स्कैलीन ट्रेपेज़ॉइड: गुण, सूत्र और समीकरण, उदाहरण - गणित - 2025

एक स्केलीन ट्रेपेज़ॉइड चार पक्षों के साथ एक बहुभुज है, जिनमें से दो एक दूसरे के समानांतर हैं, और इसके चार आंतरिक कोण अलग-अलग उपायों के साथ हैं।

चतुर्भुज ABCD को नीचे दिखाया गया है, जहाँ AB और DC एक दूसरे के समानांतर हैं। यह एक ट्रेपोजॉइड होने के लिए पर्याप्त है, लेकिन इसके अलावा, आंतरिक कोण α, β, δ और γ सभी अलग-अलग हैं, इसलिए ट्रेपेज़ॉइड स्केलीन है।

चित्रा 1. चतुर्भुज ABCD स्थिति 1 और स्केलेने द्वारा ट्रेपोजॉइड है। 2. स्रोत: F. Zapata।

स्कैलीन ट्रेपेज़ियम के तत्व

यहाँ सबसे विशिष्ट तत्व हैं:

-बेश और पक्ष: समलम्बाकार के समानांतर पक्ष इसके आधार हैं और दो गैर-समानांतर पक्ष हैं।

एक स्केलीन ट्रेपोजॉइड में आधार अलग-अलग लंबाई के होते हैं और पार्श्व वाले भी। हालांकि, एक स्केलीन ट्रेपेज़ॉइड में पार्श्व की लंबाई एक आधार के बराबर हो सकती है।

-मेडियन: वह खंड है जो पार्श्व लोगों के मध्य बिंदु से जुड़ता है।

-डिजोनल्स: एक ट्रेपोजॉइड का विकर्ण वह खंड है जो दो विपरीत छोरों से जुड़ता है। हर चतुर्भुज की तरह एक ट्रेपोज़ॉइड में दो विकर्ण होते हैं। स्केलीन ट्रेपेज़ॉइड में वे अलग-अलग लंबाई के होते हैं।

अन्य ट्रेपोज़िड्स

स्केलीन ट्रेपेज़ॉइड के अलावा, अन्य विशेष ट्रेपोज़ॉइड हैं: सही ट्रेपोज़ॉइड और समद्विबाहु ट्रेपोज़ॉइड।

एक समलम्बाकार एक आयत है जब इसके कोण में से एक सही होता है, जबकि समद्विबाहु समलम्बाकार के बराबर लंबाई के अपने पक्ष होते हैं।

ट्रेपेज़ॉइडल आकार में डिज़ाइन और उद्योग स्तर पर कई अनुप्रयोग हैं, जैसे विमान के पंखों के विन्यास में, टेबल, कुर्सी बैक, पैकेजिंग, पर्स, कपड़ा प्रिंट और अधिक जैसे रोजमर्रा की वस्तुओं का आकार।

चित्रा 2. हवाई जहाज के पंख विन्यास में ट्रेपोज़ॉइडल आकार आम है। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

गुण

स्केलीन ट्रेपेज़ॉइड के गुणों को नीचे सूचीबद्ध किया गया है, जिनमें से कई अन्य प्रकार के ट्रैपेज़ॉइड तक विस्तारित हैं। निम्नलिखित में से, जब "ट्रेपेज़ॉइड" की बात की जाती है, तो संपत्ति किसी भी प्रकार पर लागू होगी, जिसमें स्केलीन भी शामिल है।

1. ट्रेपोज़ॉइड का मध्य, अर्थात, वह खंड जो अपने गैर-समानांतर पक्षों के मध्य बिंदु से जुड़ता है, किसी भी आधार के समानांतर है।

२.- एक ट्रेपोज़ॉइड के मध्य में एक लंबाई होती है जो कि उसके ठिकानों का अर्धव्यास है और मध्य बिंदु पर इसके विकर्णों को काटता है।

3.- एक समलम्बाकार तिरछे बिंदु के तिरछे बिंदु जो उन्हें दो वर्गों में विभाजित करते हैं जो कि आधारों के भाग के समानुपाती होते हैं।

