अंकगणित का मौलिक प्रमेय: प्रमाण, अनुप्रयोग, अभ्यास - गणित - 2025

अंकगणित के मौलिक प्रमेय कहा गया है कि 1 से किसी भी प्राकृतिक संख्या अधिक से अधिक प्रधानमंत्री संख्या का एक उत्पाद के रूप में विघटित किया जा सकता है - कुछ दोहराया जा सकता है - और इस फार्म का है कि संख्या के लिए अद्वितीय है, हालांकि कारकों में से अलग-अलग हो सकता है।

स्मरण करो कि एक अभाज्य संख्या p वह है जो केवल अपने आप को और 1 को सकारात्मक विभाजक के रूप में स्वीकार करती है। निम्नलिखित संख्याएँ primes हैं: 2, 3, 5, 7, 11, 13 और इसी तरह, चूंकि शिशु हैं। संख्या 1 को एक प्रधान नहीं माना जाता है, क्योंकि इसमें केवल एक भाजक है।

चित्र 1. यूक्लिड (बाएं) ने अपनी पुस्तक एलिमेंट्स (350 ईसा पूर्व) में अंकगणित के मौलिक प्रमेय को साबित किया और पहला पूरा प्रमाण कार्ल एफ गॉस (1777-1855) (दाएं) के कारण है। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

इसके भाग के लिए, उपरोक्त संख्याओं का अनुपालन न करने वाले संख्याओं को समग्र संख्या कहा जाता है, जैसे 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14… आइए उदाहरण के लिए संख्या 10 लेते हैं और तुरंत हम देखते हैं कि इसे उत्पाद के रूप में विघटित किया जा सकता है 2 और 5:

10 = 2 × 5

2 और 5 दोनों प्रभावी रूप से अभाज्य संख्याएँ हैं। प्रमेय बताता है कि यह किसी भी संख्या n के लिए संभव है:

जहाँ p ₁, p ₂, p ₃… p _r अभाज्य संख्याएँ हैं और k ₁, k ₂, k ₃,… k _r प्राकृतिक संख्याएँ हैं। तो अभाज्य संख्याएँ बिल्डिंग ब्लॉक्स के रूप में कार्य करती हैं, जहाँ से गुणन के माध्यम से, प्राकृतिक संख्याएँ निर्मित होती हैं।

अंकगणित के मौलिक प्रमेय का प्रमाण

हम यह दिखाना शुरू करते हैं कि प्रत्येक संख्या को मुख्य कारकों में विघटित किया जा सकता है। आज्ञा देना एक प्राकृतिक संख्या n> 1, अभाज्य या समग्र।

उदाहरण के लिए यदि n = 2, तो इसे 2: 1 × 2 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो कि प्रधान है। उसी तरह, निम्नलिखित संख्याओं के साथ आगे बढ़ें:

3 = 1 × 3

4 = 2 × 2

5 = 1 × 5

6 = 2 × 3

7 = 1 × 7

8 = 2 × 2 × 2

हम इस तरह से जारी रखते हैं, सभी प्राकृतिक संख्याओं को तब तक विघटित करते हैं जब तक हम संख्या n -1 तक नहीं पहुंच जाते। चलो देखते हैं कि क्या हम इसे निम्नलिखित संख्या के साथ कर सकते हैं: n।

यदि n अभाज्य है, तो हम इसे n = 1 × n के रूप में विघटित कर सकते हैं, लेकिन मान लें कि n संमिश्र है और एक भाजक d है, तार्किक रूप से n से कम है:

1 <d <n।

यदि n / डी = पी ₁, पी के साथ ₁ अभाज्य संख्या है, तो n के रूप में लिखा है:

एन = पी _1। डी

यदि घ प्रधानमंत्री है वहाँ ऐसा करने के लिए ज्यादा कुछ नहीं है, लेकिन अगर यह नहीं है, वहाँ एक संख्या n है ₂ कि घ के एक भाजक है और यह कम से कम: n ₂ <घ, इसलिए घ उत्पाद n के रूप में लिखा जा सकता है ₂ किसी अन्य के द्वारा अभाज्य संख्या p ₂:

d = p ₂ n ₂

जब मूल संख्या n में प्रतिस्थापित करना देना होगा:

n = p ₁.p ₂.n ₂

अब मान लीजिए कि n ₂ कोई अभाज्य संख्या नहीं है और हम इसे अभाज्य संख्या p ₃ के गुणनफल के रूप में लिखते हैं, इसके भाजक n ₃, जैसे कि n ₃ <n ₂ <n ₁ <n:

n ₂ = p ₃.n ₃ → n = p ₁ p ₂ p ₃.n ₃

हम इस प्रक्रिया को तब तक दोहराते हैं जब तक हम प्राप्त नहीं कर लेते हैं:

n = p ₁.p ₂.p ₃… p _r

इसका मतलब यह है कि प्राइम नंबरों के उत्पाद के रूप में सभी पूर्ण संख्याओं को 2 से संख्या n तक विघटित करना संभव है।

अभाज्य कारक की विशिष्टता

अब हम सत्यापित करते हैं कि कारकों के क्रम को छोड़कर, यह अपघटन अद्वितीय है। मान लीजिए कि n को दो तरीकों से लिखा जा सकता है:

n = p ₁.p ₂.p ₃ … p _r = q _1. q ₂.q ₃ …..q _s (r। s के साथ)

बेशक q ₁, q ₂, q ₃… प्राइम नंबर भी हैं। चूँकि p ₁ विभाजित होता है (q _1. q ₂.q ₃ …..q _s) तब p ₁ किसी भी “q” के बराबर होता है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा है, इसलिए हम कह सकते हैं कि p ₁ = q ₁ । हम n को p _{1 से} विभाजित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

पी ₂ पी ₃… पी _आर = _। q ₂.q ₃ …..q _s

हम प्रक्रिया को दोहराते हैं जब तक कि हम सब कुछ p _{r से} विभाजित नहीं करते हैं, तब तक हम प्राप्त करते हैं:

1 = क्यू _{आर + 1} … क्यू _एस

लेकिन जब r <s, केवल r = s पर q _{r + 1} … q _s = 1 पर पहुंचना संभव नहीं है । यद्यपि उस r = s को स्वीकार करते हुए, यह भी स्वीकार किया जाता है कि "p" और "q" समान हैं। इसलिए अपघटन अद्वितीय है।

अनुप्रयोग

जैसा कि हमने पहले कहा है, अभाज्य संख्याएँ, यदि आप पसंद करते हैं, संख्याओं के परमाणु, उनके मूल घटक। तो अंकगणित के मूल सिद्धांत में कई अनुप्रयोग हैं, सबसे स्पष्ट एक: हम बड़ी संख्या के साथ अधिक आसानी से काम कर सकते हैं यदि हम उन्हें छोटी संख्या के उत्पाद के रूप में व्यक्त करते हैं।

उसी तरह, हम सबसे बड़ी सामान्य बहु (LCM) और सबसे बड़ी सामान्य विभाजक (GCF) को खोज सकते हैं, जो एक ऐसी प्रक्रिया है जो हमें अधिक आसानी से अंशों के योग बनाने में मदद करती है, बड़ी संख्या की जड़ें ढूंढती हैं, या कट्टरपंथी के साथ काम करती हैं, तर्कसंगत बनाती हैं और हल करती हैं एक बहुत ही विविध प्रकृति की अनुप्रयोग समस्याओं।

इसके अलावा, अभाज्य संख्याएँ अत्यंत गूढ़ हैं। उनमें एक पैटर्न अभी तक मान्यता प्राप्त नहीं है और यह जानना संभव नहीं है कि अगला कौन सा होगा। अब तक का सबसे बड़ा कंप्यूटर पाया गया और इसके 24,862,048 अंक हैं, हालांकि नई प्राइम संख्या हर बार कम दिखाई देती है।

प्रकृति में प्रमुख संख्याएँ

संयुक्त राज्य अमेरिका के उत्तर पूर्व में रहने वाले सिकाडास, सिकाडोस या सिकाडास 13 या 17 साल के चक्रों में उभरते हैं। वे दोनों प्रमुख संख्याएँ हैं।

