असतत फूरियर रूपांतरण: गुण, अनुप्रयोग, उदाहरण - गणित - 2025

असतत फूरियर बदलना एक संख्यात्मक वर्णक्रमीय आवृत्तियों है कि एक संकेत बनाने के लिए चर्चा करते हुए नमूने को परिभाषित करने के लिए प्रयोग किया जाता विधि है। यह बंद मापदंडों में आवधिक कार्यों का अध्ययन करता है, परिणामस्वरूप एक और असतत संकेत देता है।

असतत संकेत पर एन बिंदुओं के असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म को प्राप्त करने के लिए, निम्नलिखित 2 शर्तों को एक अनुक्रम x पर मिलना चाहिए

TDF

असतत फूरियर रूपांतरण को फूरियर रूपांतरण के एन-पॉइंट नमूने के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

असतत फूरियर रूपांतरण की व्याख्या

स्रोत: Pexels

देखने के 2 बिंदु हैं, जिसमें से अनुक्रम x _s पर प्राप्त परिणामों को असतत फूरियर रूपांतरण के माध्यम से व्याख्या की जा सकती है ।

-पहले पहले वर्णक्रमीय गुणांक से मेल खाता है, जो पहले से ही फूरियर श्रृंखला से जाना जाता है। यह असतत आवधिक संकेतों में देखा जाता है, अनुक्रम x _{s के} साथ नमूने के साथ ।

-दूसरे अनुक्रम x _{s के} अनुरूप नमूनों के साथ एक असतत aperiodic संकेत के स्पेक्ट्रम के साथ संबंधित है ।

असतत परिवर्तन मूल एनालॉग सिग्नल के स्पेक्ट्रम का एक अनुमान है। इसका चरण नमूने के इंस्टेंट पर निर्भर करता है, जबकि इसकी परिमाण नमूना अंतराल पर निर्भर करता है।

गुण

संरचना के बीजगणितीय नींव निम्नलिखित वर्गों के लिए तर्क बनाते हैं।

रैखिकता

सी। एस _एन → सी। एफ, यदि किसी अनुक्रम को एक स्केलर से गुणा किया जाता है, तो इसका परिवर्तन भी होगा।

टी _एन + वी _एन = एफ + एफ; राशि का परिवर्तन परिवर्तनों के योग के बराबर होता है।

द्वंद्व

एफ → (1 / एन) एस-के _; यदि असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म को पहले से परिवर्तित एक्सप्रेशन से पुनर्गणित किया जाता है, तो वही एक्सप्रेशन प्राप्त होता है, जिसे N में स्केल किया जाता है और वर्टिकल एक्सिस के संबंध में उलटा किया जाता है।

कनवल्शन

लाप्लास के रूप में इसी तरह के उद्देश्यों को पूरा करना, कार्यों का दृढ़ संकल्प उनके फूरियर परिवर्तनों के बीच उत्पाद को संदर्भित करता है। कन्वर्सेशन भी असतत समय पर लागू होता है और कई आधुनिक प्रक्रियाओं के लिए जिम्मेदार होता है।

एक्स _एन * आर _एन → एफ एफ; एक कनवल्शनफ़ॉल का परिवर्तन रूपांतरों के उत्पाद के बराबर है।

एक्स _एन । आर _एन → एफ * एफ; किसी उत्पाद का परिवर्तन परिवर्तनों के दृढ़ीकरण के बराबर है।

विस्थापन

एक्स _{एन-एम} → एफ ई - आई ^{(2-/ एन) किमी}; यदि कोई क्रम m नमूनों द्वारा विलंबित होता है, तो असतत परिवर्तन पर इसका प्रभाव (2 km / N) किमी द्वारा परिभाषित कोण का एक संशोधन होगा।

समरूपता

एक्स _टी = एक्स * _टी = एक्स _टी

मॉड्यूलेशन

डब्ल्यू- ^एनएन _एन । x _t X _t

उत्पाद

xy 1 (1 / N) X _t * Y _t

समरूपता

एक्स ↔ एक्स _टी = एक्स * _टी

संयुग्म

x * * X * _t

परसेवल समीकरण

पारंपरिक फूरियर रूपांतरण के संबंध में इसमें कई समानताएं और अंतर हैं। फूरियर रूपांतरण एक अनुक्रम को एक ठोस रेखा में परिवर्तित करता है। इस प्रकार यह कहा जाता है कि फूरियर चर का परिणाम एक वास्तविक चर का एक जटिल कार्य है।

असतत फूरियर रूपांतरण, विपरीत, एक असतत संकेत प्राप्त करता है और इसे दूसरे असतत संकेत में परिवर्तित करता है, अर्थात एक अनुक्रम।

असतत फूरियर रूपांतरण के लिए क्या है?

