फूरियर रूपांतरण: गुण, अनुप्रयोग, उदाहरण - गणित

फूरियर बदलना एक विश्लेषणात्मक पर्याप्तता समाकलनीय कार्यों कि अभिन्न रूपांतरण के परिवार से है के लिए उन्मुख विधि है। इसमें Cos (t) और Sen (t) के संदर्भ में f (t) फ़ंक्शन के पुनर्परिभाषित होते हैं।

इन कार्यों की त्रिकोणमितीय पहचान, उनकी व्युत्पत्ति और प्रतिरूपण विशेषताओं के साथ, निम्नलिखित जटिल कार्य के माध्यम से फूरियर रूपांतरण को परिभाषित करने के लिए कार्य करती है:

जो तब तक सच है जब तक अभिव्यक्ति का अर्थ है, जब अनुचित अभिन्न अभिसरण है। बीजगणितीय रूप से फूरियर रूपांतरण को एक रेखीय होमियोमॉर्फिज़्म कहा जाता है।

हर फ़ंक्शन जिसे फूरियर रूपांतरण के साथ काम किया जा सकता है, उसे परिभाषित पैरामीटर के बाहर अशक्त होना चाहिए।

गुण

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फूरियर परिवर्तन निम्नलिखित गुणों से मिलता है:

अस्तित्व

वास्तविक आर में परिभाषित एक फ़ंक्शन f (t) में फूरियर रूपांतरण के अस्तित्व को सत्यापित करने के लिए, निम्नलिखित 2 स्वयंसिद्धों को पूरा किया जाना चाहिए:

f (t) सभी R के लिए टुकड़ा-टुकड़ा निरंतर है
f (t) R में पूर्णांक है

फूरियर रूपांतरण रैखिकता

बता दें कि M (t) और N (t) किसी भी स्थिरांक के साथ किसी भी स्थिरांक के साथ दो निश्चित कार्य हैं।

F (z) = a F (z) + b F (z)

जिसे उसी नाम के अभिन्न के रैखिकता द्वारा भी समर्थन किया जाता है।

एक व्युत्पन्न के फूरियर रूपांतरण

एक ऐसा कार्य f है जो सभी लोकों में निरंतर और पूर्ण होता है, जहां:

और एफ (एफ ') का व्युत्पन्न निरंतर और पूरे आर में परिभाषित किया गया है

व्युत्पन्न के फूरियर रूपांतरण को निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा भागों द्वारा एकीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:

F (z) = iz F (z)

उच्च क्रम की व्युत्पत्तियों में, इसे एक समरूप तरीके से लागू किया जाएगा, जहां सभी n 1 के लिए हमारे पास है:

F (z) = (iz) ⁿ F (z)

फूरियर रूपांतरण भेदभाव

एक ऐसा कार्य f है जो सभी लोकों में निरंतर और पूर्ण होता है, जहां:

एक अनुवाद के फूरियर रूपांतरण

हर के लिए θ कि सेट S और के अंतर्गत आता है टी है कि सेट एस 'के अंतर्गत आता है, हमने:

F = e ^-iay FF = e ^-iax F

साथ τ _एक के रूप में वेक्टर एक पर अनुवाद ऑपरेटर काम कर रहे।

फूरियर रूपांतरण का अनुवाद

हर के लिए θ कि सेट S और के अंतर्गत आता है टी है कि सेट एस 'के अंतर्गत आता है, हमने:

τ _एक एफ = एफ τ _एक एफ = एफ

जिनमें से सभी के लिए आर

एक पैमाने समूह के फूरियर रूपांतरण

सभी के लिए θ कि एक सेट एस के अंतर्गत आता है टी है कि सेट एस 'के अंतर्गत आता है

λ से संबंधित R - {0} हमारे पास है:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ)

F = (1 / -λ-) F (y / λ)

यदि f एक निरंतर और स्पष्ट रूप से पूर्णांक फ़ंक्शन है, जहां a> 0. तब:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

