TESSELLATIONS: विशेषता, प्रकार (नियमित, अनियमित), उदाहरण - गणित - 2025

टाइलिंग लेपित सतहों एक या अधिक आंकड़े tesserae कहा जाता है। वे हर जगह हैं: सभी प्रकार की सड़कों और इमारतों में। टेसरा या टाइलें फ्लैट टुकड़े हैं, आम तौर पर बहुभुज जो कि कंसेंट या आइसोमेट्रिक प्रतियों के साथ होते हैं, जिन्हें एक नियमित पैटर्न के बाद रखा जाता है। इस तरह से कोई जगह नहीं बची है और टाइल या मोज़ाइक ओवरलैप नहीं हैं।

इस मामले में कि एक नियमित बहुभुज द्वारा गठित एक प्रकार के मोज़ेक का उपयोग किया जाता है, तो एक नियमित टेसूलेशन होता है, लेकिन यदि दो या अधिक प्रकार के नियमित पॉलीगॉन का उपयोग किया जाता है, तो यह एक अर्ध-नियमित टेसलेशन है।

चित्रा 1. अनियमित टेसेलेशन के साथ टाइल का फर्श, क्योंकि आयताकार गैर-नियमित बहुभुज हैं, भले ही वर्ग हैं। स्रोत: पिक्साबे

अंत में, जब बहुभुज कि tessellation रूपों नियमित नहीं हैं, तो यह एक अनियमित tessellation है।

सबसे आम प्रकार का टेसेलेशन है जो आयताकार और विशेष रूप से वर्ग मोज़ाइक द्वारा गठित होता है। आकृति 1 में हमारे पास एक अच्छा उदाहरण है।

टेसूलेशन का इतिहास

विभिन्न संस्कृतियों और धर्मों के महलों और मंदिरों के फर्श और दीवारों को ढंकने के लिए हजारों वर्षों से टेस्यूलेशन का उपयोग किया गया है।

उदाहरण के लिए, सुमेरियन सभ्यता जो मेसोपोटामिया के लगभग 3500 ईसा पूर्व में फली-फूली, यूफ्रेट्स और टाइग्रिस नदियों के बीच, उनकी वास्तुकला में tessellations का उपयोग किया।

चित्रा 2. Istar गेट पर सुमेरियन tessellations। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

Tessellations ने भी सभी उम्र के गणितज्ञों के हित को उकसाया है: तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में आर्किमिडीज के साथ शुरुआत, 1619 में जोहान्स केपलर ने, 1880 में केमिली जॉर्डन ने, रोजर पेनरोज के साथ समकालीन समय में।

पेनरोज़ ने एक गैर-आवधिक टेसेलेशन बनाया, जिसे पेनरोज़ टेसेलेशन के रूप में जाना जाता है। ये सिर्फ वैज्ञानिकों के कुछ नाम हैं जिन्होंने टेसूलेशन के बारे में बहुत योगदान दिया है।

नियमित टेशन

नियमित बहुभुज केवल एक प्रकार के नियमित बहुभुज से बनाए जाते हैं। दूसरी ओर, नियतन को नियमित मानने के लिए, विमान के प्रत्येक बिंदु को निम्न होना चाहिए:

बहुभुज के इंटीरियर के लिए -बेलोंग

-दो समीप के बहुभुज के किनारे

-आमतौर पर यह कम से कम तीन बहुभुजों के सामान्य शीर्ष से संबंधित हो सकता है।

उपरोक्त प्रतिबंधों से यह दिखाया जा सकता है कि केवल समबाहु त्रिभुज, वर्ग और हेक्सागोन्स एक नियमित टेसलेशन बना सकते हैं।

शब्दावली

ऐसे टेसेलेशन को निरूपित करने के लिए एक नामकरण है जिसमें एक दक्षिणावर्त दिशा में लिस्टिंग होती है और एक बिंदु से अलग होती है, बहुभुज की भुजाओं की संख्या, जो प्रकीर्णन के प्रत्येक नोड (या शीर्ष) को घेरे रहती है, हमेशा सबसे कम संख्या वाले बहुभुज से शुरू होती है। पक्षों।

यह नामकरण नियमित और अर्ध-नियमित टेसलेशन के लिए लागू होता है।

उदाहरण 1: त्रिकोणीय टेसेलेशन

चित्र 3 एक नियमित त्रिकोणीय टेसेलेशन दर्शाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि त्रिकोणीय टेसेलेशन का प्रत्येक नोड छह समबाहु त्रिकोणों का सामान्य शीर्ष है।