वे मुख्य रूप से समीकरणों को सरल बनाने के लिए सेवा करते हैं, जबकि व्युत्पन्न अभिव्यक्तियों को शक्ति तत्वों में बदलते हैं। विभेदक बहुपद रूपों में विभेदक भावों को नकारना।

परिणामों के अनुकूलन, मॉड्यूलेशन और मॉडलिंग में, यह कई पीढ़ियों के बाद इंजीनियरिंग के लिए लगातार संसाधन होने के नाते, एक मानकीकृत अभिव्यक्ति के रूप में कार्य करता है।

स्रोत: पिक्साबे

इतिहास

इस गणितीय अवधारणा को 1811 में जोसेफ बी। फूरियर द्वारा शुरू किया गया था, जबकि गर्मी के प्रसार पर एक ग्रंथ विकसित किया गया था। इसे विज्ञान और इंजीनियरिंग की विभिन्न शाखाओं द्वारा जल्दी अपनाया गया।

इसे आंशिक डेरिवेटिव के साथ समीकरणों के अध्ययन में मुख्य कार्य उपकरण के रूप में स्थापित किया गया था, यहां तक ​​कि इसकी तुलना लाप्लास परिवर्तन और साधारण अंतर समीकरणों के बीच मौजूदा कार्य संबंधों के साथ की गई थी।

हर फ़ंक्शन जिसे फूरियर रूपांतरण के साथ काम किया जा सकता है, उसे परिभाषित पैरामीटर के बाहर अशक्त होना चाहिए।

असतत फूरियर रूपांतरण और इसका उलटा

असतत परिवर्तन अभिव्यक्ति के माध्यम से प्राप्त होता है:

एक असतत अनुक्रम एक्स दिए जाने के बाद

असतत फूरियर रूपांतरण का उलटा अभिव्यक्ति के माध्यम से परिभाषित किया गया है:

रिवर्स PTO

एक बार असतत परिवर्तन हासिल करने के बाद, यह समय डोमेन X में अनुक्रम को परिभाषित करने की अनुमति देता है।

पंखों वाला

पैराट्राइज़र फ़ॉरियर ट्रांसफॉर्म के लिए पैराड्राइज़ेशन प्रक्रिया विंडोिंग में निहित है। परिवर्तन को काम करने के लिए हमें समय में अनुक्रम को सीमित करना होगा। कई मामलों में प्रश्न में संकेतों में ये सीमाएँ नहीं होती हैं।

एक अनुक्रम जो असतत परिवर्तन पर लागू करने के लिए आकार के मानदंडों को पूरा नहीं करता है, एक "विंडो" फ़ंक्शन वी द्वारा गुणा किया जा सकता है, एक नियंत्रित पैरामीटर में अनुक्रम के व्यवहार को परिभाषित करता है।

एक्स। वी

स्पेक्ट्रम की चौड़ाई खिड़की की चौड़ाई पर निर्भर होगी। जैसे ही खिड़की की चौड़ाई बढ़ती है, गणना की गई संरचना संकीर्ण हो जाएगी।

अनुप्रयोग

मौलिक समाधान की गणना

असतत अनुक्रमों के अध्ययन में असतत फूरियर रूपांतरण एक शक्तिशाली उपकरण है।

असतत फूरियर रूपांतरण एक असतत चर परिवर्तन में एक सतत चर समारोह को बदल देता है।

ऊष्मा समीकरण के लिए कॉची समस्या असतत फूरियर रूपांतरण के आवेदन का एक लगातार क्षेत्र प्रस्तुत करती है । जहां गर्मी या डिरिक्लेट कोर का मुख्य कार्य उत्पन्न होता है, जो एक परिभाषित पैरामीटर में नमूना मूल्यों पर लागू होता है।

संकेत सिद्धांत

इस शाखा में असतत फूरियर रूपांतरण के आवेदन का सामान्य कारण मुख्य रूप से एक सिग्नल के चारित्रिक अपघटन के कारण होता है, जो कि अधिक आसानी से उपचारित संकेतों के अनंत सुपरपोजिशन के रूप में होता है।

यह एक ध्वनि तरंग या एक विद्युत चुम्बकीय तरंग हो सकता है, असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म इसे सरल तरंगों के एक सुपरपोजिशन में व्यक्त करता है। यह प्रतिनिधित्व इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में अक्सर होता है।

फूरियर श्रृंखला

वे कोसाइन और सीन्स के संदर्भ में श्रृंखलाबद्ध हैं। वे सामान्य आवधिक कार्यों के साथ काम करने की सुविधा प्रदान करते हैं। जब लागू किया जाता है, तो वे साधारण और आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने की तकनीकों का हिस्सा होते हैं।

फूरियर श्रृंखला टेलर श्रृंखला की तुलना में और भी अधिक सामान्य है, क्योंकि वे समय-समय पर असंतोषजनक कार्यों का विकास करते हैं जिनमें टेलर श्रृंखला प्रतिनिधित्व नहीं है।