इस परिणाम को प्रदर्शित करने के लिए, हम परिवर्तनशील परिवर्तन के साथ आगे बढ़ सकते हैं।

जब T → + तब s = at → + s

जब T → - तो s = at → - s

समरूपता

फूरियर रूपांतरण की समरूपता का अध्ययन करने के लिए, पार्सेवल और प्लेचरेल फार्मूले की पहचान को सत्यापित किया जाना चाहिए।

हमारे पास δ और δ हैं जो एस से संबंधित हैं । वहां से यह घटाया जा सकता है:

मिल रहा

1 / (2se) ^डी { एफ, एफ } पार्सल पहचान

1 / (^{2 2}) ^{डी / 2} - एफ - _एल ² _आर ^डी प्लेचरेल सूत्र

एक दृढ़ संकल्प उत्पाद का फूरियर रूपांतरण

लाप्लास के रूप में इसी तरह के उद्देश्यों को पूरा करना, कार्यों का दृढ़ संकल्प उनके फूरियर परिवर्तनों के बीच उत्पाद को संदर्भित करता है।

हमारे पास f और g 2 के रूप में बंधे, परिभाषित और पूरी तरह से पूर्ण कार्य हैं:

एफ (एफ * जी) = एफ (एफ)। एफ (जी)

एफ (एफ)। एफ (जी) = एफ (एफ जी)

निरंतरता और अनन्तता में गिरना

फूरियर रूपांतरण क्या है?

यह मुख्य रूप से समीकरणों को सरल बनाने के लिए मुख्य रूप से कार्य करता है, व्युत्पन्न अभिव्यक्तियों को शक्ति तत्वों में परिवर्तित करते हुए, पूर्णांक बहुपद के रूप में विभेदक अभिव्यक्तियों को निरूपित करता है।

परिणामों के अनुकूलन, मॉड्यूलेशन और मॉडलिंग में, यह कई पीढ़ियों के बाद इंजीनियरिंग के लिए लगातार संसाधन होने के नाते, एक मानकीकृत अभिव्यक्ति के रूप में कार्य करता है।

फूरियर श्रृंखला

वे कोसाइन और सीन्स के संदर्भ में श्रृंखलाबद्ध हैं; वे सामान्य आवधिक कार्यों के साथ काम करने की सुविधा प्रदान करते हैं। जब लागू किया जाता है, तो वे साधारण और आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने की तकनीकों का हिस्सा होते हैं।

फूरियर श्रृंखला टेलर श्रृंखला की तुलना में और भी अधिक सामान्य है, क्योंकि वे समय-समय पर असंतोषजनक कार्यों का विकास करते हैं जिनमें टेलर श्रृंखला प्रतिनिधित्व नहीं है।

फूरियर श्रृंखला के अन्य रूप

फूरियर को विश्लेषणात्मक रूप से समझने के लिए, उन अन्य रूपों की समीक्षा करना महत्वपूर्ण है जिनमें फूरियर श्रृंखला पाई जा सकती है, जब तक कि फूरियर श्रृंखला को इसके जटिल अंकन में परिभाषित नहीं किया जा सकता है।

अवधि 2L के एक समारोह पर -Fourier श्रृंखला

कई बार फ़ॉरियर श्रृंखला की संरचना को आवधिक कार्यों के लिए अनुकूलित करना आवश्यक है, जिसकी अवधि अंतराल में पी = 2 एल> 0 है।

-फायर श्रृंखला विषम और यहां तक कि कार्यों में

अंतराल को माना जाता है, जो फ़ंक्शंस की सममित विशेषताओं का लाभ उठाते हुए लाभ प्रदान करता है।

यदि f है, तो भी, फूरियर श्रृंखला को कोसाइन की एक श्रृंखला के रूप में स्थापित किया गया है।

यदि एफ विषम है, तो फूरियर श्रृंखला को सीन्स की एक श्रृंखला के रूप में स्थापित किया गया है।

