थेल्स ऑफ़ मिलेटस का पहला और दूसरा प्रमेय समान लोगों (पहले प्रमेय) या हलकों (दूसरा प्रमेय) से त्रिकोण निर्धारित करने पर आधारित हैं। वे विभिन्न क्षेत्रों में बहुत उपयोगी रहे हैं। उदाहरण के लिए, पहली प्रमेय बड़ी संरचनाओं को मापने के लिए बहुत उपयोगी थी जब कोई परिष्कृत माप उपकरण नहीं थे।
थेल्स ऑफ़ मिलेटस एक ग्रीक गणितज्ञ थे जिन्होंने ज्यामिति में महान योगदान दिया, जिनमें से ये दो प्रमेय बाहर खड़े हैं (कुछ ग्रंथों में उन्हें थेल्स के रूप में भी लिखा गया है) और उनके उपयोगी अनुप्रयोग। इन परिणामों का उपयोग पूरे इतिहास में किया गया है और इसने विभिन्न प्रकार की ज्यामितीय समस्याओं को हल करना संभव बना दिया है।
थेल्स ऑफ़ मिलिटस
थेल्स का पहला प्रमेय
थेल्स का पहला प्रमेय एक बहुत ही उपयोगी उपकरण है, जो अन्य बातों के अलावा, पहले से ज्ञात अन्य के समान त्रिकोण के निर्माण की अनुमति देता है। यहाँ से प्रमेय के विभिन्न संस्करण निकाले गए हैं जिन्हें कई संदर्भों में लागू किया जा सकता है।
अपना वक्तव्य देने से पहले, हम त्रिकोण की समानता की कुछ धारणाओं को याद करते हैं। अनिवार्य रूप से, दो त्रिकोण समान होते हैं यदि उनके कोण समरूप होते हैं (उनके पास एक ही उपाय है)। यह इस तथ्य के परिणामस्वरूप होता है कि यदि दो त्रिकोण समान हैं, तो उनके अनुरूप (या समरूप) पक्ष आनुपातिक हैं।
थेल्स के पहले प्रमेय में कहा गया है कि यदि किसी दिए गए त्रिभुज में किसी भी भुजा के समानांतर एक रेखा खींची जाती है, तो प्राप्त नया त्रिकोण प्रारंभिक त्रिभुज के समान होगा।
निम्नलिखित कोणों में दिखाए गए कोणों के बीच एक संबंध भी बनता है।
आवेदन
इसके कई अनुप्रयोगों में, एक विशेष रुचि बाहर खड़ा है और एंटीकिटी में बड़ी संरचनाओं से माप के तरीकों में से एक के साथ क्या करना है, एक समय था जिसमें थेल्स रहते थे और जिसमें कोई आधुनिक माप उपकरण नहीं थे, वे अब मौजूद हैं
यह कहा जाता है कि यह कैसे थेल्स मिस्र में सबसे ऊंचा पिरामिड, चॉप्स को मापने में कामयाब रहा। इसके लिए, थेल्स का मानना था कि सौर किरणों के प्रतिबिंब जमीन को समानांतर रेखाओं से छूते हैं। इस धारणा के तहत, उन्होंने एक छड़ी या बेंत को जमीन पर खड़ा किया।
उन्होंने तब दो परिणामी त्रिभुजों की समानता का उपयोग किया, एक पिरामिड की छाया की लंबाई (जिसे आसानी से गणना की जा सकती है) और पिरामिड की ऊंचाई (अज्ञात), और दूसरे की छाया की लंबाई के आधार पर बनाई गई और छड़ी की ऊंचाई (जिसे आसानी से गणना भी की जा सकती है)।
इन लंबाई के बीच आनुपातिकता का उपयोग करते हुए, पिरामिड की ऊंचाई को हल और ज्ञात किया जा सकता है।
हालांकि यह माप विधि ऊंचाई की सटीकता के संबंध में एक महत्वपूर्ण सन्निकटन त्रुटि दे सकती है और सौर किरणों की समानता पर निर्भर करती है (जो कि एक सटीक समय पर निर्भर करती है), यह माना जाना चाहिए कि यह एक बहुत ही सरल विचार है। और यह उस समय के लिए एक अच्छा माप विकल्प प्रदान करता है।
उदाहरण
प्रत्येक मामले में x का मान ज्ञात करें:
थेल्स का दूसरा प्रमेय
थेल्स का दूसरा प्रमेय उसी के प्रत्येक बिंदु पर एक सर्कल में उत्कीर्ण एक सही त्रिकोण निर्धारित करता है।
परिधि में उत्कीर्ण एक त्रिभुज एक त्रिभुज होता है जिसका परिधि परिधि पर होता है, इस प्रकार उसमें निहित रहता है।
विशेष रूप से, थेल्स का दूसरा प्रमेय निम्नलिखित बताता है: केंद्र O और व्यास AC के साथ एक वृत्त दिया गया, परिधि पर प्रत्येक बिंदु B (A और C के अलावा) एक समकोण ABC निर्धारित करता है, समकोण
औचित्य के अनुसार, कृपया ध्यान दें कि OA और OB और OC दोनों परिधि की त्रिज्या के अनुरूप हैं; इसलिए, उनके माप समान हैं। इस से यह निम्नानुसार है कि त्रिकोण OAB और OCB समद्विबाहु हैं, जहां
यह ज्ञात है कि एक त्रिकोण के कोणों का योग 180 sum के बराबर है। त्रिभुज ABC के साथ इसका उपयोग करना हमारे पास है:
2 बी + 2 ए = 180º।
समान रूप से, हमारे पास वह b + a = 90 b और b + a = है
