ग्रीन की प्रमेय कनेक्ट लाइन अभिन्न डबल अभिन्न या सतह क्षेत्र के लिए इस्तेमाल किया एक गणना पद्धति है। शामिल कार्यों को वेक्टर फ़ील्ड के रूप में चिह्नित किया जाना चाहिए और पथ C के भीतर परिभाषित किया जाना चाहिए।
उदाहरण के लिए, एक लाइन अभिन्न अभिव्यक्ति को हल करना बहुत मुश्किल हो सकता है; हालांकि ग्रीन की प्रमेय को लागू करने से दोहरे अभिन्न अंग काफी बुनियादी हो जाते हैं। प्रक्षेपवक्र की सकारात्मक दिशा का सम्मान करना हमेशा महत्वपूर्ण होता है, यह एंटी-क्लॉकवाइज दिशा को संदर्भित करता है।
ग्रीन की प्रमेय स्टोक्स की प्रमेय का एक विशेष मामला है, जहां वेक्टर फ़ंक्शन का प्रक्षेपण एक्स प्लेन में किया जाता है।
परिभाषा
ग्रीन की प्रमेय की अभिव्यक्ति इस प्रकार है:
पहला शब्द "C" पथ द्वारा परिभाषित रेखा अभिन्न दिखाता है, वेक्टर फ़ंक्शन "F" और वेक्टर "r" के बीच स्केलर उत्पाद।
C: यह परिभाषित पथ है जिस पर वेक्टर फ़ंक्शन को उस विमान के लिए परिभाषित किए जाने तक अनुमानित किया जाएगा।
एफ: वेक्टर फ़ंक्शन, जहां इसके प्रत्येक घटक को फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया जाता है जैसे (एफ, जी)।
r: यह उस क्षेत्र R पर एक सदिश स्पर्शरेखा है जिस पर अभिन्न परिभाषित है। इस मामले में हम इस वेक्टर के अंतर के साथ काम करते हैं।
दूसरे कार्यकाल में हम देखते हैं कि ग्रीन का प्रमेय विकसित है, जहां जी और एफ के आंशिक डेरिवेटिव के अंतर के क्षेत्र आर में परिभाषित डबल अभिन्न क्रमशः एक्स और वाई के संबंध में मनाया जाता है। एक क्षेत्र के अंतर से जो दो-आयामी अंतर (dx.dy) दोनों के उत्पाद से अधिक कुछ नहीं है।
यह प्रमेय अंतरिक्ष और सतह के अभिन्न अंग के लिए पूरी तरह से लागू है।
प्रदर्शन
ग्रीन की प्रमेय को सरल तरीके से साबित करने के लिए, यह कार्य 2 भागों में टूट जाएगा। सबसे पहले, हम मानेंगे कि वेक्टर फ़ंक्शन F की केवल छंद i में परिभाषा है । जबकि छद्म जम्मू के अनुरूप फ़ंक्शन "जी" शून्य के बराबर होगा।
लेखक
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x i + y j
डॉ = डीएक्स आई + डाई जे
पहले हम पथ C के ऊपर लाइन इंटीग्रल विकसित करते हैं, जिसके लिए पथ को 2 खंडों में विभाजित किया गया है जो पहले a से b तक और फिर b से a तक जाते हैं।
पथरी की मूल प्रमेय की परिभाषा एक निश्चित अभिन्न के लिए लागू की जाती है।
अभिव्यक्ति को एक ही अभिन्न अंग में बदल दिया जाता है, नकारात्मक को एक सामान्य कारक बनाया जाता है, और कारकों का क्रम उलट जाता है।
इस अभिव्यक्ति को विस्तार से देखने पर, यह स्पष्ट हो जाता है कि आदिम कार्य मानदंड को लागू करते समय, हम f से y के संबंध में प्राप्त अभिव्यक्ति के अभिन्न अंग की उपस्थिति में हैं। मापदंडों में मूल्यांकन किया गया
अब यह मान लेना पर्याप्त है कि वेक्टर फ़ंक्शन F को केवल g (x, y) j के लिए परिभाषित किया गया है । पिछले मामले के समान तरीके से संचालन करते समय, निम्नलिखित प्राप्त होता है:
समाप्त करने के लिए, 2 प्रमाणों को लिया जाता है और उस मामले में शामिल हो जाता है जहां वेक्टर फ़ंक्शन दोनों छंदों के लिए मान लेता है। इस तरह, यह दिखाया गया है कि कैसे परिभाषित और एक आयामी प्रक्षेपवक्र के रूप में माना जाने के बाद लाइन अभिन्न है, विमान और अंतरिक्ष के लिए पूरी तरह से विकसित किया जा सकता है।
एफ = एफ (एक्स, वाई) आई + जी (एक्स, वाई) जे
इस तरह, ग्रीन का प्रमेय सिद्ध होता है।
अनुप्रयोग
ग्रीन की प्रमेय के अनुप्रयोग भौतिकी और गणित की शाखाओं में विस्तृत हैं। ये किसी भी अनुप्रयोग या उपयोग का विस्तार करते हैं जिसे लाइन एकीकरण के लिए दिया जा सकता है।
