राइट ट्रेपेज़ॉइड: गुण, संबंध और सूत्र, उदाहरण - गणित - 2025

एक दाहिना भाग चार भुजाओं वाला एक सपाट आकृति है, जैसे कि उनमें से दो एक दूसरे के समानांतर होते हैं, जिन्हें आधार कहा जाता है और अन्य पक्षों में से एक आधार भी लंबवत है।

इस कारण से, आंतरिक कोणों में से दो सही हैं, अर्थात, वे 90 of मापते हैं। इसलिए "आयत" नाम जो आकृति को दिया गया है। एक सही ट्रेपेज़ॉइड की निम्न छवि इन विशेषताओं को स्पष्ट करती है:

ट्रेपोजॉइड तत्व

ट्रेपोजॉइड के तत्व हैं:

-Bases

-Vertices

-ऊंचाई

-आंतरिक कोण

-मॉडल बेस

-Diagonals

हम इन तत्वों की संख्या 1 और 2 की मदद से विस्तार करने जा रहे हैं:

चित्रा 1. एक सही ट्रेपोज़ॉइड, जिसमें दो 90 ang आंतरिक कोण होते हैं: ए और बी स्रोत: एफ। ज़पाटा।

दाहिनी ओर के भाग को निचले अक्षरों a, b, c और d द्वारा निरूपित किया जाता है। आकृति या कोने के कोने बड़े अक्षरों में दर्शाए गए हैं। अंत में ग्रीक अक्षरों में आंतरिक कोण व्यक्त किए जाते हैं।

परिभाषा के अनुसार, इस ट्रेपोज़ॉइड के आधार एक तरफ और बी हैं, जो कि मनाया जाता है समानांतर हैं और अलग-अलग लंबाई भी हैं।

दोनों आधारों के लिए लंबवत पक्ष बाईं ओर सी है, जो कि ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई एच है। और अंत में, साइड डी होता है, जो साइड ए के साथ तीव्र कोण α बनाता है।

चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग 360 ang है। यह देखना आसान है कि आंकड़े में लापता कोण सी 180 - α है।

मंझला आधार गैर-समानांतर पक्षों के मध्यबिंदु (चित्र 2 में खंड EF) से जुड़ने वाला खंड है।

चित्रा 2. सही ट्रेपोजॉइड के तत्व। स्रोत: एफ। ज़पाटा

और अंत में, विकर्ण डी ₁ और डी _{2 हैं}, खंड जो विपरीत कोने में जुड़ते हैं और बिंदु O पर अंतर करते हैं (चित्र 2 देखें)।

रिश्ते और सूत्र

ट्रेपेज़ॉइड ऊंचाई h

परिधि P

यह समोच्च का माप है और पक्षों को जोड़कर गणना की जाती है:

साइड डी को पाइथागोरस प्रमेय द्वारा ऊंचाई या साइड सी के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है:

परिधि में प्रतिस्थापित:

मध्य का आधार

यह आधारों का अर्ध-योग है:

कभी-कभी माध्य आधार इस तरह व्यक्त किया जाता है:

क्षेत्र

समलम्बाकार क्षेत्र A ऊँचाई के औसत आधार समय का गुणनफल है:

विकर्ण, पक्ष और कोण

चित्रा 2 में कई त्रिकोण दिखाई देते हैं, दोनों सही और गैर-सही। पाइथागोरस प्रमेय उन लोगों के लिए लागू किया जा सकता है जो सही त्रिकोण हैं और उन लोगों के लिए जो कोसाइन और साइन प्रमेय नहीं हैं।

इस तरह से संबंधों को पक्षों के बीच और ट्रेपेज़ॉइड के आंतरिक कोणों के बीच पाया जाता है।

सीपीए त्रिकोण

यह एक आयत है, इसके पैर बराबर हैं और बी के लायक हैं, जबकि कर्ण विकर्ण d _{1 है}, इसलिए:

