स्टेनर के प्रमेय, भी समानांतर धुरी प्रमेय के रूप में जाना जाता है, एक विस्तारित शरीर की निष्क्रियता के क्षण का आकलन करने के, एक धुरी है कि वस्तु के द्रव्यमान का केंद्र के माध्यम से एक और गुजर के समानांतर है के बारे में।
यह स्विस गणितज्ञ जैकब स्टीनर (1796–1863) द्वारा खोजा गया था और निम्नलिखित बताता है: आइए सीएम वस्तु के जड़ता का क्षण है जिसके संबंध में एक द्रव्यमान सीएम के केंद्र के माध्यम से गुजर रहा है और मैं एक अन्य अक्ष के संबंध में जड़ता के क्षण को z करता हूं। इसके समानांतर।
चित्र 1. इसके आयतों पर घूमते हुए एक आयताकार द्वार में जड़ता का एक क्षण होता है जिसे स्टेनर के प्रमेय को लागू करके गणना की जा सकती है। स्रोत: पिक्साबे
उस दूरी डी को जानना जो शरीर के दोनों अक्षों और द्रव्यमान M को अलग करता है, अज्ञात अक्ष के संबंध में जड़ता का क्षण है:
जड़ता का क्षण इंगित करता है कि किसी वस्तु के लिए एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमना कितना आसान है। यह न केवल शरीर के द्रव्यमान पर निर्भर करता है, बल्कि यह कैसे वितरित किया जाता है। इस कारण से इसे इंटरनेशनल सिस्टम केजी में इसकी इकाइयों के रूप में, घूर्णी जड़ता के रूप में भी जाना जाता है। म २ ।
प्रमेय से पता चलता है कि जड़ता I z का क्षण हमेशा MD 2 द्वारा दी गई मात्रा द्वारा जड़ता I CM के क्षण से अधिक होता है ।
अनुप्रयोग
चूंकि एक वस्तु कई अक्षों के चारों ओर घूमने में सक्षम है, और तालिकाओं में आमतौर पर केवल जड़ता के क्षण को केंद्रक के माध्यम से गुजरने वाले अक्ष के संबंध में दिया जाता है, स्टाइनर के प्रमेय गणना की सुविधा देता है जब कुल्हाड़ियों पर निकायों को घुमाने के लिए आवश्यक होता है यह मेल नहीं खाता।
उदाहरण के लिए, एक दरवाजा आमतौर पर अपने द्रव्यमान के केंद्र के माध्यम से एक अक्ष के बारे में नहीं घूमता है, लेकिन एक पार्श्व अक्ष के बारे में, जहां टिका पालन होता है।
जड़ता के क्षण को जानकर, अक्ष के बारे में रोटेशन से जुड़ी गतिज ऊर्जा की गणना करना संभव है। यदि K गतिज ऊर्जा है, तो मैं प्रश्न में धुरी के चारों ओर जड़ता का क्षण और कोणीय वेग, यह इस प्रकार है:
कश्मीर = ½ Mv: इस समीकरण जन एम की एक वस्तु v गति से आगे बढ़ रही के लिए गतिज ऊर्जा के लिए बहुत परिचित सूत्र के समान है 2 । और यह है कि जड़ता या घूर्णी जड़ता का क्षण मैं अनुवाद में द्रव्यमान एम के रूप में रोटेशन में एक ही भूमिका निभाता है।
स्टाइनर के प्रमेय का प्रमाण
विस्तारित वस्तु की जड़ता के क्षण को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
मैं = ∫ आर 2 डीएम
जहां डीएम द्रव्यमान का एक असीम भाग है और आर, डीएम और रोटेशन जेड के अक्ष के बीच की दूरी है। आकृति 2 में यह अक्ष द्रव्यमान CM के केंद्र को पार करता है, हालाँकि यह कोई भी हो सकता है।
चित्रा 2. दो समानांतर अक्षों के चारों ओर रोटेशन में विस्तारित एक वस्तु। स्रोत: एफ। ज़पाटा
एक और z 'अक्ष के आसपास, जड़ता का क्षण है:
I z = ∫ (r ') 2 डी.एम.