इस प्रकार के टेसेलेशन को निरूपित करने का तरीका 3.3.3.3.3.3 है, जिसे 3 ⁶ से भी चिह्नित किया जाता है ।

चित्रा 3. नियमित त्रिकोणीय टेस्यूलेशन 3.3.3.3.3.3। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

उदाहरण 2: स्क्वायर टेसलेशन

चित्रा 4 केवल चौकों से बना एक नियमित टेसलेशन दिखाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि टेस्यूलेशन में प्रत्येक नोड चार सर्वांगसम चौकों से घिरा हुआ है। इस प्रकार के वर्ग टेस्यूलेशन पर लागू होने वाली संकेतन है: 4.4.4.4 या वैकल्पिक रूप से 4 ⁴

चित्रा 4. स्क्वायर टसेलेशन 4.4.4.4। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

उदाहरण 3: हेक्सागोनल टेसलेशन

एक हेक्सागोनल टेसलेशन में प्रत्येक नोड को तीन नियमित हेक्सागोन्स से घिरा हुआ है जैसा कि आंकड़ा 5 में दिखाया गया है। एक नियमित हेक्सागोनल टेसलेशन के लिए नामकरण 6.6.6 या वैकल्पिक रूप से 6 ^{3 है} ।

चित्रा 5. हेक्सागोनल टेसेलेशन 6.6.6। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

अर्ध-नियमित टेशन

अर्ध-नियमित या आर्किमिडीज़ टेसलेशन में दो या दो से अधिक प्रकार के नियमित बहुभुज होते हैं। प्रत्येक नोड को बहुभुज के प्रकार से घिरा हुआ है जो हमेशा एक ही क्रम में टेसेलेशन बनाते हैं, और किनारे की स्थिति पूरी तरह से पड़ोसी के साथ साझा की जाती है।

आठ अर्ध-नियमित tessellations हैं:

1. 3.6.3.6 (त्रि-हेक्सागोनल विच्छेदन)
2. ३.३.३.३.६ (कुंद हेक्सागोनल टेसलेशन)
3. ३.३.३.४.४ (लम्बा त्रिकोणीय टेसेलेशन)
4. ३.३.४.३.४ (ब्लंट स्क्वायर टेसलेशन)
5. ३.४.६.४ (रोम्बी-त्रि-षट्कोणीय विच्छेद)
6. ४. 4.8.c (छंटनी की गई चौकोर कटाई)
7. 3.12.12 (काटे गए षट्भुज विच्छेदन)
8. 4.6.12 (त्रिकोणीय हेक्सागोनल विच्छेदन)

अर्ध-नियमित tessellations के कुछ उदाहरण नीचे दिखाए गए हैं।

उदाहरण 4: त्रि-हेक्सागोनल प्रकीर्णन

यह एक है जो 3.6.3.6 संरचना में समबाहु त्रिभुज और नियमित हेक्सागोन्स से बना है, जिसका अर्थ है कि एक त्रिभुज, एक षट्भुज, एक त्रिभुज और एक षट्भुज द्वारा tessellation के नोड को घेर लिया जाता है (एक मोड़ को पूरा करने तक)। चित्रा 6 इस तरह के एक tessellation से पता चलता है।

चित्रा 6. त्रि-हेक्सागोनल टेसलेशन (3.6.3.6) अर्ध-नियमित टेसलेशन का एक उदाहरण है। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

उदाहरण 5: ब्लंट हेक्सागोनल टेसलेशन

पिछले उदाहरण में tessellation की तरह, यह भी त्रिकोण और हेक्सागोन्स के होते हैं, लेकिन एक नोड के आसपास उनका वितरण 3.3.3.3.6 है। चित्र 7 स्पष्ट रूप से इस प्रकार के टेसलेशन को दर्शाता है।

चित्रा 7. कुंद षट्भुज tessellation 3.3.3.3.6 विन्यास में 16 त्रिकोणों से घिरे षट्भुज के होते हैं। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

उदाहरण 6: रोम्बी-त्रि-हेक्सागोनल टेसेलेशन

यह विन्यास 3.4.6.4 में त्रिभुज, वर्ग और षट्भुज से मिलकर बना है, जिसे आकृति 8 में दिखाया गया है।

चित्रा 8. 3.4.6.4 विन्यास में एक त्रिकोण, एक वर्ग और एक षट्भुज से बना अर्ध-नियमित टेसलेशन। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

