परवलयिक शूटिंग: विशेषताएं, सूत्र और समीकरण, उदाहरण - शारीरिक - 2025

किसी वस्तु या प्रक्षेप्य कोण को फेंकने का परवलयिक और इसे गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत जाने देते हैं। यदि वायु प्रतिरोध पर विचार नहीं किया जाता है, तो वस्तु, इसकी प्रकृति की परवाह किए बिना, एक पैराबोला चाप पथ का पालन करेगी।

यह एक दैनिक आंदोलन है, क्योंकि सबसे लोकप्रिय खेलों में वे हैं जिनमें गेंदों या गेंदों को फेंक दिया जाता है, या तो हाथ से, पैर के साथ या एक उपकरण जैसे रैकेट या उदाहरण के लिए बल्ले के साथ।

चित्र 1. सजावटी फव्वारा से पानी का जेट एक पैराबोलिक पथ का अनुसरण करता है। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स ज़ातोनी सोन्दोर (ifj।), फ़िज़्ड / सीसी BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)

इसके अध्ययन के लिए, पैराबोलिक शॉट को दो सुपरिम्पोज़्ड आंदोलनों में विभाजित किया गया है: एक क्षैतिज त्वरण के बिना, और दूसरा लगातार नीचे की ओर त्वरण के साथ ऊर्ध्वाधर, जो गुरुत्वाकर्षण है। दोनों आंदोलनों में प्रारंभिक गति है।

मान लीजिए कि क्षैतिज गति x- अक्ष के साथ चलती है और ऊर्ध्वाधर गति y- अक्ष के साथ चलती है। इन आंदोलनों में से प्रत्येक दूसरे से स्वतंत्र है।

चूंकि प्रक्षेप्य की स्थिति निर्धारित करना मुख्य उद्देश्य है, इसलिए उपयुक्त संदर्भ प्रणाली का चयन करना आवश्यक है। विवरण का पालन करें।

पैराबोलिक शॉट सूत्र और समीकरण

मान लीजिए कि वस्तु को क्षैतिज और प्रारंभिक वेग v के संबंध में कोण α के साथ फेंक दिया गया है _या जैसा कि नीचे दिए गए आंकड़े में दिखाया गया है। पैराबोलिक शॉट एक आंदोलन है जो एक्स प्लेन पर होता है और उस स्थिति में प्रारंभिक वेग निम्नानुसार विघटित होता है:

चित्रा 2. प्रक्षेप्य के प्रारंभिक वेग पर बाईं ओर और प्रक्षेपण के किसी भी समय दाईं ओर स्थिति। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स ज़ेटोनी सांडोर, (ifj।) फ़िज़्ड / सीसी BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)।

प्रोजेक्टाइल की स्थिति, जो चित्र 2 में लाल बिंदु है, सही छवि है, इसमें दो समय-निर्भर घटक भी हैं, एक x पर और दूसरा y पर। स्थिति एक सदिश निरूपित r है और इसकी इकाइयाँ लंबाई हैं।

आंकड़े में, प्रक्षेप्य की प्रारंभिक स्थिति समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति के साथ मेल खाती है, इसलिए x _o = 0, और _o = 0. यह हमेशा ऐसा नहीं होता है, आप कहीं भी मूल चुन सकते हैं, लेकिन यह विकल्प बहुत सरल करता है गणना।

एक्स और वाई में दो आंदोलनों के बारे में, ये हैं:

-x (t): यह एक समान आयताकार गति है।

-y (t): g = 9.8 m / s ^{2 के} साथ समान रूप से त्वरित आयताकार गति से मेल खाती है और लंबवत नीचे की ओर इशारा करती है।

गणितीय रूप में:

स्थिति वेक्टर है:

r (t) = i + j

इन समीकरणों में चौकस पाठक ध्यान देगा कि माइनस साइन गुरुत्वाकर्षण के कारण जमीन की ओर इंगित करता है, दिशा को नकारात्मक के रूप में चुना जाता है, जबकि ऊपर की तरफ सकारात्मक के रूप में लिया जाता है।

चूंकि वेग स्थिति का पहला व्युत्पन्न है, बस समय और सम्मान के साथ r (t) को अलग करें:

v (t) = v _o cos α i + (v _o। sin α - gt) j

अंत में, त्वरण वेक्टर के रूप में व्यक्त किया गया है:

a (t) = -g j

- प्रक्षेपवक्र, अधिकतम ऊंचाई, अधिकतम समय और क्षैतिज पहुंच

प्रक्षेपवक्र

पथ के स्पष्ट समीकरण को खोजने के लिए, जो वक्र y (x) है, हमें समय पैरामीटर को समाप्त करना चाहिए, x (t) के लिए समीकरण में हल करना और y (t) में प्रतिस्थापित करना। सरलीकरण कुछ श्रमसाध्य है, लेकिन अंत में आपको मिलता है:

अधिकतम ऊँचाई

अधिकतम ऊंचाई तब होती है जब v _y = 0 होता है। यह जानना कि स्थिति और वेग के वर्ग के बीच निम्न संबंध है:

चित्रा 3. पैराबोलिक शॉट में गति। स्रोत: गिआम्बतिस्ता, ए। भौतिकी

अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने पर v _y = 0 बनाना:

साथ में:

अधिकतम समय

अधिकतम समय वह समय है जो ऑब्जेक्ट को _{अधिकतम} और _{अधिकतम} तक ले जाता है । गणना करने के लिए इसका उपयोग किया जाता है:

यह जानते हुए कि v _y 0 हो जाता है जब t = t _max, इससे परिणाम होता है:

अधिकतम क्षैतिज पहुंच और उड़ान का समय

सीमा बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह संकेत करता है कि वस्तु कहां गिरेगी। इस तरह से हमें पता चल जाएगा कि यह निशाने पर है या नहीं। इसे खोजने के लिए हमें उड़ान का समय, कुल समय या _{वी चाहिए} ।

उपरोक्त दृष्टांत से यह निष्कर्ष निकालना आसान है कि t _v = 2.t _max । लेकिन सावधान रहें! यह केवल तभी सच है जब लॉन्च स्तर है, यानी शुरुआती बिंदु की ऊंचाई आगमन की ऊंचाई के समान है। अन्यथा समय द्विघात समीकरण को हल करके पाया जाता है जो अंतिम और _{अंतिम} स्थिति को प्रतिस्थापित करने से उत्पन्न होता है:

किसी भी मामले में, अधिकतम क्षैतिज पहुंच है:

पैराबोलिक शूटिंग के उदाहरण

पैराबोलिक शॉट लोगों और जानवरों के आंदोलन का हिस्सा है। लगभग सभी खेलों और खेलों का भी जहां गुरुत्वाकर्षण हस्तक्षेप करता है। उदाहरण के लिए:

मानव गतिविधियों में परवलयिक शूटिंग

-एक गुलेल द्वारा फेंका गया पत्थर।

-गोलकीपर का गोल किक।

-घड़े के द्वारा फेंकी गई गेंद।

-धनुष से निकला हुआ तीर।

-सभी प्रकार के जंप

एक पत्थर एक गोफन के साथ फेंक दें।

-एक हथियार फेंकना

चित्र 4. गुलेल द्वारा फेंका गया पत्थर और गोल किक में फेंकी गई गेंद पैराबोलिक शॉट्स के उदाहरण हैं। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

प्रकृति में गोली मार दी

-पानी जो प्राकृतिक या कृत्रिम जेट से बहता है जैसे कि एक फव्वारा से।

-स्टोन और लावा एक ज्वालामुखी से बाहर निकलते हुए।

-एक गेंद जो फुटपाथ या पत्थर पर उछलती है जो पानी पर उछलती है।

सभी प्रकार के जानवर जो कूदते हैं: कंगारू, डॉल्फ़िन, गज़ेल्स, बिल्लियाँ, मेंढक, खरगोश या कीड़े, कुछ नाम रखने के लिए।

चित्रा 5. इम्पाला 3 मीटर तक कूदने में सक्षम है। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स Arturo de Frias Marques / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)।

व्यायाम

एक टिड्डी 55 meters के कोण पर क्षैतिज और भूमि के साथ 0.80 मीटर आगे कूदती है। खोजें:

क) अधिकतम ऊंचाई तक पहुंच गया।

b) यदि वह एक ही प्रारंभिक गति के साथ कूदता है, लेकिन 45ed के कोण का निर्माण करता है, तो क्या वह उच्चतर होगा?

ग) इस कोण के लिए अधिकतम क्षैतिज पहुंच के बारे में क्या कहा जा सकता है?

का हल

जब समस्या द्वारा आपूर्ति किए गए डेटा में प्रारंभिक वेग v नहीं होता है _या गणना कुछ अधिक श्रमसाध्य होती है, लेकिन ज्ञात समीकरणों से, एक नई अभिव्यक्ति प्राप्त की जा सकती है। से शुरू:

जब यह बाद में उतरता है, तो ऊँचाई 0 पर लौट आती है, इसलिए:

चूँकि t _v एक सामान्य कारक है, यह सरल करता है:

हम पहले समीकरण से t _{v के} लिए हल कर सकते हैं:

और दूसरे में बदलें:

जब सभी शब्दों को v _या.cos α से गुणा किया जाता है, तो अभिव्यक्ति में परिवर्तन नहीं किया जाता है और भाजक गायब हो जाता है:

अब आप v _या o को साफ़ कर सकते हैं _या निम्नलिखित पहचान को भी प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

sin 2α = 2 sin α। cos α → v _या ² पाप 2α = gx _{अधिकतम}

गणना v _या ²:

लॉबस्टर उसी क्षैतिज गति को बनाए रखने का प्रबंधन करता है, लेकिन कोण को कम करके:

कम ऊँचाई पर पहुँचता है।

समाधान c

अधिकतम क्षैतिज पहुंच है:

कोण बदलने से क्षैतिज पहुंच भी बदल जाती है:

x _{अधिकतम} = 8.34 पाप 90 / 9.8 मीटर = 0.851 मीटर = 85.1 सेमी

छलांग अब लंबी है। पाठक यह सत्यापित कर सकते हैं कि यह 45 can कोण के लिए अधिकतम है क्योंकि:

पाप 2α = पाप 90 = 1।

संदर्भ

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