लाप्लास रूपांतरण: परिभाषा, इतिहास और इसके लिए क्या है - गणित - 2025

इंजीनियरिंग के अध्ययन, गणित, भौतिकी, अन्य वैज्ञानिक क्षेत्रों के साथ-साथ सिद्धांत में बहुत रुचि होने के कारण लाप्लास परिवर्तन का हाल के वर्षों में बहुत महत्व रहा है, जो आने वाली समस्याओं को हल करने का एक सरल तरीका प्रदान करता है विज्ञान और इंजीनियरिंग।

मूलतः लैप्लस परिवर्तन को पियरे-सिमोन लैप्लस द्वारा संभाव्यता सिद्धांत पर अपने अध्ययन में प्रस्तुत किया गया था और शुरू में इसे विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक हित के गणितीय उद्देश्य के रूप में माना गया था।

वर्तमान अनुप्रयोग तब उत्पन्न होते हैं जब विभिन्न गणितज्ञों ने विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत के समीकरणों के अध्ययन में हीविसाइड द्वारा उपयोग किए जाने वाले "परिचालन नियमों" को एक औपचारिक औचित्य देने की कोशिश की।

परिभाषा

चलो Lap 0. के लिए एक फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है। लाप्लास परिवर्तन को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

यदि पिछले अभिन्न अभिसरण करता है, तो लाप्लास परिवर्तन का अस्तित्व कहा जाता है, अन्यथा लाप्लास परिवर्तन मौजूद नहीं है।

सामान्य तौर पर, लोअरकेस अक्षरों का उपयोग फ़ंक्शन को रूपांतरित करने के लिए किया जाता है, और कैपिटल अक्षर इसके ट्रांसफॉर्मेशन से मेल खाता है। इस तरह से हमारे पास होगा:

उदाहरण

निरंतर कार्य पर विचार करें f (t) = 1. हमारे पास इसके परिवर्तन हैं:

जब भी अभिन्न अभिसरण होता है, जब भी s> 0. अन्यथा, s <0, अभिन्न विचलन।

जी (टी) = टी। इसका लाप्लास ट्रांसफॉर्मेशन द्वारा दिया गया है

भागों द्वारा एकीकृत करके और यह जानकर कि टे ^{-स्ट का} झुकाव 0 तक होता है जब टी अनंत और एस> 0 पर जाता है, साथ में हमारे पास पिछले उदाहरण के साथ:

परिवर्तन मौजूद हो सकता है या नहीं हो सकता है, उदाहरण के लिए फ़ंक्शन f (t) = 1 / t अभिन्न अंग जो इसके लाप्लास रूपांतरण को परिभाषित करता है, अभिसरण नहीं करता है और इसलिए इसका परिवर्तन मौजूद नहीं है।

यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त शर्तें कि फ़ंक्शन f का लाप्लास परिवर्तन मौजूद है, f t and 0 के लिए निरंतर टुकड़ा-टुकड़ा है और घातीय क्रम का है।

एक फ़ंक्शन को t when 0 के लिए निरंतर रूप से टुकड़ा करने योग्य कहा जाता है, जब> 0 के साथ किसी भी अंतराल के लिए, अंक t _k की एक परिमित संख्या _{होती है,} जहां f में विच्छेदन होता है और प्रत्येक उपधारा में निरंतर होता है।

दूसरी ओर, एक फ़ंक्शन को घातीय क्रम c का कहा जाता है यदि वास्तविक स्थिरांक M> 0, c और T> 0 ऐसे हों:

उदाहरणों के रूप में हमारे पास f (t) = t ² घातीय क्रम का है, चूंकि -t ² - <e ^3t सभी के लिए>> 0 है।

एक औपचारिक तरीके से हमारे पास निम्नलिखित प्रमेय हैं

प्रमेय (अस्तित्व के लिए पर्याप्त स्थिति)

यदि t> 0 और घातीय क्रम c के लिए एक आंशिक-निरंतर कार्य है, तो लाप्लास परिवर्तन s> c के लिए मौजूद है।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह एक पर्याप्तता की स्थिति है, अर्थात, यह मामला हो सकता है कि एक ऐसा फ़ंक्शन है जो इन शर्तों को पूरा नहीं करता है और यहां तक ​​कि इसके लैपलैस परिवर्तन भी मौजूद हैं।

इसका एक उदाहरण है कार्य f (t) = t ^-1/2 जो कि t but 0 के लिए सतत रूप से ^{टुकड़ा करने} योग्य नहीं है, लेकिन इसके लैप्स परिवर्तन मौजूद हैं।