DAB त्रिकोण

यह एक आयत भी है, पैर a और c (या ayh) हैं और कर्ण d _{2 है}, इसलिए:

सीडीए त्रिकोण

चूँकि यह त्रिभुज एक सही त्रिभुज नहीं है, इस पर कोसाइन प्रमेय लागू होता है या साइन प्रमेय भी होता है।

कोसाइन प्रमेय के अनुसार:

सीडीपी त्रिकोण

यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है और इसके किनारों के साथ कोण α के त्रिकोणमितीय अनुपात निर्मित होते हैं:

लेकिन साइड पीडी = ए - बी, इसलिए:

आपके पास भी है:

सीबीडी त्रिकोण

इस त्रिकोण में हमारे पास कोण है जिसका शीर्ष C. पर है। यह आकृति में चिह्नित नहीं है, लेकिन शुरुआत में यह हाइलाइट किया गया था कि यह 180 - α है। यह त्रिभुज एक सही त्रिभुज नहीं है, इसलिए कोसाइन प्रमेय या साइन प्रमेय को लागू किया जा सकता है।

अब, यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि:

कोसाइन प्रमेय लागू करना:

सही ट्रेपोज़ोइड्स के उदाहरण

ट्रेपेज़ोइड्स और विशेष रूप से सही ट्रेपोज़ोइड्स कई पक्षों पर पाए जाते हैं, और कभी-कभी हमेशा मूर्त रूप में नहीं होते हैं। यहाँ हमारे पास कई उदाहरण हैं:

एक डिजाइन तत्व के रूप में ट्रेपोज़ॉइड

न्यूयॉर्क में इस चर्च जैसे कई भवनों की वास्तुकला में ज्यामितीय आंकड़े लाजिमी हैं, जो एक आयताकार ट्रेपोज़ॉइड के आकार में एक संरचना को दर्शाता है।

इसी तरह, ट्रेपोज़ाइडल आकार कंटेनर, कंटेनर, ब्लेड (कटर या सटीक), प्लेट्स और ग्राफिक डिजाइन में अक्सर होता है।

चित्रा 3. न्यूयॉर्क के एक चर्च में एक आयत के अंदर एंजेल। स्रोत: फ़्लिकर के माध्यम से डेविड गोह्रिंग

ट्रेपेज़ॉइडल तरंग जनरेटर

विद्युत संकेत न केवल वर्ग, साइनसोइडल या त्रिकोणीय हो सकते हैं। ट्रैपेज़ॉइडल सिग्नल भी हैं जो कई सर्किट में उपयोगी हैं। चित्रा 4 में एक ट्रैपेज़ॉइडल सिग्नल है जो दो दाएं ट्रेपेज़ोइड्स से बना है। उनके बीच वे एकल समद्विबाहु समलम्बाकार बनाते हैं।

चित्रा 4. एक ट्रेपोजॉइडल संकेत। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

संख्यात्मक गणना में

संख्यात्मक रूप में गणना करने के लिए a और b के बीच फ़ंक्शन f (x) का निश्चित अभिन्न अंग, trapezoid नियम का उपयोग f (x) के ग्राफ के तहत क्षेत्र को अनुमानित करने के लिए किया जाता है। निम्नलिखित आकृति में, बाईं ओर अभिन्न एकल दाएं ट्रेपोजॉइड के साथ लगाया गया है।

एक बेहतर सन्निकटन सही आकृति में एक है, जिसमें कई दायें ट्रेपोज़ोइड हैं।

चित्रा 5. ए और बी के बीच एक निश्चित अभिन्न इन मूल्यों के बीच वक्र एफ (एक्स) के तहत क्षेत्र के अलावा कुछ भी नहीं है। एक सही ट्रेपोज़ॉइड ऐसे क्षेत्र के लिए पहले सन्निकटन के रूप में काम कर सकता है, लेकिन जितना अधिक ट्रेपोज़ोइड का उपयोग किया जाता है, उतना बेहतर सन्निकटन होता है। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