अनियमित tessellations

अनियमित टेस्यूलेशन वे होते हैं जो अनियमित बहुभुजों द्वारा या नियमित बहुभुजों द्वारा बनते हैं लेकिन यह इस कसौटी पर खरा नहीं उतरता है कि एक नोड कम से कम तीन बहुभुजों का एक शीर्ष है।

उदाहरण 7

चित्र 9 अनियमित टेसलेशन का एक उदाहरण दिखाता है, जिसमें सभी बहुभुज नियमित और सर्वांगसम हैं। यह अनियमित है क्योंकि एक नोड कम से कम तीन वर्गों का एक सामान्य शीर्ष नहीं है और पड़ोसी वर्ग भी हैं जो एक किनारे को पूरी तरह से साझा नहीं करते हैं।

चित्रा 9. भले ही सभी टाइलें बधाई के वर्ग हैं, यह अनियमित टेसलेशन का एक स्पष्ट उदाहरण है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

उदाहरण 8

समांतर चतुर्भुज एक सपाट सतह को टाइल करता है, लेकिन जब तक कि यह एक वर्ग नहीं होता है तब तक यह एक नियमित टेसलेशन नहीं बन सकता है।

चित्रा 10. समांतर चतुर्भुज द्वारा बनाया गया एक अनियमितता अनियमित है, क्योंकि इसके मोज़ाइक गैर-नियमित बहुभुज हैं। स्रोत: एफ। ज़पाटा

उदाहरण 9

केंद्रीय समरूपता के साथ गैर-नियमित हेक्सागोन्स एक सपाट सतह को समतल करते हैं, जैसा कि निम्नलिखित आंकड़े में दिखाया गया है:

चित्रा 11. हेक्सागोन केंद्रीय समरूपता के साथ भी जब वे विमान को नियमित रूप से टेसलेट नहीं करते हैं। स्रोत: एफ। ज़पाटा

उदाहरण 10: काहिरा का टेस्यूलेशन

यह एक बहुत ही रोचक टेसलेशन है, जो समान लंबाई के पक्षों के साथ पेंटागन से बना है, लेकिन असमान कोण के साथ, जिनमें से दो सीधे हैं और अन्य तीन में 120º प्रत्येक है।

इसका नाम इस तथ्य से मिलता है कि मिस्र में काहिरा की कुछ सड़कों के फुटपाथ में यह प्रकीर्णन पाया जाता है। चित्र 12 काहिरा के विचलन को दर्शाता है।

चित्र 12. काहिरा टेसलेशन। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

उदाहरण 11: अल-एंडलस टेसलेशन

अंडालूसिया और उत्तरी अफ्रीका के कुछ हिस्सों के दौरान होने वाले प्रकीर्णन को वनस्पति जैसे सजावटी तत्वों के अलावा, ज्यामिति और एपिग्राफी द्वारा विशेषता है।

महलों के रूप में अलहम्बरा का निर्माण कई रंगों के चीनी मिट्टी के टुकड़ों से बना टाइलों से बना था, जिसमें कई (यदि अनंत नहीं हैं) आकार जो ज्यामितीय पैटर्न में फैलाए गए थे।

चित्र 13. अल्हाम्ब्रा पैलेस का टेसेलेशन। टारटाग्लिया / पब्लिक डोमेन

उदाहरण 12: वीडियो गेम में टेसलेशन

Tesellation के रूप में भी जाना जाता है, यह वीडियो गेम में सबसे लोकप्रिय सस्ता माल में से एक है। यह सिम्युलेटर में दिखाई देने वाले विभिन्न परिदृश्यों के टेसेलेशन को अनुकरण करने के लिए बनावट बनाने के बारे में है।

यह एक स्पष्ट प्रतिबिंब है कि ये कोटिंग्स वास्तविकता की सीमाओं को पार करते हुए विकसित होते रहते हैं।

संदर्भ

1. गणित का आनंद लें। Tessellations। से पुनर्प्राप्त: enjoymatematicas.com
2. Rubiños। Tessellations ने उदाहरणों को हल किया। से पुनर्प्राप्त: matematicasn.blogspot.com
3. वीसस्टीन, एरिक डब्ल्यू। "डेमायरगुलर टेसलेशन।" वीसस्टीन, एरिक डब्ल्यू, एड। मैथवर्ल्ड। वोल्फ्राम रिसर्च।
4. विकिपीडिया। चौकोर। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.com
5. विकिपीडिया। नियमित टेशन। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.com