द्विपद प्रमेय एक समीकरण हमें बताता है कि कैसे प्रपत्र की अभिव्यक्ति (ए + बी) विकसित करना है n कुछ प्राकृतिक संख्या n के लिए। एक द्विपद दो तत्वों के योग से अधिक नहीं है, जैसे (+ बी)। यह हमें k b n-k द्वारा दिए गए पद के लिए भी जानने की अनुमति देता है जो इसके साथ गुणांक है।
इस प्रमेय को आमतौर पर अंग्रेजी आविष्कारक, भौतिक विज्ञानी और गणितज्ञ सर आइजैक न्यूटन को जिम्मेदार ठहराया जाता है; हालाँकि, विभिन्न अभिलेखों से पता चलता है कि इसका अस्तित्व पहले से ही मध्य पूर्व में, वर्ष 1000 के आसपास ज्ञात था।
संयुक्त संख्या
द्विपद प्रमेय गणितीय रूप से हमें निम्नलिखित बताता है:
इस अभिव्यक्ति में a और b वास्तविक संख्या हैं और n एक प्राकृतिक संख्या है।
डेमो देने से पहले, आइए कुछ बुनियादी अवधारणाओं को देखें जो आवश्यक हैं।
संयोजन संख्या या n में k का संयोजन निम्नानुसार व्यक्त किया गया है:
यह प्रपत्र इस बात का मूल्य व्यक्त करता है कि k तत्वों वाले कितने सबसेट को n तत्वों के समूह से चुना जा सकता है। इसकी बीजगणितीय अभिव्यक्ति इसके द्वारा दी गई है:
आइए एक उदाहरण देखें: मान लें कि हमारे पास सात गेंदों का एक समूह है, जिनमें से दो लाल हैं और बाकी नीले हैं।
हम जानना चाहते हैं कि हम उन्हें कितने तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं। एक तरीका यह हो सकता है कि दो रेड्स को पहले और दूसरे स्थान पर रखा जाए, और बाकी गेंदों को बाकी पोजीशन में रखा जाए।
पिछले मामले के समान, हम क्रमशः लाल गेंदों को पहली और अंतिम स्थिति दे सकते हैं, और नीली गेंदों के साथ दूसरों पर कब्जा कर सकते हैं।
अब एक कुशल तरीका है कि हम एक पंक्ति में गेंदों को व्यवस्थित करने के लिए कितने तरीकों की गणना कर सकते हैं जो कि कॉम्बिनेटरियल नंबरों का उपयोग करके है। हम निम्न सेट के एक तत्व के रूप में प्रत्येक स्थिति देख सकते हैं:
तब यह केवल दो तत्वों का एक सबसेट चुनने के लिए रहता है, जिसमें इनमें से प्रत्येक तत्व उस स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है जो लाल गेंदों पर कब्जा कर लेगा। हम इस विकल्प को दिए गए रिश्ते के अनुसार बना सकते हैं:
इस तरह, हमारे पास यह है कि इन गेंदों को ऑर्डर करने के 21 तरीके हैं।
इस उदाहरण का सामान्य विचार द्विपद प्रमेय साबित करने में बहुत उपयोगी होगा। आइए एक विशेष मामले को देखें: यदि n = 4, हमारे पास (a + b) 4 है, जो इससे अधिक कुछ नहीं है:
जब हम इस उत्पाद को विकसित करते हैं, तो हमें चार कारकों में से प्रत्येक (ए + बी) के प्रत्येक तत्व को गुणा करके प्राप्त शर्तों के योग के साथ छोड़ दिया जाता है। इस प्रकार, हमारे पास ऐसे शब्द होंगे जो फॉर्म के होंगे:
यदि हम फॉर्म 4 में पद प्राप्त करना चाहते हैं, तो हमें निम्न प्रकार से गुणा करना होगा:
ध्यान दें कि इस तत्व को प्राप्त करने का केवल एक ही तरीका है; लेकिन क्या होता है अगर हम अब फॉर्म 2 बी 2 के शब्द की तलाश करते हैं ? चूंकि "ए" और "बी" वास्तविक संख्याएं हैं और इसलिए, कम्यूटेटिव कानून वैध है, हमारे पास यह है कि इस शब्द को प्राप्त करने का एक तरीका यह है कि सदस्यों के साथ तीरों से संकेत मिलता है।
इन सभी ऑपरेशनों को निष्पादित करना आमतौर पर कुछ थकाऊ होता है, लेकिन अगर हम "ए" शब्द को एक संयोजन के रूप में देखते हैं, जहां हम जानना चाहते हैं कि हम चार कारकों के सेट से कितने "दो" को चुन सकते हैं, तो हम पिछले उदाहरण से विचार का उपयोग कर सकते हैं। तो, हमारे पास निम्नलिखित हैं:
इस प्रकार, हम जानते हैं कि अभिव्यक्ति के अंतिम विस्तार (ए + बी) 4 में हमारे पास ठीक 6 ए 2 बी 2 होगा । अन्य तत्वों के लिए समान विचार का उपयोग करना, आपको निम्न करना होगा:
फिर हम पहले प्राप्त भावों को जोड़ते हैं और हमारे पास है:
यह सामान्य मामले के लिए एक औपचारिक प्रमाण है जहां "एन" कोई भी प्राकृतिक संख्या है।
प्रदर्शन
ध्यान दें कि शर्तों का विस्तार करके छोड़ दिया (ए + बी) n प्रपत्र एक के हैं कश्मीर ख एन-कश्मीर, जहां कश्मीर = 0,1,…, n। पिछले उदाहरण के विचार का उपयोग करते हुए, हमारे पास «n» कारकों के «के» चर «ए» चुनने का तरीका है:
इस तरह से चयन करके, हम स्वचालित रूप से एनके चर "बी" चुन रहे हैं। इस से यह इस प्रकार है कि:
उदाहरण
ध्यान में रखते हुए (a + b) 5, इसका विकास क्या होगा?