फूरियर श्रृंखला के अन्य रूप

फूरियर को विश्लेषणात्मक रूप से समझने के लिए, फ़ोरियर श्रृंखला के अन्य तरीकों की समीक्षा करना महत्वपूर्ण है, जब तक कि हम फूरियर श्रृंखला को इसके जटिल अंकन में परिभाषित नहीं कर सकते।

अवधि 2L के एक समारोह पर फूरियर श्रृंखला:

अंतराल को माना जाता है, जो फ़ंक्शंस की सममित विशेषताओं का लाभ उठाते हुए लाभ प्रदान करता है।

यदि f है, तो भी, फूरियर श्रृंखला को कोसाइन की एक श्रृंखला के रूप में स्थापित किया गया है।

यदि एफ विषम है, तो फूरियर श्रृंखला को सीन्स की एक श्रृंखला के रूप में स्थापित किया गया है।

-फ्लेयर श्रृंखला की -Complex संकेतन

यदि हमारे पास एक फ़ंक्शन एफ (टी) है, जो फूरियर श्रृंखला की सभी आवश्यकताओं को पूरा करता है, तो इसके जटिल अंकन का उपयोग करके अंतराल में इसे निरूपित करना संभव है:

उदाहरण

मौलिक समाधान की गणना के बारे में, निम्नलिखित उदाहरण प्रस्तुत हैं:

दूसरी ओर, संकेत सिद्धांत के क्षेत्र में असतत फूरियर रूपांतरण के आवेदन के उदाहरण हैं:

-सिस्टम की पहचान की समस्याएं। स्थापित च और जी

-आउटपुट सिग्नल की स्थिरता के साथ तालमेल

सिग्नल फ़िल्टरिंग के साथ -Problems

अभ्यास

अभ्यास 1

निम्नलिखित अनुक्रम के लिए असतत फूरियर रूपांतरण की गणना करें।

आप x के PTO को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:

X _t = {4, -j2, 0, j2} के लिए k = 0, 1, 2, 3

व्यायाम २

हम वर्णक्रमीय संकेत अभिव्यक्ति एक्स (टी) द्वारा परिभाषित = ई निर्धारित करने के लिए चाहते हैं ^आयकर एक डिजिटल एल्गोरिथ्म के माध्यम से । जहां गुणांक का अनुरोध करने वाली अधिकतम आवृत्ति f _m = 1Hz है। एक हार्मोनिक f = 0.3 हर्ट्ज से मेल खाती है। त्रुटि 5% से कम तक सीमित है। F _s, D और N की गणना करें ।

नमूना प्रमेय f _s = 2f _m = 2 Hz को ध्यान में रखते हुए

F ₀ = 0.1 हर्ट्ज का एक आवृत्ति रिज़ॉल्यूशन चुना जाता है, जिससे हम D = 1 / 0.1 = 10s प्राप्त करते हैं

0.3 हर्ट्ज सूचकांक k = 3 के अनुरूप आवृत्ति है, जहां N = 3 × 8 = 24 नमूने हैं। संकेत है कि f _s = N / D = 24/10 = 2.4> 2

चूंकि उद्देश्य एन के लिए न्यूनतम संभव मूल्य प्राप्त करना है, इसलिए निम्न मानों को समाधान के रूप में माना जा सकता है:

एफ ₀ = 0.3 हर्ट्ज

डी = 1 / 0.3 = 3.33 से

के = १

एन = 1 × 8 = 8

संदर्भ

1. एक, दो या कई आयामों में असतत फूरियर ट्रांसफ़र को माहिर करना: नुकसान और कलाकृतियाँ। इसहाक एमिडोर। स्प्रिंगर साइंस एंड बिजनेस मीडिया, 19 जुलाई। 2013
2. DFT: डिस्क्राइबर फूरियर ट्रांसफॉर्म के लिए एक ओनर्स मैनुअल। विलियम एल। ब्रिग्स, वैन एमडेन हेंसन। सियाम, 1 जनवरी। उनीस सौ पचानवे
3. डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग: सिद्धांत और व्यवहार। डी। सुंदरराजन। विश्व वैज्ञानिक, 2003
4. सिग्नल विश्लेषण और प्रतिनिधित्व के लिए ट्रांसफॉर्म और फास्ट एल्गोरिदम। गुआन बी, योंगहोंग ज़ेंग। स्प्रिंगर साइंस एंड बिजनेस मीडिया, 6 दिसंबर। 2012
5. असतत और सतत फूरियर रूपांतरण: विश्लेषण, अनुप्रयोग और तेज एल्गोरिदम। एलेनोर चू। सीआरसी प्रेस, 19 मार्च। 2008