लाप्लास कुछ बुनियादी कार्यों का रूपांतरण

निम्न तालिका सबसे आम कार्यों के लाप्लास परिवर्तनों को दिखाती है।

इतिहास

लाप्लास का नाम बदलकर पियरे-साइमन लाप्लास, एक फ्रांसीसी गणितज्ञ और सैद्धांतिक खगोलशास्त्री के रूप में हुआ, जिसका जन्म 1749 में हुआ और 1827 में उसकी मृत्यु हो गई। उसकी प्रसिद्धि ऐसी थी कि वह फ्रांस के न्यूटन के नाम से जाना जाता था।

1744 में लियोनार्ड यूलर ने अपनी पढ़ाई को रूप के साथ अभिन्न रूप से समर्पित कर दिया

साधारण अंतर समीकरणों के समाधान के रूप में, लेकिन उन्होंने जल्दी से इस जांच को छोड़ दिया। बाद में, जोसेफ लुई लग्रेंज, जिन्होंने यूलर की बहुत प्रशंसा की, ने भी इस प्रकार के अभिन्नताओं की जांच की और उन्हें संभाव्यता सिद्धांत से संबंधित किया।

1782, लाप्लास

1782 में लाप्लास ने अंतर समीकरणों के समाधान के रूप में इस तरह के अभिन्न का अध्ययन करना शुरू किया और इतिहासकारों के अनुसार, 1785 में उन्होंने इस समस्या का सुधार करने का फैसला किया, जिसने बाद में लाप्लास रूपांतरों को जन्म दिया, जैसा कि वे आज समझ रहे हैं।

संभावना सिद्धांत के क्षेत्र में पेश किए जाने के बाद, यह उस समय वैज्ञानिकों के लिए बहुत कम रुचि थी और इसे केवल सैद्धांतिक हित के गणितीय उद्देश्य के रूप में देखा गया था।

ओलिवर हीविसाइड

यह 19 वीं शताब्दी के मध्य में था कि अंग्रेजी इंजीनियर ओलिवर हीविसाइड ने पाया कि अंतर ऑपरेटरों को बीजीय चर के रूप में माना जा सकता है, इस प्रकार लाप्लास उनके आधुनिक अनुप्रयोग को बदल देता है।

ओलिवर हैविसाइड एक अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी, इलेक्ट्रिकल इंजीनियर और गणितज्ञ थे, जिनका जन्म 1850 में लंदन में हुआ था और 1925 में उनका निधन हो गया। कंपन के सिद्धांत पर लागू अंतर समीकरण समस्याओं को हल करने की कोशिश करते हुए और लाप्लास के अध्ययन का उपयोग करते हुए, उन्होंने आकार देना शुरू किया। लाप्लास के आधुनिक अनुप्रयोग रूपांतरित होते हैं।

हीविसाइड द्वारा प्रस्तुत किए गए परिणाम उस समय के पूरे वैज्ञानिक समुदाय में तेज़ी से फैल गए, लेकिन जैसा कि उनका काम कठोर नहीं था, उन्हें जल्दी से अधिक पारंपरिक गणितज्ञों द्वारा आलोचना की गई थी।

हालांकि, भौतिकी में समीकरणों को हल करने में हीविसाइड के काम की उपयोगिता ने भौतिकविदों और इंजीनियरों के साथ अपने तरीकों को लोकप्रिय बना दिया।

इन असफलताओं के बावजूद और कुछ दशकों के असफल प्रयासों के बाद, 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में हीविसाइड द्वारा दिए गए परिचालन नियमों को एक कठोर औचित्य दिया जा सकता था।

ये प्रयास ब्रोमविच, कार्सन, वैन डेर पोल जैसे विभिन्न गणितज्ञों के प्रयासों के लिए धन्यवाद देते हैं।

गुण

लाप्लास परिवर्तन के गुणों में, निम्नलिखित बाहर खड़े हैं:

रैखिकता

C1 और c2 को स्थिरांक और f (t) और g (t) कार्य कहते हैं जिनके लैप्लस रूपांतरित होते हैं क्रमशः F (s) और G (s) हैं, तो हमारे पास हैं:

इस संपत्ति के कारण लाप्लास परिवर्तन को एक रैखिक ऑपरेटर कहा जाता है।

उदाहरण

पहला अनुवाद प्रमेय

यदि ऐसा होता है कि:

और 'क' कोई वास्तविक संख्या है, इसलिए:

उदाहरण

चूंकि कॉस के लाप्लास रूपांतरण (2t) = s / (s ^ 2 + 4) तब:

दूसरा अनुवाद प्रमेय

हाँ

इसलिए

उदाहरण

यदि f (t) = t ^ 3, तो F (s) = 6 / s ^ 4। और इसलिए के परिवर्तन

है G (s) = 6e ^-2 s / s ^ 4

स्केल में बदलाव

हाँ

और 'ए' एक नॉनवेज असली है, हमें करना है

उदाहरण

च के परिवर्तन के बाद से (t) = sin (t) F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) हमारे पास है

लाप्लास के डेरिवेटिव का रूपांतरण

यदि f, f ', f' ',…, f ⁽ⁿ⁾ t f 0 के लिए निरंतर है और घातीय क्रम के हैं और f ⁽ⁿ⁾ (t) t, 0 के लिए निरंतर है, तो

इंटीग्रल का लाप्लास ट्रांसफॉर्मेशन

हाँ

इसलिए

टी से गुणा

अगर हमें करना है

इसलिए

टी द्वारा विभाजन

अगर हमें करना है

इसलिए

आवधिक कार्य

चलो अवधि के साथ एक आवधिक कार्य हो T> 0, कि f (t + T) = f (t) है, तो

एफ का व्यवहार (एस) के रूप में अनंत को जाता है

यदि एफ भागों में और घातीय क्रम में निरंतर है और

इसलिए

विलोम रूपांतर

जब हम एक फ़ंक्शन च (t) में लाप्लास रूपांतरण लागू करते हैं तो हम एफ (एस) प्राप्त करते हैं, जो इस परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। उसी तरह से हम कह सकते हैं कि f (t) F (s) का व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतर है और इसे इस प्रकार लिखा जाता है

हम जानते हैं कि लाप्लास एफ (टी) = १ और जी (टी) = टी एफ (एस) = १ / एस और जी (एस) = १ / एस ^२ हैं, इसलिए हमारे पास हैं

कुछ सामान्य उलटा लाप्लास रूपांतर इस प्रकार हैं

इसके अलावा, उलटा लाप्लास परिवर्तन रैखिक है, अर्थात यह सच है

व्यायाम

खोज

इस अभ्यास को हल करने के लिए हमें पिछले तालिका में से एक के साथ फ़ंक्शन एफ (एस) से मेल खाना चाहिए। इस स्थिति में यदि हम + 1 = 5 लेते हैं और व्युत्क्रम रूपांतर की रैखिकता गुण का उपयोग करते हैं, तो हम गुणा करते हैं और 4 से विभाजित करते हैं! मिल रहा

दूसरे व्युत्क्रम परिवर्तन के लिए हम फ़ंक्शन F (s) को फिर से लिखने के लिए आंशिक अंशों को लागू करते हैं और फिर रैखिकता की संपत्ति प्राप्त करते हैं

जैसा कि हम इन उदाहरणों से देख सकते हैं, यह सामान्य है कि मूल्यांकन किया जाने वाला फ़ंक्शन F (s) तालिका में दिए गए किसी भी फ़ंक्शन से ठीक से मेल नहीं खाता है। इन मामलों के लिए, जैसा कि देखा गया है, यह फ़ंक्शन को फिर से लिखने के लिए पर्याप्त है जब तक कि यह उचित रूप में न पहुंच जाए।

लाप्लास परिवर्तन के अनुप्रयोग

विभेदक समीकरण

लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म का मुख्य अनुप्रयोग अंतर समीकरणों को हल करना है।

व्युत्पन्न के परिवर्तन की संपत्ति का उपयोग करना स्पष्ट है कि

N-1 व्युत्पन्न का Y t = 0 पर मूल्यांकन किया गया।

यह गुण प्रारंभिक मान समस्याओं को हल करने के लिए परिवर्तन को बहुत उपयोगी बनाता है जहां निरंतर गुणांक वाले अंतर समीकरण शामिल होते हैं।

निम्नलिखित उदाहरण बताते हैं कि अंतर समीकरणों को हल करने के लिए लाप्लास परिवर्तन का उपयोग कैसे करें।

उदाहरण 1

निम्नलिखित प्रारंभिक मूल्य समस्या को देखते हुए

समाधान खोजने के लिए लाप्लास परिवर्तन का उपयोग करें।

हम अंतर समीकरण के प्रत्येक सदस्य के लिए लाप्लास परिवर्तन लागू करते हैं

एक व्युत्पन्न के परिवर्तन की संपत्ति से हमारे पास है

सभी अभिव्यक्ति को विकसित करने और हमारे पास वाई (एस) को साफ करने से

हमें प्राप्त समीकरण के दाहिने हाथ को फिर से लिखने के लिए आंशिक अंशों का उपयोग करना

अंत में, हमारा लक्ष्य एक फ़ंक्शन y (t) खोजना है जो अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है। उलटा लाप्लास परिवर्तन का उपयोग करने से हमें परिणाम मिलता है

