक की निम्नलिखित संपत्ति को लागू करना:

उपरोक्त अभिव्यक्ति को इस तरह से फिर से लिखा जा सकता है:

दोनों सदस्यों में बेस ई के साथ घातीय फ़ंक्शन को प्राप्त करने के लिए लागू किया जाता है:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

जो इसके बराबर है:

y = 3e ई- ^एक्स

यह समीकरण y '= -y with y (1) = 3. का विलक्षण विलयन है। इस विलयन का ग्राफ चित्र 1 में दिखाया गया है।

- व्यायाम २

उदाहरण 2 में सामने आई समस्या के दो समाधान खोजें:

y '(x) = 2√ (y); और (0) = 0।

उपाय

यह अलग-अलग चर का एक समीकरण भी है, जो अंतर रूप में लिखा गया है, इस तरह दिखता है:

डाई / y (y) = 2 डीएक्स

दोनों सदस्यों में अनिश्चितकालीन अभिन्नता रखना:

2 2 (y) = 2 x + C

चूंकि हम जानते हैं कि हमारे पास समाधान क्षेत्र में y we0 है:

y = (x + C) ²

लेकिन चूंकि प्रारंभिक स्थिति x = 0, y = 0 को पूरा किया जाना चाहिए, फिर स्थिर C शून्य है और निम्न समाधान शेष है:

y (x) = x ² ।

लेकिन यह समाधान अद्वितीय नहीं है, फ़ंक्शन y (x) = 0 भी समस्या का हल है। उदाहरण 2 में इस समस्या पर लागू अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय ने पहले ही भविष्यवाणी कर दी थी कि एक से अधिक समाधान हो सकते हैं।

संदर्भ

1. कोडिंगटन, अर्ल ए.; लेविंसन, नॉर्मन (1955), थ्योरी ऑफ़ ऑर्डिनरी डिफरेंशियल इक्वेशन, न्यूयॉर्क: मैकग्रा-हिल।
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