ध्यान दें कि थेल्स की दूसरी प्रमेय द्वारा प्रदान किया गया सही त्रिकोण ठीक वही है जिसका कर्ण परिधि के व्यास के बराबर है। इसलिए, यह पूरी तरह से अर्धवृत्त द्वारा निर्धारित किया जाता है जिसमें त्रिकोण के बिंदु होते हैं; इस मामले में, ऊपरी अर्धवृत्त।
आइए हम यह भी देखें कि थेल्स के दूसरे प्रमेय के माध्यम से प्राप्त सही त्रिकोण में, कर्ण को OA और OC (त्रिज्या) द्वारा दो समान भागों में विभाजित किया गया है। बदले में, यह माप OB (त्रिज्या भी) खंड के बराबर है, जो कि B से त्रिभुज ABC के माध्य से मेल खाता है।
दूसरे शब्दों में, वर्टेक्स बी के अनुरूप दाएं त्रिकोण एबीसी के मध्य की लंबाई पूरी तरह से आधे कर्ण द्वारा निर्धारित की जाती है। स्मरण करो कि एक त्रिभुज का माध्य खंड के एक कोने से विपरीत दिशा के मध्य बिंदु तक होता है; इस मामले में, बीओ खंड।
परिचालित परिधि
थेल्स की दूसरी प्रमेय को देखने का एक अन्य तरीका एक सही त्रिकोण के परिधि के माध्यम से है।
सामान्य तौर पर, बहुभुज की परिधि एक परिधि में होती है, जो अपने प्रत्येक कोने से गुजरती है, जब भी इसे खींचना संभव होता है।
थेल्स के दूसरे प्रमेय का उपयोग करते हुए, एक सही त्रिकोण दिया जाता है, हम हमेशा एक परिधि का निर्माण कर सकते हैं, जिसमें अर्धवृत्ताकार और अर्धवृत्त (परिधि के केंद्र) के बराबर त्रिज्या है जो कर्ण के मध्य बिंदु के बराबर है।
आवेदन
थेल्स की दूसरी प्रमेय का एक बहुत ही महत्वपूर्ण अनुप्रयोग, और शायद सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, किसी दिए गए वृत्त के स्पर्शरेखा रेखाओं को एक बिंदु P बाह्य के माध्यम से ज्ञात करना (ज्ञात)।
ध्यान दें कि एक वृत्त दिया गया है (नीचे दिए गए चित्र में नीले रंग में खींचा गया है) और एक बाहरी बिंदु P है, वृत्त की दो पंक्तियाँ हैं जो P. Let T और T से होकर गुजरती हैं। स्पर्शरेखा के बिंदु हो, वृत्त की त्रिज्या r, और या केंद्र।
यह ज्ञात है कि जो खंड एक वृत्त के केंद्र से उसी के स्पर्शरेखा के बिंदु तक जाता है, इस स्पर्श रेखा के लंबवत है। तो कोण OTP सही है।
थेल्स के पहले प्रमेय और इसके विभिन्न संस्करणों में हमने जो देखा, उससे हम देखते हैं कि ओटीपी त्रिकोण को दूसरे सर्कल में (लाल रंग में) अंकित करना संभव है।
इसी तरह, यह प्राप्त किया जाता है कि त्रिभुज OT'P को उसी पिछले परिधि के भीतर अंकित किया जा सकता है।
थेल्स के दूसरे प्रमेय से हमें यह भी पता चलता है कि इस नई परिधि का व्यास ठीक त्रिभुज OTP (जो त्रिभुज OT'P के कर्ण के बराबर है) का कर्ण है, और केंद्र इस कर्ण का मध्य बिंदु है।
नई परिधि के केंद्र की गणना करने के लिए, केंद्र के मध्य बिंदु की गणना करने के लिए पर्याप्त है - प्रारंभिक परिधि के एम - कहते हैं (जिसे हम पहले से जानते हैं) और बिंदु पी (जिसे हम भी जानते हैं)। तब त्रिज्या इस बिंदु M और P के बीच की दूरी होगी।
त्रिज्या और लाल वृत्त के केंद्र के साथ हम इसके कार्टेशियन समीकरण को पा सकते हैं, जिसे हम याद करते हैं (xh) 2 + (yk) 2 = c 2, जहां c त्रिज्या है और बिंदु (h, k) है परिधि का केंद्र।
अब दोनों सर्कल के समीकरणों को जानकर, हम उनके द्वारा गठित समीकरणों की प्रणाली को हल करके, और इस प्रकार स्पर्शरेखा टी और टी के बिंदुओं को प्राप्त कर सकते हैं। अंत में, वांछित स्पर्शरेखा लाइनों को जानने के लिए, यह उन लाइनों के समीकरण को खोजने के लिए पर्याप्त है जो टी और पी से गुजरती हैं, और टी 'और पी के माध्यम से।
उदाहरण
व्यास एसी, केंद्र O और त्रिज्या 1 सेमी की परिधि पर विचार करें। आज्ञा देना बी एक बिंदु पर परिधि ऐसी है कि एबी = एसी। AB कितना लंबा है?
उपाय
थेल्स के दूसरे प्रमेय से हमारे पास यह है कि त्रिभुज ABC सही है और कर्ण व्यास से मेल खाती है, इस मामले में माप 2 सेमी (त्रिज्या 1 सेमी) है। फिर, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा हमारे पास:
संदर्भ
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