-फ्लेयर श्रृंखला की -Complex संकेतन

यदि हमारे पास एक फ़ंक्शन एफ (टी) है, जो फूरियर श्रृंखला की सभी विकास आवश्यकताओं को पूरा करता है, तो इसके जटिल अंकन का उपयोग करके अंतराल में इसे निरूपित करना संभव है:

अनुप्रयोग

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मौलिक समाधान की गणना

फूरियर ट्रांसफॉर्मर निरंतर गुणांक वाले रैखिक प्रकार के आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन में एक शक्तिशाली उपकरण है। वे समान डोमेन के साथ फ़ंक्शंस के लिए आवेदन करते हैं।

लैपलैस ट्रांसफॉर्म की तरह, फूरियर ट्रांसफॉर्म एक आंशिक व्युत्पन्न फ़ंक्शन को संचालित करने के लिए बहुत साधारण अंतर में बदल देता है।

गर्मी समीकरण के लिए काऊची समस्या फूरियर रूपांतरण के अक्सर अनुप्रयोग का एक क्षेत्र प्रस्तुत करती है जहां गर्मी या डिरिक्लेट नाभिक का नाभिक उत्पन्न होता है।

मौलिक समाधान की गणना के संबंध में, निम्नलिखित मामलों को प्रस्तुत किया जाता है, जहां फूरियर रूपांतरण खोजना आम है:

संकेत सिद्धांत

इस शाखा में फूरियर परिवर्तन के आवेदन का सामान्य कारण मुख्य रूप से सिग्नल की विशेषता अपघटन के कारण होता है, जो कि अधिक आसानी से उपचारित संकेतों के अनंत सुपरपोजिशन के रूप में होता है।

यह एक ध्वनि तरंग या विद्युत चुम्बकीय तरंग हो सकती है, फूरियर ट्रांसफॉर्म इसे सरल तरंगों के एक सुपरपोजिशन में व्यक्त करता है। यह प्रतिनिधित्व इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में अक्सर होता है।

दूसरी ओर, सिग्नल सिद्धांत के क्षेत्र में फूरियर रूपांतरण के आवेदन के उदाहरण हैं:

उदाहरण

उदाहरण 1

निम्नलिखित अभिव्यक्ति के लिए फूरियर रूपांतरण को परिभाषित करें:

हम निम्नलिखित तरीके से भी इसका प्रतिनिधित्व कर सकते हैं:

एफ (टी) = सेन (टी)

आयताकार पल्स को परिभाषित किया गया है:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

फूरियर ट्रांसफॉर्म को निम्न अभिव्यक्ति पर लागू किया जाता है जो मॉड्यूलेशन प्रमेय जैसा दिखता है।

f (t) = p (t) सेन (t)

कहां: एफ = (1/2) i

और फूरियर रूपांतरण द्वारा परिभाषित किया गया है:

एफ = (1/2) i

उदाहरण 2

अभिव्यक्ति के लिए फूरियर रूपांतरण को परिभाषित करें:

चूंकि f (h) एक समान कार्य है, इसलिए यह कहा जा सकता है कि

भागों द्वारा एकीकरण चर और उनके अंतर को निम्नानुसार चुनकर लागू किया जाता है

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

डीवी = ज (ङ ^-h) ² वी = (ई ^-h) ² /2

आपके पास सबस्टीट्यूशन है

पथरी के मौलिक प्रमेय के तहत मूल्यांकन करने के बाद

पहले क्रम के अंतर समीकरणों के संबंध में पूर्व ज्ञान को लागू करते हुए, अभिव्यक्ति को इस रूप में दर्शाया गया है

K प्राप्त करने के लिए हम मूल्यांकन करते हैं

अंत में, अभिव्यक्ति के फूरियर रूपांतरण को परिभाषित किया गया है

प्रस्तावित अभ्यास

अभिव्यक्ति का रूपांतरण W / (1 + w ²) करें

संदर्भ

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फूरियर रूपांतरण: गुण, अनुप्रयोग, उदाहरण - गणित - 2025

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