इस तरह, सिकाडा शिकारियों या प्रतियोगियों के साथ मेल खाने से बचते हैं, जिनके जन्म की अन्य अवधि होती है, और न ही सिकाड की विभिन्न किस्में एक दूसरे के साथ प्रतिस्पर्धा करती हैं, क्योंकि वे एक ही वर्ष के दौरान मेल नहीं खाते हैं।

चित्रा 2. पूर्वी संयुक्त राज्य अमेरिका का मैजिकिकाडा सिकाडा हर 13 से 17 साल में उभरता है। स्रोत: Pxfuel

प्राइम नंबर और ऑनलाइन शॉपिंग

इंटरनेट पर खरीदारी करते समय क्रेडिट कार्ड के विवरण को गुप्त रखने के लिए क्रिप्टोग्राफी में प्राइम नंबर का उपयोग किया जाता है। इस तरह, वह डेटा जो खरीदार को बिना खोए या बेईमान लोगों के हाथों में आए बिना स्टोर पर पहुंचता है।

कैसे? कार्ड पर डेटा एन नंबर में एनकोडेड है जिसे प्राइम नंबर के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। ये अभाज्य संख्याएँ डेटा को प्रकट करने वाली कुंजी हैं, लेकिन वे जनता के लिए अज्ञात हैं, उन्हें केवल उस वेब पर डिकोड किया जा सकता है जिस पर उन्हें निर्देशित किया गया है।

संख्याओं को कारकों में बदलना एक आसान काम है यदि संख्याएँ छोटी हैं (हल किए गए अभ्यास देखें), लेकिन इस मामले में 100 अंकों की प्रमुख संख्याओं को कुंजी के रूप में उपयोग किया जाता है, जो उन्हें गुणा करते समय बहुत बड़ी संख्याएँ देते हैं, जिनके विस्तृत अपघटन में एक बड़ा कार्य शामिल होता है। ।

हल किया अभ्यास

- अभ्यास 1

मुख्य कारकों में 1029 टूट गया।

उपाय

1029 3 से विभाज्य है। यह ज्ञात है क्योंकि इसके अंकों को जोड़ने पर योग 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. का एक गुणक होता है। चूंकि कारकों के क्रम में उत्पाद में परिवर्तन नहीं होता है, हम वहां शुरू कर सकते हैं:

१०२ ९ ३

343

1029 = 3 × 343

दूसरी ओर 343 = 7 ³, तब:

1029 = 3 × 7 ³ = 3 × 7 × 7 × 7

और चूंकि 3 और 7 दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं, यह 1029 का अपघटन है।

- व्यायाम २

कारक त्रिनोमियल x ² + 42x + 432।

उपाय

ट्रिनोमियल को फॉर्म (x + a) में फिर से लिखा गया है। (x + b) और हमें a और b का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है, जैसे:

ए + बी = 42; ab = 432

संख्या 432 को मुख्य कारकों में विघटित किया जाता है और वहां से उपयुक्त संयोजन को परीक्षण और त्रुटि के द्वारा चुना जाता है ताकि जोड़े कारक 42 दे सकें।

432 = 2 ⁴ × 3 ³ = 2 × 3 ³ × 2 ³ = 2 ⁴ × 3 ² × 3 =…

यहाँ से 432 लिखने की कई संभावनाएँ हैं:

432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72…।

और सभी उत्पादों को प्रमुख कारकों के बीच संयोजन करके पाया जा सकता है, लेकिन प्रस्तावित अभ्यास को हल करने के लिए, केवल उपयुक्त संयोजन है: 432 = 24 × 18 के बाद से 24 + 18 = 42, फिर:

x ² + 42x + 432 = (x + 24)। (x +18)

संदर्भ

1. बाल्डोर, ए। 1986. सैद्धांतिक व्यावहारिक अंकगणित। Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
2. बीबीसी वर्ल्ड। प्रकृति का छिपा हुआ कोड। से पुनर्प्राप्त: bbc.com।
3. डी लियोन, मैनुअल। प्राइम नंबर: इंटरनेट के संरक्षक। से पुनर्प्राप्त: blogs.20minutos.es।
4. यूएनएएम। संख्या सिद्धांत I: अंकगणित के मौलिक सिद्धांत। से पुनर्प्राप्त: teoriadenumeros.wikidot.com।
5. विकिपीडिया। अंकगणित का मौलिक प्रमेय। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.org।