ट्रेपोजॉइडल भार के साथ बीम

बल हमेशा एक बिंदु पर केंद्रित नहीं होते हैं, क्योंकि जिन निकायों पर वे कार्य करते हैं, वे प्रशंसनीय आयाम हैं। ऐसे पुल का मामला है, जिस पर वाहन लगातार घूमते हैं, उसी की ऊर्ध्वाधर दीवारों पर एक स्विमिंग पूल का पानी या एक छत जिस पर पानी या बर्फ जमा होता है।

इस कारण से, बलों को प्रति इकाई लंबाई, सतह क्षेत्र या मात्रा के आधार पर वितरित किया जाता है, जिस पर वे कार्य करते हैं।

एक बीम के मामले में, प्रति यूनिट लंबाई पर वितरित बल में विभिन्न वितरण हो सकते हैं, उदाहरण के लिए नीचे दिखाए गए सही ट्रेपोजॉइड:

चित्रा 6. एक बीम पर भार। स्रोत: बेडफोर्ड, ए 1996। स्टेटिक। एडिसन वेस्ले इंटरमेरिकाना।

वास्तव में, वितरण हमेशा इस तरह की नियमित ज्यामितीय आकृतियों के अनुरूप नहीं होते हैं, लेकिन वे कई मामलों में एक अच्छा सन्निकटन हो सकते हैं।

एक शैक्षिक और सीखने के उपकरण के रूप में

ट्रेमीज़ोइड सहित ज्यामितीय आकार के ब्लॉक और चित्र, बच्चों को कम उम्र से ज्यामिति की आकर्षक दुनिया से परिचित कराने में बहुत सहायक होते हैं।

चित्रा 7. सरल ज्यामितीय आकृतियों के साथ ब्लॉक। ब्लॉक में कितने सही ट्रेपोज़ोज़ छिपे हुए हैं? स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

हल किया अभ्यास

- अभ्यास 1

आकृति 1 में दाएं ट्रेपोजॉइड में, बड़ा आधार 50 सेमी और छोटा आधार 30 सेमी के बराबर है, यह भी ज्ञात है कि तिरछा पक्ष 35 सेमी है। खोजें:

ए) कोण α

बी) ऊंचाई

c) परिधि

d) औसत आधार

ई) क्षेत्र

च) विकर्ण

का हल

कथन डेटा को निम्नानुसार संक्षेप में प्रस्तुत किया गया है:

एक = बड़ा आधार = 50 सेमी

बी = छोटा आधार = 30 सेमी

डी = तिरछा पक्ष = 35 सेमी

कोण α को खोजने के लिए हम सूत्र और समीकरण खंड पर जाते हैं, यह देखने के लिए कि वह कौन सा है जो प्रदान किए गए डेटा के लिए सबसे उपयुक्त है। मांगे गए कोण कई विश्लेषण किए गए त्रिकोणों में पाए जाते हैं, उदाहरण के लिए सीडीपी।

वहां हमारे पास यह सूत्र है, जिसमें अज्ञात और वह डेटा भी है जो हम जानते हैं:

इस प्रकार:

यह एच को साफ करता है:

d ₁ ² = 2 x (30 सेमी) ² = 1800 सेमी ²

डी ₁ = 11800 सेमी ² = 42.42 सेमी

और विकर्ण डी _{2 के लिए}:

संदर्भ

1. बाल्डोर, ए। 2004. त्रिकोणमिति के साथ विमान और अंतरिक्ष ज्यामिति। सांस्कृतिक प्रकाशन।
2. बेडफोर्ड, ए। 1996. स्टैटिक्स। एडिसन वेस्ले इंटरमेरिकाना।
3. जूनियर ज्यामिति। 2014. बहुभुज। लुलु प्रेस, इंक।
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5. स्वचालित ज्यामिति समस्या हल करना। फंदा। से पुनर्प्राप्त: scuolaelettrica.it
6. विकिपीडिया। ट्रेपेज़ॉइड (ज्यामिति)। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.org।