वेरिग्नॉन की प्रमेय: उदाहरण और हल किए गए अभ्यास - गणित - 2025

प्रमेय Varignon कहा गया है कि यदि कोई चतुर्भुज लगातार पक्षों के मध्य बिन्दुओं से जुड़े हुए हैं, एक समान्तर उत्पन्न होता है। यह प्रमेय पियरे वरिगन द्वारा तैयार किया गया था और 1731 में पुस्तक एलीमेंट्स ऑफ मैथेमेटिक्स में प्रकाशित हुआ था।

पुस्तक का प्रकाशन उनकी मृत्यु के वर्षों बाद हुआ। चूंकि यह वरिग्नन था जिन्होंने इस प्रमेय की शुरुआत की थी, इसलिए उनके नाम पर समांतर चतुर्भुज का नाम रखा गया। प्रमेय यूक्लिडियन ज्यामिति पर आधारित है और चतुर्भुज के ज्यामितीय संबंधों को प्रस्तुत करता है।

Varignon का प्रमेय क्या है?

वरिगनोन ने कहा कि एक आकृति जो एक चतुर्भुज के मध्यबिंदु द्वारा परिभाषित होती है, उसका परिणाम हमेशा समांतर चतुर्भुज में होता है, और इसका क्षेत्रफल हमेशा समतल और उत्तल होने पर चतुर्भुज का आधा क्षेत्रफल होगा। उदाहरण के लिए:

आकृति में आप एक एक्स के साथ एक चतुर्भुज देख सकते हैं, जहां पक्षों के मध्य बिंदुओं को ई, एफ, जी और एच द्वारा दर्शाया जाता है और, शामिल होने पर, समांतर चतुर्भुज बनाते हैं। चतुर्भुज का क्षेत्र त्रिभुज के क्षेत्रों का योग होगा जो बनते हैं, और इसका आधा समांतरभुज के क्षेत्र से मेल खाता है।

चूंकि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल चतुर्भुज का आधा क्षेत्र है, इसलिए उस समांतर चतुर्भुज की परिधि निर्धारित की जा सकती है।

इस प्रकार, परिधि चतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई के योग के बराबर है; इसका कारण यह है कि चतुर्भुज के मध्य भाग समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण होंगे।

दूसरी ओर, यदि चतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई बिल्कुल समान है, तो समांतर चतुर्भुज एक समभुज होगा। उदाहरण के लिए:

आंकड़े से यह देखा जा सकता है कि, चतुर्भुज के पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़कर, एक रोम्बस प्राप्त किया जाता है। दूसरी ओर, यदि चतुर्भुज के विकर्ण लंबवत हैं, तो समांतर चतुर्भुज एक आयत होगा।

इसके अलावा समांतर चतुर्भुज एक वर्ग होगा जब चतुर्भुज में समान लंबाई वाले विकर्ण होते हैं और वे लंबवत भी होते हैं।

प्रमेय न केवल विमान चतुर्भुजों में पूरा होता है, यह स्थानिक ज्यामिति या बड़े आयामों में भी लागू किया जाता है; वह है, उन चतुर्भुजों में जो उत्तल नहीं हैं। इसका एक उदाहरण एक ऑक्टाहेड्रॉन हो सकता है, जहां मिडपॉइंट प्रत्येक चेहरे के केंद्रक होते हैं और एक समानांतर रूप बनाते हैं।

इस तरह, विभिन्न आंकड़ों के मध्यबिंदुओं को जोड़कर, समांतर चतुर्भुज प्राप्त किए जा सकते हैं। यह जाँचने का एक आसान तरीका है कि क्या यह सच है कि विपरीत पक्षों को विस्तारित होने पर समानांतर होना चाहिए।

उदाहरण

पहला उदाहरण

विपरीत पक्षों के विस्तार से पता चलता है कि यह एक समांतर चतुर्भुज है:

दूसरा उदाहरण

एक rhombus के midpoint में शामिल होने से, एक आयत प्राप्त होती है:

प्रमेय का उपयोग एक चतुर्भुज के पक्षों के मध्य में स्थित बिंदुओं के संघ में किया जाता है, और इसका उपयोग अन्य प्रकार के बिंदुओं के लिए भी किया जा सकता है, जैसे कि एक त्रिशूल, पेंटा-खंड, या यहां तक ​​कि अनंत संख्या में अनुभाग (आदि) nth), किसी भी चतुर्भुज के पक्षों को खंडों में विभाजित करने के लिए जो आनुपातिक हैं।

हल किया अभ्यास

अभ्यास 1

आकृति में हमारे पास क्षेत्र Z का एक चतुर्भुज ABCD है, जहां इस के पक्षों के मध्य बिंदु PQSR हैं। जाँच करें कि एक वर्गनोन समांतरभुज बनता है।

उपाय

यह देखा जा सकता है कि PQSR बिंदुओं में शामिल होने से एक वराइग्नन समांतर चतुर्भुज बनता है, ठीक है क्योंकि कथन में एक चतुर्भुज के मध्यबिंदु दिए गए हैं।

इसे प्रदर्शित करने के लिए, पहले मिडपॉइंट पीक्यूएसआर शामिल हो जाते हैं, इसलिए यह देखा जा सकता है कि एक और चतुर्भुज बनता है। यह साबित करने के लिए कि यह एक समांतर चतुर्भुज है, आपको केवल बिंदु C से बिंदु A तक एक सीधी रेखा खींचनी है, इसलिए यह देखा जा सकता है कि CA PQ और RS के समानांतर है।

उसी तरह, जब PQRS को बढ़ाते हैं तो यह देखा जा सकता है कि PQ और RS समानांतर हैं, जैसा कि निम्नलिखित चित्र में दिखाया गया है:

व्यायाम २

हमारे पास एक आयत ऐसी है कि इसके सभी पक्षों की लंबाई बराबर है। इन पक्षों के मध्य बिंदु में शामिल होने से, एक रोम्बस एबीसीडी बनता है, जिसे दो विकर्ण एसी = 7 सेमी और बीडी = 10 सेमी से विभाजित किया जाता है, जो आयत के किनारों के माप के साथ मेल खाता है। रोम्बस और आयत के क्षेत्रों का निर्धारण करें।

उपाय

यह याद करते हुए कि परिणामी समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल चतुर्भुज का आधा है, इनका क्षेत्रफल यह जानकर निर्धारित किया जा सकता है कि विकर्ण का माप आयत के किनारों से मेल खाता है। तो आपको निम्न करना होगा:

एबी = डी

सीडी = डी

एक _आयत = (AB _* CD) = (10cm _* 7cm) = 70cm ²

एक _{रोम्बस} = एक _आयत / २

एक _{समचतुर्भुज} = 70 सेमी ² /2 = 35 सेमी ²

व्यायाम ३

आकृति में एक चतुर्भुज है जिसमें अंक EFGH का संघ है, खंडों की लंबाई दी गई है। निर्धारित करें कि क्या EFGH का संघ एक समांतर चतुर्भुज है।

एबी = 2.4 सीजी = 3.06

EB = 1.75 GD = 2.24

BF = 2.88 DH = 2.02

HR = 3.94 HA = 2.77

उपाय

चूंकि खंडों की लंबाई दी गई है, तो यह सत्यापित किया जा सकता है कि खंडों के बीच आनुपातिकता है या नहीं; यह है, आप जान सकते हैं कि क्या वे समानांतर हैं, चतुर्भुज के खंडों से संबंधित हैं:

- एई / ईबी = 2.4 / 1.75 = 1.37

- एएच / एचडी = 2.77 / 2.02 = 1.37

- सीएफ / एफबी = 3.94 / 2.88 = 1.37

- सीजी / जीडी = 3.06 / 2.24 = 1.37

फिर आनुपातिकता की जाँच की जाती है, क्योंकि:

एई / ईबी = एएच / एचडी = सीएफ / एफबी = सीजी / जीडी

इसी प्रकार, जब बिंदु B से बिंदु D तक एक रेखा खींची जाती है, तो यह देखा जा सकता है कि EH BD के समानांतर है, जैसे BD FG के समानांतर है। दूसरी ओर, ईएफ जीएच के समानांतर है।

इस प्रकार यह निर्धारित किया जा सकता है कि ईएफजीएच एक समानांतर चतुर्भुज है, क्योंकि विपरीत पक्ष समानांतर हैं।

संदर्भ

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