अब, वैक्टर डी, आर और आर ' द्वारा बनाई गई त्रिकोण के अनुसार (दाईं ओर आंकड़ा 2 देखें), एक वेक्टर है:
r + r ' = D → r' = D - r
तीन वैक्टर ऑब्जेक्ट के विमान पर झूठ बोलते हैं, जो कि एक्सवाई हो सकता है। समन्वय प्रणाली (0,0) की उत्पत्ति का पालन करने के लिए गणना की सुविधा के लिए सीएम में चुना गया है।
इस तरह सदिश r ' का चुकता मॉड्यूल है:
अब इस विकास को जड़ता I z के क्षण के अभिन्न अंग में प्रतिस्थापित किया जाता है और घनत्व dm = ρ.dV की परिभाषा का उपयोग किया जाता है:
एम। डी। 2 शब्द जो कि स्टाइनर की प्रमेय में दिखाई देता है, पहले अभिन्न से आता है, दूसरा सीएम से होकर गुजरने वाली धुरी के संबंध में जड़ता का क्षण है।
उनके हिस्से के लिए, तीसरे और चौथे इंटीग्रल्स 0 के लायक हैं, क्योंकि परिभाषा के अनुसार वे सीएम की स्थिति का गठन करते हैं, जिसे समन्वय प्रणाली (0,0) के मूल के रूप में चुना गया है।
हल किया अभ्यास
-आधारित व्यायाम 1
चित्रा 1 में आयताकार दरवाजे का द्रव्यमान 23 किलोग्राम, 1.30 चौड़ा और 2.10 मीटर ऊंचा है। टिका के माध्यम से गुजरने वाले अक्ष के संबंध में दरवाजे की जड़ता का क्षण निर्धारित करें, यह मानते हुए कि दरवाजा पतला और समान है।
चित्रा 3. काम के उदाहरण के लिए योजनाबद्ध 1. स्रोत: Pixabay से संशोधित।
उपाय
जड़ता के क्षणों की एक तालिका से, द्रव्यमान एम के एक आयताकार प्लेट और ए और बी के आयाम के लिए, द्रव्यमान के केंद्र के माध्यम से गुजरने वाले अक्ष के संबंध में जड़ता का क्षण है: I CM = (1/12) M (एक 2 +) बी 2)।
एक सजातीय द्वार मान लिया जाएगा (एक सन्निकटन, क्योंकि आकृति में फाटक शायद ऐसा नहीं है)। ऐसे में द्रव्यमान का केंद्र उसके ज्यामितीय केंद्र से होकर गुजरता है। आकृति 3 में एक अक्ष जो द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरता है, खींचा गया है और यह उस अक्ष के समानांतर भी है जो टिका है।
I CM = (1/12) x 23 Kg x (1.30 2 +2.10 2) m 2 = 11.7 Kg.m 2
रोटेशन की हरी धुरी के लिए स्टेनर का प्रमेय लागू करना:
I = I CM + MD 2 = 11.7 Kg 2 + 23 Kg x 0.652 m 2 = 21.4 Kg।
-सक्रिय व्यायाम २
एक सजातीय पतली छड़ की जड़ता का क्षण ढूंढें जब यह एक अक्ष के बारे में घूमता है जो इसके एक छोर से गुजरता है, आकृति देखें। क्या यह जड़ता के क्षण से अधिक या कम है जब यह अपने केंद्र के चारों ओर घूमता है? क्यों?
चित्र 4. सुलझे हुए उदाहरण के लिए योजना 2. स्रोत: एफ। ज़पाटा।
उपाय
जड़ता के क्षणों की तालिका के अनुसार, मास एम और लंबाई एल की एक पतली छड़ की जड़ता I CM का क्षण है: I CM = (1/12) ML 2
और स्टीनर की प्रमेय में कहा गया है कि जब इसे एक धुरी के चारों ओर घुमाया जाता है जो एक छोर D = L / 2 से होकर गुजरता है:
यह अधिक से अधिक है, हालांकि केवल दो बार नहीं, बल्कि 4 गुना अधिक है, क्योंकि रॉड के अन्य आधे भाग (आकृति में छायांकित नहीं) एक बड़े त्रिज्या का वर्णन करते हुए घूमता है।
रोटेशन के अक्ष की दूरी का प्रभाव रैखिक नहीं है, लेकिन द्विघात है। एक बड़े पैमाने पर है कि एक और दो बार के रूप में दूरी के (2 डी) जड़ता आनुपातिक का एक पल होगा 2 = 4D 2 ।
संदर्भ
- बाउर, डब्ल्यू। 2011. भौतिकी और इंजीनियरिंग के लिए विज्ञान। वॉल्यूम 1. मैक ग्रे हिल। 313-340।
- जॉर्जिया स्टेट यूनिवर्सिटी। घूर्णी गति। से पुनर्प्राप्त: Phys.nthu.edu.tw।
- समानांतर अक्ष सिद्धांत। से पुनर्प्राप्त: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu।
- रेक्स, ए। 2011. बुनियादी बातों के भौतिकी। पियर्सन। 190-200।
- विकिपीडिया। समानांतर अक्ष प्रमेय। से पुनर्प्राप्त: en.wikipedia.org