द्विपद प्रमेय हमारे पास है:
द्विपद प्रमेय बहुत उपयोगी है अगर हमारे पास एक अभिव्यक्ति है जिसमें हम जानना चाहते हैं कि किसी विशिष्ट शब्द का गुणांक पूर्ण विस्तार करने के बिना क्या है। एक उदाहरण के रूप में हम निम्नलिखित अज्ञात ले सकते हैं: x (y + y) 16 के विस्तार में x 7 और 9 का गुणांक क्या है ?
द्विपद प्रमेय द्वारा, हमारे पास गुणांक है:
एक और उदाहरण होगा: x का गुणांक क्या है 5 और 8 की (3x-7y) विस्तार में 13 ?
पहले हम अभिव्यक्ति को सुविधाजनक तरीके से लिखते हैं; ये है:
फिर, द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमारे पास वह गुणांक है जो हमारे पास k = 5 है
इस प्रमेय के उपयोग का एक और उदाहरण कुछ सामान्य पहचान के प्रमाण में है, जैसे कि हम अगले का उल्लेख करेंगे।
पहचान १
यदि «n» एक प्राकृतिक संख्या है, तो हमारे पास है:
सबूत के लिए हम द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हैं, जहां दोनों «ए» और «बी» 1. का मान लेते हैं। फिर हमारे पास है:
इस तरह हमने पहली पहचान साबित की है।
पहचान २
यदि "n" एक प्राकृतिक संख्या है, तो
द्विपद प्रमेय हमारे पास है:
एक और प्रदर्शन
हम आगमनात्मक विधि और पास्कल की पहचान का उपयोग करके द्विपद प्रमेय के लिए एक अलग प्रमाण बना सकते हैं, जो हमें बताता है कि, अगर «n» और «के» सकारात्मक पूर्णांक हैं जो n, k को संतुष्ट करते हैं, तो:
प्रेरण प्रमाण
आइए पहले देखते हैं कि आगमनात्मक आधार धारण करता है। यदि n = 1, हमारे पास है:
दरअसल, हम देखते हैं कि यह पूरा हो गया है। अब, n = j को ऐसे करें:
हम देखना चाहते हैं कि n = j + 1 के लिए यह सच है:
इसलिए हमें निम्न करना होगा:
परिकल्पना द्वारा हम जानते हैं कि:
फिर, वितरण संपत्ति का उपयोग कर:
इसके बाद, प्रत्येक सारांश को विकसित करना, हमारे पास है:
अब, यदि हम सुविधाजनक तरीके से समूह बनाते हैं, तो हमारे पास यह है:
पास्कल की पहचान का उपयोग करना, हमारे पास है:
अंत में, ध्यान दें कि:
इसलिए, हम देखते हैं कि द्विपद प्रमेय प्राकृतिक संख्याओं से संबंधित सभी «n» के लिए है, और इसके साथ प्रमाण समाप्त होता है।
Curiosities
कॉम्बीनेटरियल नंबर (nk) को द्विपद गुणांक भी कहा जाता है क्योंकि यह ठीक गुणांक है जो द्विपद (a + b) n के विकास में प्रकट होता है ।
इसहाक न्यूटन ने इस प्रमेय का सामान्यीकरण उस मामले के लिए किया था जिसमें प्रतिपादक एक वास्तविक संख्या है; इस प्रमेय को न्यूटन के द्विपद प्रमेय के रूप में जाना जाता है।
पहले से ही प्राचीन समय में यह परिणाम उस विशेष मामले के लिए जाना जाता था जिसमें n = 2। इस मामले का उल्लेख यूक्लिड के तत्वों में किया गया है।
संदर्भ
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- Kenneth.H। Rosen। असतत गणित और उसके अनुप्रयोग। SAMCGRAW- पहाड़ी / INTERAMERICANA डे ESPAÑA।
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- ग्रीन स्टार लुइस। । असतत और संयुक्त गणित एंथ्रोपोस