एक पथ सी के माध्यम से एक बल एफ द्वारा किए गए यांत्रिक कार्य, एक लाइन अभिन्न द्वारा विकसित किया जा सकता है जिसे ग्रीन के प्रमेय द्वारा एक क्षेत्र के दोहरे अभिन्न के रूप में व्यक्त किया गया है।
आवेदन के विभिन्न बिंदुओं पर बाहरी बलों के अधीन कई निकायों की जड़ता के क्षण भी लाइन इंटीग्रल का जवाब देते हैं जिन्हें ग्रीन के प्रमेय के साथ विकसित किया जा सकता है।
उपयोग के तहत सामग्री के प्रतिरोध अध्ययन में इसके कई कार्य हैं। जहां विभिन्न तत्वों के विकास से पहले बाहरी मूल्यों को मात्रा और ध्यान में रखा जा सकता है।
सामान्य तौर पर, ग्रीन का प्रमेय उन क्षेत्रों की समझ और परिभाषा की सुविधा देता है जहां वेक्टर कार्य एक मार्ग के साथ एक क्षेत्र के संबंध में परिभाषित किए जाते हैं।
इतिहास
यह 1828 में ब्रिटिश गणितज्ञ जॉर्ज ग्रीन द्वारा लिखित बिजली और चुंबकत्व के सिद्धांतों के गणितीय विश्लेषण में प्रकाशित हुआ था। इसमें, भौतिकी में कलन के अनुप्रयोग में काफी निर्णायक खंडों का पता लगाया जाता है, जैसे कि संभावित कार्यों की अवधारणा, ग्रीन के कार्य और उनके स्व-शीर्षक वाले प्रमेय के अनुप्रयोग।
जॉर्ज ग्रीन ने 40 साल की उम्र में अपने छात्र के कैरियर की औपचारिक शुरुआत की, जो अब तक पूरी तरह से स्वयं-सिखाया गणितज्ञ है। कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय में अध्ययन करने के बाद, उन्होंने अपने शोध को जारी रखा, जिससे ध्वनिकी, प्रकाशिकी और हाइड्रोडायनामिक्स में योगदान मिला जो आज भी मान्य है।
अन्य प्रमेयों के साथ संबंध
ग्रीन का प्रमेय एक विशेष मामला है, और यह पथरी के क्षेत्र में 2 अन्य बहुत महत्वपूर्ण प्रमेयों से उत्पन्न होता है। ये केल्विन-स्टोक्स प्रमेय और विचलन या गॉस ओस्ट्रोग्रैडस्की प्रमेय हैं।
दोनों प्रमेयों में से किसी एक से शुरू होकर, ग्रीन की प्रमेय पर पहुंच सकते हैं। ऐसे प्रमाण विकसित करने के लिए कुछ परिभाषाएँ और प्रस्ताव आवश्यक हैं।
अभ्यास
- निम्नलिखित अभ्यास से पता चलता है कि कैसे एक रेखा को एक क्षेत्र आर के संबंध में एक दोहरे अभिन्न अंग में बदलना है।
मूल अभिव्यक्ति निम्नलिखित है:
जहाँ से संबंधित कार्य af और g लिया जाता है
f (x, y) = x 3 g (x, y) = yx
df / डाई = 0 dg / dx = y
ग्रीन के प्रमेय को लागू करते समय एकीकरण की सीमाओं को परिभाषित करने का कोई एक तरीका नहीं है। लेकिन ऐसे तरीके हैं जहां परिभाषित किए जाने के बाद अभिन्न अंग सरल हो सकते हैं। इसलिए एकीकरण सीमा का अनुकूलन ध्यान देने योग्य है।
जहाँ हम अभिन्न को हल करते हैं:
यह मान क्यूबिक इकाइयों में वेक्टर फ़ंक्शन के नीचे के क्षेत्र और सी द्वारा परिभाषित त्रिकोणीय क्षेत्र पर निर्भर करता है।
ग्रीन की विधि को निष्पादित किए बिना लाइन इंटीग्रल के मामले में, यह आवश्यक है कि क्षेत्र के प्रत्येक अनुभाग में कार्यों को पैरामीटरित किया जाए। यही है, संकल्प के लिए 3 पैरामीटराइज्ड इंटीग्रल्स का प्रदर्शन करें। यह उस दक्षता का पर्याप्त प्रमाण है जिसे रॉबर्ट ग्रीन ने अपने प्रमेय के साथ कैलकुलस में लाया था।
संदर्भ
- कॉन्टिनम मैकेनिक्स का परिचय। डब्ल्यू माइकल लाइ, डेविड एच। रुबिन, एरहार्ड क्रेमप्ल, डेविड रुबिन बटरवर्थ-हीनमैन, 23 जुलाई। 2009
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- ग्रीन के प्रमेय और संबद्ध विचारों का एक अनौपचारिक इतिहास। जेम्स जोसेफ क्रॉस। गणित विभाग, मेलबर्न विश्वविद्यालय, 1975
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