4.- एक चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग इसके पक्षों के वर्गों के योग के बराबर है और इसके आधारों का दोहरा उत्पाद है।

5.- विकर्णों के मध्यबिंदुओं में शामिल होने वाले खंड में आधारों के आधे अंतर के बराबर लंबाई होती है।

6.- पार्श्व वाले समीप के कोण पूरक हैं।

7.- एक स्केलीन ट्रेपोजॉइड में, इसके विकर्णों की लंबाई अलग-अलग होती है।

8.- एक ट्रैपेज़ॉइड में एक खुदा हुआ परिधि होती है, यदि उसके आधारों का योग उसके पक्षों के योग के बराबर हो।

9.- यदि किसी समलम्ब के पास एक उत्कीर्ण परिधि है, तो उक्त परिधि के केंद्र में शीर्ष के साथ कोण और भुजाओं के किनारे से होकर गुजरने वाले पक्ष सीधे होते हैं।

10.- एक स्केलीन ट्रेपेज़ॉइड में एक परिवृत्त परिधि नहीं होती है, एकमात्र प्रकार का ट्रैपेज़ॉइड है जो समद्विबाहु करता है।

सूत्र और समीकरण

स्केलीन ट्रेपेज़ॉइड के निम्नलिखित संबंधों को निम्न आकृति के लिए संदर्भित किया जाता है।

1.- यदि AE = ED और BF = FC → EF - AB और EF - DC।

2.- EF = (AB + DC) / 2 वह है: m = (a + c) / 2।

3. डि = आईबी = घ ₁ /2 और एजी = जीसी = घ ₂ /2।

4.- डीजे / जेबी = (सी / ए) इसी तरह सीजे / जेए = (सी / ए)।

चित्रा 3. एक स्केलीन ट्रेपेज़ॉइड का मध्यिका और विकर्ण। स्रोत: एफ। ज़पाटा

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB। DC

इसके तुल्य:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a 2 c

6.- जीआई = (एबी - डीसी) / 2

यानी:

n = (ए - सी) / 2

7.- α + δ = 180⁰ और γ + ⁰ = 180δ

8.- यदि α ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ 1 तो d1 d2।

9.- चित्रा 4 में एक स्केलीन ट्रेपोजॉइड है जो एक खुदा हुआ परिधि है, इस मामले में यह सच है कि:

ए + सी = डी + बी

10.- केंद्र O की एक परिधि के साथ एक स्केलीन ट्रेपोज़ॉइड ABCD में, निम्नलिखित भी सत्य है:

⁰AOD = OCBOC = 90∡

चित्रा 4. यदि एक ट्रेपोज़ॉइड में यह सत्यापित किया जाता है कि इसके आधारों का योग पार्श्व लोगों के योग के बराबर है, तो इसमें परिधि अंकित है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

ऊंचाई

एक ट्रेपोजॉइड की ऊंचाई को उस खंड के रूप में परिभाषित किया जाता है जो आधार के एक बिंदु से लंबवत रूप से विपरीत आधार (या इसके विस्तार) तक जाता है।

ट्रेपेज़ॉइड की सभी ऊंचाइयों में एक ही माप h है, इसलिए अधिकांश समय शब्द की ऊँचाई उसके माप को संदर्भित करती है। संक्षेप में, ऊंचाई आधारों के बीच की दूरी या अलगाव है।

ऊँचाई h को एक तरफ की लंबाई और किनारे से सटे कोणों में से एक के द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

एच = डी सेन (α) = डी सेन (=) = बी सेन (=) = बी सेन (δ)

मंझला

ट्रेपोज़ॉइड के माध्यिका का माप आधारों का अर्ध-योग है:

m = (a + b) / २

विकर्णों

डी ₁ = √

d ₂ = √

इसकी भी गणना की जा सकती है यदि केवल समलम्बाकार भुजा की लंबाई ज्ञात हो:

डी ₁ = √

d ₂ = √

परिमाप

परिधि समोच्च की कुल लंबाई है, अर्थात्, इसके सभी पक्षों का योग:

पी = ए + बी + सी + डी

क्षेत्र

एक ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र इसकी ऊंचाई से गुणा किए गए आधारों का अर्धव्यास है:

ए = एच ∙ (ए + बी) / २

यह भी गणना की जा सकती है यदि माध्यिका m ज्ञात हो और ऊँचाई h:

ए = एम ∙ एच

केवल ट्रेपेज़ॉइड के पक्षों की लंबाई ज्ञात होने पर, क्षेत्र को ट्रैपोज़ॉइड के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है:

ए = √ √

एस कहाँ है, सेमीपाइमीटर: s = (a + b + c + d) / 2।

स्केलीन ट्रेपेज़ियम के लिए अन्य अनुपात

विकर्णों के साथ माध्यिका का प्रतिच्छेदन और विकर्णों के चौराहे से गुजरने वाले समानांतर अन्य रिश्तों को जन्म देते हैं।

चित्रा 5. स्केलीन ट्रेपेज़ियम के लिए अन्य संबंध। स्रोत: एफ। ज़पाटा

मंझला ईएफ के लिए -Relationships

ईएफ = (ए + सी) / 2; जैसे = आईएफ = सी / २; ईआई = जीएफ = ए / २

- केल के समानांतर खंड के लिए -Relationships, और विकर्णों के चौराहे बिंदु जे के माध्यम से गुजर रहा है

यदि KL - AB - DC के साथ J, KL, तो KJ = JL = (a AB c) / (a ​​+ c)

शासक और कम्पास के साथ स्केलीन ट्रेपोजॉइड का निर्माण

ए और सी की लंबाई के आधार को देखते हुए, जहां ए> लंबाई और बी के घ के साथ एक साइबर, जहां बी> डी, इन चरणों का पालन करके आगे बढ़ें (आंकड़ा 6 देखें):

1.- नियम से प्रमुख AB का खंड खींचा जाता है।

2.- ए से और एबी मार्क पॉइंट पी से ताकि एपी = सी।

3.- P और त्रिज्या d में केंद्र के साथ कम्पास के साथ एक चाप खींचा गया है।

4.- एक बी को त्रिज्या बी के साथ एक चाप बनाया जाता है जो पिछले चरण में खींची गई चाप को काटता है। हम क्यू को प्रतिच्छेदन बिंदु कहते हैं।

चित्रा 6. एक स्केलीन ट्रेपोजॉइड का निर्माण इसके पक्षों को दिया। स्रोत: एफ। ज़पाटा

5.- A पर केंद्र के साथ, त्रिज्या d का एक चाप बनाएं।

6.- क्यू में केंद्र के साथ, त्रिज्या सी का एक चाप खींचना जो पिछले चरण में खींचे गए चाप को स्वीकार करता है। कट-ऑफ पॉइंट को R कहा जाएगा।

7.- सेगमेंट BQ, QR और RA शासक के साथ बनाए गए हैं।

8.- चतुर्भुज ABQR एक स्केल ट्रेपेज़ॉइड है, क्योंकि APQR एक समांतर चतुर्भुज है, जो कि AB - QR की गारंटी देता है।

उदाहरण

सेमी, 7, 3, 4 और 6 में निम्नलिखित लंबाई दी गई है।

a) यह निर्धारित करें कि उनके साथ एक स्केलीन ट्रेपोजॉइड का निर्माण संभव है जो एक वृत्त की परिक्रमा कर सकता है।

b) परिधि, क्षेत्रफल, विकर्णों की लंबाई और उक्त आघात की ऊँचाई, साथ ही उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

- का हल

आधार के रूप में लंबाई 7 और 3 के खंडों और पक्षों के रूप में लंबाई 4 और 6 का उपयोग करते हुए, पिछले अनुभाग में वर्णित प्रक्रिया का उपयोग करके एक स्केलीन ट्रेपोजॉइड का निर्माण किया जा सकता है।

यह जाँचने के लिए रहता है कि क्या यह एक उत्कीर्ण परिधि है, लेकिन संपत्ति को याद रखना (9):

हम देखते हैं कि प्रभावी ढंग से:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