उदाहरण 2

का समाधान

पिछले मामले की तरह, हम समीकरण के दोनों किनारों पर परिवर्तन लागू करते हैं और अवधि के अनुसार अलग-अलग शब्द।

इस तरह हमारे पास परिणाम है

दिए गए प्रारंभिक मूल्यों के साथ प्रतिस्थापन और Y के लिए हल करना

सरल अंशों का उपयोग करके हम समीकरण को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं

और उलटा लाप्लास परिवर्तन लागू करने से हमें परिणाम मिलता है

इन उदाहरणों में, कोई गलत तरीके से निष्कर्ष निकाल सकता है कि यह विधि अंतर समीकरणों को हल करने के लिए पारंपरिक तरीकों से बहुत बेहतर नहीं है।

लाप्लास परिवर्तन के फायदे यह है कि आपको पैरामीटर भिन्नता का उपयोग करने या अनिश्चित गुणांक विधि के विभिन्न मामलों के बारे में चिंता करने की आवश्यकता नहीं है।

इसके अलावा, इस पद्धति द्वारा प्रारंभिक मूल्य की समस्याओं को हल करते समय, शुरुआत से हम प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करते हैं, इसलिए विशेष समाधान खोजने के लिए अन्य गणना करना आवश्यक नहीं है।

विभेदक समीकरणों की प्रणाली

लाप्लास परिवर्तन का उपयोग एक साथ साधारण अंतर समीकरणों के समाधान खोजने के लिए भी किया जा सकता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण से पता चलता है।

उदाहरण

हल

प्रारंभिक शर्तों के साथ x (0) = 8 और y (0) = 3।

अगर हमें करना है

इसलिए

परिणाम के रूप में हमें हल देता है

और व्युत्क्रम लाप्लास को लागू करना हमारे पास है

यांत्रिकी और विद्युत सर्किट

भौतिकी में लाप्लास परिवर्तन का बहुत महत्व है, इसमें मुख्य रूप से यांत्रिकी और इलेक्ट्रिकल सर्किट के लिए आवेदन हैं।

एक साधारण विद्युत परिपथ निम्नलिखित तत्वों से बना होता है

एक स्विच, एक बैटरी या स्रोत, एक प्रारंभ करनेवाला, एक रोकनेवाला, और एक संधारित्र। जब स्विच बंद हो जाता है, तो एक विद्युत प्रवाह उत्पन्न होता है जिसे i (t) द्वारा दर्शाया जाता है। संधारित्र पर आरोप q (t) द्वारा निरूपित किया जाता है।

किरचॉफ के दूसरे कानून द्वारा, क्लोज सर्किट में स्रोत ई द्वारा उत्पादित वोल्टेज को प्रत्येक वोल्टेज ड्रॉप के योग के बराबर होना चाहिए।

विद्युत धारा i (t) संधारित्र पर i = dq / dt द्वारा चार्ज q (t) से संबंधित है। दूसरी ओर, प्रत्येक तत्व में वोल्टेज ड्रॉप निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

एक अवरोधक पर वोल्टेज ड्रॉप iR = R (dq / dt) है

एक प्रारंभ करनेवाला के पार वोल्टेज ड्रॉप L (di / dt) = L (d ² q / dt ²) है

संधारित्र के पार वोल्टेज ड्रॉप q / C है

इन आंकड़ों के साथ और किरचॉफ के दूसरे कानून को सरल बंद सर्किट में लागू करने के साथ, एक दूसरे क्रम का अंतर समीकरण प्राप्त होता है जो सिस्टम का वर्णन करता है और हमें क्यू (टी) के मूल्य को निर्धारित करने की अनुमति देता है।

उदाहरण

एक प्रारंभ करनेवाला, एक संधारित्र, और एक रोकनेवाला एक बैटरी ई से जुड़ा हुआ है, जैसा कि आंकड़े में दिखाया गया है। प्रारंभ करनेवाला 2 हेनरीज़ है, संधारित्र 0.02 फ़ार्स है और प्रतिरोध 16 ओम है। समय t = 0 सर्किट बंद है। किसी भी समय चार्ज और वर्तमान का पता लगाएं t> 0 यदि E = 300 वोल्ट।

हमारे पास यह है कि इस सर्किट का वर्णन करने वाला अंतर समीकरण निम्नलिखित है

जहाँ प्रारंभिक शर्तें q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0) हैं।

लाप्लास परिवर्तन को लागू करने से हमें वह प्राप्त होता है

और Q (t) के लिए हल करना

फिर, व्युत्क्रम लाप्लास को लागू करने से हमारे पास परिवर्तन होता है

संदर्भ

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