TORRICELLI की प्रमेय: इसमें क्या हैं, सूत्र और अभ्यास - शारीरिक - 2025

प्रमेय Torricelli या सिद्धांत Torricelli कहा गया है कि तरल एक टैंक या कंटेनर की दीवार में छिद्र बाहर निकलने की दर, समान है सतह के बराबर है कि प्राप्त करने के लिए एक वस्तु ऊंचाई से स्वतंत्र रूप से हटा दिया गया है छेद के लिए तरल से मुक्त।

प्रमेय को निम्नलिखित आकृति में चित्रित किया गया है:

Torricelli की प्रमेय का चित्रण। स्रोत: स्व बनाया

Torricelli के प्रमेय के कारण, हम तब बता सकते हैं कि एक छिद्र के माध्यम से तरल का निकास वेग जो कि तरल की मुक्त सतह के नीचे ऊंचाई h पर है, निम्न सूत्र द्वारा दिया गया है:

जहां जी गुरुत्वाकर्षण का त्वरण है और h छेद से तरल की मुक्त सतह तक की ऊंचाई है।

इवांजेलिस्ता टोरिकेली 1608 में इटली के फैजेनिया शहर में जन्मे एक भौतिक विज्ञानी और गणितज्ञ थे। टोरिकेली को पारा बैरोमीटर के आविष्कार का श्रेय दिया जाता है और मान्यता में एक दबाव इकाई है जिसे "टॉरर" कहा जाता है, जो पारे के एक मिलीमीटर के बराबर है। (मिमी ऑफ एचजी)।

प्रमेय का प्रमाण

Torricelli के प्रमेय और सूत्र में जो वेग देता है, यह मानता है कि चिपचिपाहट के नुकसान नगण्य हैं, ठीक उसी तरह जैसे कि मुक्त रूप में यह माना जाता है कि गिरने वाली वस्तु के आसपास की हवा के कारण घर्षण नगण्य है।

उपरोक्त धारणा ज्यादातर मामलों में उचित है और इसमें यांत्रिक ऊर्जा का संरक्षण भी शामिल है।

प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, हम पहले शून्य में प्रारंभिक गति के साथ किसी वस्तु के लिए वेग का सूत्र खोजेंगे, टैंक में तरल सतह जितनी ऊंचाई से।

ऊर्जा के संरक्षण के सिद्धांत को गिरती हुई वस्तु की गति प्राप्त करने के लिए लागू किया जाएगा जब यह छेद से मुक्त सतह के बराबर ऊँचाई एच नीचे उतरा हो।

चूंकि कोई घर्षण नुकसान नहीं हैं, इसलिए यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के सिद्धांत को लागू करना मान्य है। मान लें कि गिरने वाली वस्तु में द्रव्यमान m है और ऊँचाई h को तरल के निकास स्तर से मापा जाता है।

गिरती हुई चीज़ें

जब वस्तु को तरल की मुक्त सतह के बराबर ऊँचाई से छोड़ा जाता है, तो इसकी ऊर्जा केवल गुरुत्वाकर्षण क्षमता होती है, क्योंकि इसकी गति शून्य होती है और इसलिए इसकी गतिज ऊर्जा शून्य होती है। संभावित ऊर्जा एप द्वारा दिया गया है:

एप = मेघ

जब यह छेद के सामने से गुजरता है, तो इसकी ऊंचाई शून्य होती है, तब संभावित ऊर्जा शून्य होती है, इसलिए इसमें केवल गतिज ऊर्जा दी जाती है:

इको = v mv ²

चूंकि ऊर्जा प्राप्त होती है जो प्राप्त होती है उससे Ep = Ec:

साढ़े mv ² = MGH

गति v के लिए समाधान, Torricelli सूत्र तब प्राप्त किया जाता है:

छेद से तरल निकलना

आगे हम छेद के माध्यम से तरल के निकास वेग को पाएंगे, ताकि यह दिखाया जा सके कि यह उसी के साथ मेल खाता है जो कि बस एक स्वतंत्र रूप से गिरने वाली वस्तु के लिए गणना की गई थी।

इसके लिए हम खुद को बर्नौली के सिद्धांत पर आधारित करेंगे, जो तरल पदार्थों पर लागू ऊर्जा के संरक्षण से ज्यादा कुछ नहीं है।

बर्नोली का सिद्धांत इस तरह तैयार किया गया है:

इस सूत्र की व्याख्या इस प्रकार है:

• पहला शब्द प्रति यूनिट आयतन में द्रव की गतिज ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है
• दूसरा प्रति इकाई क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र के दबाव द्वारा किए गए कार्य का प्रतिनिधित्व करता है
• तीसरा द्रव की प्रति इकाई मात्रा के गुरुत्वाकर्षण क्षमता ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है।

जैसा कि हम इस आधार से शुरू करते हैं कि यह एक आदर्श तरल पदार्थ है, अपेक्षाकृत कम वेग के साथ गैर-अशांत स्थितियों में, फिर यह पुष्टि करना उचित है कि द्रव में प्रति इकाई मात्रा यांत्रिक ऊर्जा अपने सभी क्षेत्रों या क्रॉस-सेक्शन में स्थिर है।

इस सूत्र में V द्रव का वेग है, द्रव का घनत्व ρ, P दबाव और ऊर्ध्वाधर स्थिति z।

नीचे दिया गया आंकड़ा बर्नोरेली के सिद्धांत से शुरू होने वाले टोरिसेली के सूत्र को दर्शाता है।

हम बर्नौली के फार्मूले को उस तरल की मुक्त सतह पर लागू करते हैं जिसे हम (1) द्वारा और बाहर निकलने वाले छेद पर (2) द्वारा निरूपित करते हैं। आउटलेट हेड के साथ शून्य हेड स्तर को फ्लश चुना गया है।

इस आधार पर कि (1) में क्रॉस सेक्शन (2) की तुलना में बहुत बड़ा है, हम तब मान सकते हैं कि (1) में तरल के वंश की दर व्यावहारिक रूप से नगण्य है।

इस कारण से V ₁ = 0 को सेट किया गया है, जिस तरल के अधीन (1) का दबाव वायुमंडलीय दबाव है और छिद्र से मापी गई ऊंचाई h है।

आउटलेट सेक्शन (2) के लिए हम मानते हैं कि आउटलेट का वेग v है, जिस तरल पदार्थ को आउटलेट में दबाया जाता है वह भी वायुमंडलीय दबाव है और आउटलेट की ऊंचाई शून्य है।

खंडों (1) और (2) के अनुरूप मूल्यों को बर्नौली के सूत्र में प्रतिस्थापित किया गया है और समान रूप से निर्धारित किया गया है। समानता इसलिए है क्योंकि हम मानते हैं कि द्रव आदर्श है और कोई चिपचिपा घर्षण नुकसान नहीं है। एक बार सभी शब्दों को सरल बनाने के बाद, निकास छेद पर वेग प्राप्त किया जाता है।

उपरोक्त बॉक्स दिखाता है कि प्राप्त परिणाम एक स्वतंत्र रूप से गिरने वाली वस्तु के समान है,

हल किया अभ्यास

अभ्यास 1

I) पानी की टंकी का छोटा आउटलेट पाइप पानी की सतह से 3 मीटर नीचे है। पानी के निकास वेग की गणना करें।

उपाय:

निम्नलिखित आंकड़ा दिखाता है कि इस मामले में टोरिकेली का फॉर्मूला कैसे लागू किया जाता है।

व्यायाम २

II) यह मानते हुए कि पिछले अभ्यास से टैंक के आउटलेट पाइप का व्यास 1 सेमी है, पानी के आउटलेट प्रवाह की गणना करें।

उपाय:

फ्लो रेट प्रति यूनिट समय पर निकलने वाले तरल की मात्रा है, और इसकी गणना एक्ज़िट ऑर्निस के क्षेत्र को एक्ज़िट वेग से गुणा करके की जाती है।

निम्नलिखित आंकड़ा गणना का विवरण दिखाता है।

व्यायाम ३

III) निर्धारित करें कि यदि आप जानते हैं कि कंटेनर में पानी की मुक्त सतह कितनी ऊंची है

कंटेनर के तल में एक छेद में, पानी 10 m / s पर बाहर आता है।

उपाय:

यहां तक ​​कि जब छेद कंटेनर के निचले भाग में होता है, तब भी टोरिकेली फॉर्मूला लागू किया जा सकता है।

निम्नलिखित आंकड़ा गणनाओं का विवरण दिखाता है।

संदर्भ

1. विकिपीडिया। Torricelli की प्रमेय।
2. हेविट, पी। वैचारिक भौतिक विज्ञान। पांचवां संस्करण ।119।
3. युवा, ह्यूग। 2016. सीयर्स-ज़मानस्की विश्वविद्यालय के आधुनिक भौतिकी के साथ भौतिकी। 14 वें एड। पियर्सन। 384।