फिर उत्कीर्ण परिधि के अस्तित्व की स्थिति संतुष्ट है।

- समाधान बी

परिमाप

परिधि पी पक्षों को जोड़कर प्राप्त की जाती है। चूंकि कुर्सियां ​​10 तक और पार्श्व वाले भी जोड़ते हैं, परिधि यह है:

पी = 20 सेमी

क्षेत्र

इस क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए, केवल इसके पक्षों को जाना जाता है, रिश्ते को लागू किया जाता है:

ए = √ √

एसपीपरिमीटर कहां है:

s = (a + b + c + d) / 2।

हमारे मामले में, सेमीपाइमीटर का मूल्य = 10 सेमी है। संबंधित मानों को प्रतिस्थापित करने के बाद:

ए = 7 सेमी; बी = 6 सेमी; सी = 3 सेमी; डी = 4 सेमी

बाकी है:

ए = √ = (5/2) (63 = 19.84 सेमी (।

ऊंचाई

ऊंचाई एच निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा क्षेत्र ए से संबंधित है:

A = (a + c) / h / 2, जिससे ऊँचाई को साफ़ करके प्राप्त किया जा सकता है:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19.84 / 10 = 3.988 सेमी।

उत्कीर्ण वृत्त का त्रिज्या

उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या आधी ऊँचाई के बराबर है:

r = h / 2 = 1,984 सेमी

विकर्णों

अंत में हम विकर्णों की लंबाई पाते हैं:

डी ₁ = √

d ₂ = √

हमारे पास मौजूद मानों को सही ढंग से प्रतिस्थापित करना:

d ₁ = ₇ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = ₇ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

वह है: d ₁ = 4.69 cm और d ₂ = 8.49 cm

चित्रा 7. स्कैलीन ट्रेपेज़ॉइड जो एक उत्कीर्ण परिधि के अस्तित्व की स्थिति को पूरा करता है। स्रोत: एफ। ज़पाटा

व्यायाम हल किया

आधार एबी = 7 =, सीडी = सी = 3 और पार्श्व कोणों बीसी = बी = 6, डीए = डी = 4 के साथ ट्रेपेज़ॉइड के आंतरिक कोणों को निर्धारित करें।

उपाय

कोणों को निर्धारित करने के लिए कोसाइन प्रमेय लागू किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कोण ∠A = α को ABD = a = 7, BD = d2 = 8.49, और DA = d = 4 के साथ त्रिभुज ABD से निर्धारित किया जाता है।

इस त्रिभुज पर लगाया गया कोसाइन प्रमेय इस तरह दिखता है:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 2 a ∙ d Cos (α), जो है:

72 = 49 + 16-56 (कॉस (α)।

के लिए हल, कोण α का कोसाइन प्राप्त किया जाता है:

कॉस (α) = -1/8

अर्थात्, α = आर्कोस (-1/8) = 97.18 =।

अन्य कोणों को उसी तरह से प्राप्त किया जाता है, जैसा कि उनके मूल्य हैं:

⁰ = 41.41⁰; γ = 138.59⁰ और अंत में γ = 82.82⁰।

संदर्भ

1. सीईए (2003)। ज्यामिति तत्व: व्यायाम और कम्पास ज्यामिति के साथ। मेडेलिन विश्वविद्यालय।
2. कैम्पोस, एफ।, सेरकेडो, एफजे (2014)। गणित 2. ग्रुपो संपादकीय पटेरिया।
3. फ्रीड, के। (2007)। पॉलीगॉन की खोज करें। बेंचमार्क एजुकेशन कंपनी।
4. हेंड्रिक, वी। (2013)। सामान्यीकृत बहुभुज। Birkhäuser।
5. आइगर। (एस एफ)। गणित प्रथम सेमेस्टर टाकाना। आइगर।
6. जूनियर ज्यामिति। (2014)। बहुभुज। लुलु प्रेस, इंक।
7. मिलर, हीरन, और हॉर्स्बी। (2006)। गणित: तर्क और अनुप्रयोग (दसवां संस्करण)। पियर्सन शिक्षा।
8. पातिनो, एम। (2006)। गणित 5. संपादकीय प्रोग्रेसो।
9. विकिपीडिया। ट्रापेज़। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.com