भौतिकी में प्रक्षेपवक्र: विशेषताओं, प्रकार, उदाहरण और अभ्यास - शारीरिक - 2025

भौतिक विज्ञान में प्रक्षेपवक्र की अवस्था है कि एक मोबाइल का वर्णन करता है क्योंकि वह अपने आंदोलन के दौरान लगातार अंक के माध्यम से गुजरता है। चूंकि यह कई वेरिएंट ले सकता है, इसलिए मोबाइल के बाद आने वाले प्रक्षेपवक्र भी।

एक जगह से दूसरी जगह जाने के लिए, एक व्यक्ति अलग-अलग रास्ते और अलग-अलग रास्ते ले सकता है: सड़कों और रास्ते में फुटपाथों के माध्यम से पैदल, या एक राजमार्ग पर कार या मोटरसाइकिल से पहुंच सकता है। जंगल के माध्यम से टहलने के दौरान, पैदल यात्री एक जटिल पथ का अनुसरण कर सकता है, जिसमें मोड़, ऊपर या नीचे स्तर और यहां तक ​​कि एक ही बिंदु से कई बार गुजरना शामिल है।

चित्र 1. प्रत्येक स्थिति के अंतिम बिंदुओं को एकजुट करते हुए कण द्वारा पीछा किया गया पथ प्राप्त होता है। स्रोत: अल्गारबिया

जिन बिंदुओं के माध्यम से मोबाइल यात्रा कर रहा है वे एक सीधी रेखा का अनुसरण करते हैं, प्रक्षेपवक्र ठीक हो जाएगा। यह सबसे सरल मार्ग है, क्योंकि यह एक आयामी है। स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए एक एकल समन्वय की आवश्यकता होती है।

लेकिन मोबाइल एक घुमावदार मार्ग का अनुसरण कर सकता है, जो बंद या खुला होने में सक्षम है। इन मामलों में, स्थिति को ट्रैक करने के लिए दो या तीन निर्देशांक की आवश्यकता होती है। ये क्रमशः विमान और अंतरिक्ष में होने वाली हलचलें हैं। यह लिंक के साथ करना है: आंदोलन की भौतिक स्थितियों को सीमित करना। कुछ उदाहरण निम्न हैं:

- सूर्य के चारों ओर ग्रहों का वर्णन करने वाली कक्षाएँ एक दीर्घवृत्त के आकार में बंद रास्ते हैं। हालाँकि, कुछ मामलों में, उन्हें एक परिपत्र के लिए अनुमानित किया जा सकता है, जैसा कि पृथ्वी के मामले में है।

- गोलकीपर को किक मारने वाली गेंद एक पैराबोलिक प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करती है।

- उड़ान में एक पक्षी अंतरिक्ष में घुंघराले प्रक्षेपवक्र का वर्णन करता है, क्योंकि एक विमान पर आगे बढ़ने के अलावा, यह इच्छा के स्तर पर ऊपर या नीचे जा सकता है।

भौतिकी में प्रक्षेपवक्र को गणितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है जब मोबाइल की स्थिति किसी भी समय पर जानी जाती है। चलो आर होना स्थिति वेक्टर, जो बारी में एक त्रि-आयामी गति के सबसे सामान्य स्थिति में एक्स, वाई और z निर्देशांक है। फ़ंक्शन आर (टी) को जानने के बाद प्रक्षेपवक्र पूरी तरह से निर्धारित किया जाएगा।

प्रकार

सामान्य शब्दों में, प्रक्षेपवक्र एक बल्कि जटिल वक्र हो सकता है, खासकर यदि आप इसे गणितीय रूप से व्यक्त करना चाहते हैं। इस कारण से, यह सबसे सरल मॉडल के साथ शुरू होता है, जहां मोबाइल फोन एक सीधी रेखा या एक विमान पर यात्रा करते हैं, जो फर्श या किसी अन्य उपयुक्त हो सकता है:

एक, दो और तीन आयामों में आंदोलन

सबसे अधिक अध्ययन किए गए प्रक्षेपवक्र हैं:

- रेक्टिलिनियर, जब एक सीधी क्षैतिज, ऊर्ध्वाधर या झुकाव रेखा पर यात्रा करते हैं। एक गेंद को ऊपर की ओर ऊपर की ओर फेंका गया गोला इस रास्ते पर चलता है, या एक वस्तु जो नीचे की ओर खिसकता है। वे एक-आयामी आंदोलन हैं, एक एकल समन्वय पूरी तरह से उनकी स्थिति का निर्धारण करने के लिए पर्याप्त है।

- परवलयिक, जिसमें मोबाइल एक पैराबोला चाप का वर्णन करता है। यह अक्सर होता है, क्योंकि गुरुत्वाकर्षण (एक प्रक्षेप्य) की कार्रवाई के तहत किसी भी वस्तु को स्पष्ट रूप से फेंक दिया जाता है। मोबाइल की स्थिति निर्दिष्ट करने के लिए आपको दो निर्देशांक देने होंगे: x और y।

- वृत्ताकार, तब होता है जब गतिमान कण एक चक्र का अनुसरण करता है। यह प्रकृति और दैनिक व्यवहार में भी आम है। कई रोजमर्रा की वस्तुएं कुछ उदाहरण देने के लिए टायर, मशीनरी भागों और परिक्रमा उपग्रहों जैसे एक परिपत्र पथ का अनुसरण करती हैं।

- अण्डाकार, वस्तु एक दीर्घवृत्त का अनुसरण करती है। जैसा कि शुरुआत में कहा गया था, यह सूर्य के चारों ओर कक्षा में ग्रहों द्वारा पीछा किया जाने वाला मार्ग है।

- एक केंद्रीय बल (गुरुत्वाकर्षण) की कार्रवाई के तहत हाइपरबोलिक, खगोलीय पिंड, दीर्घवृत्तीय (बंद) या हाइपरबोलिक (खुले) प्रक्षेपवक्र का अनुसरण कर सकते हैं, ये पूर्व की तुलना में कम होते हैं।

- तापीय धारा में चढ़ते हुए पक्षी की तरह पेचदार, या सर्पिल आंदोलन।

- स्वे या पेंडुलम, मोबाइल आगे और पीछे के आंदोलनों में एक चाप का वर्णन करता है।

उदाहरण

पिछले खंड में वर्णित प्रक्षेपवक्र किसी वस्तु को कैसे स्थानांतरित कर रहे हैं, इसका तुरंत पता लगाने के लिए बहुत उपयोगी हैं। किसी भी मामले में, यह स्पष्ट करना आवश्यक है कि मोबाइल का प्रक्षेपवक्र पर्यवेक्षक के स्थान पर निर्भर करता है। इसका मतलब है कि एक ही घटना को अलग-अलग तरीकों से देखा जा सकता है, यह निर्भर करता है कि प्रत्येक व्यक्ति कहां है।

उदाहरण के लिए, एक लड़की निरंतर गति से पैडल करती है और एक गेंद को ऊपर की ओर फेंकती है। वह देखती है कि गेंद एक सुव्यवस्थित मार्ग का वर्णन करती है।

हालांकि, सड़क पर खड़े एक पर्यवेक्षक के लिए जो इसे देखता है, गेंद के पास एक परवलयिक आंदोलन होगा। उसके लिए, गेंद को शुरू में एक झुकी हुई गति के साथ फेंका गया था, जिसके परिणामस्वरूप लड़की के हाथ की गति और साइकिल की गति अधिक थी।

चित्रा 2. यह एनीमेशन एक साइकिल की सवारी करने वाली लड़की द्वारा बनाई गई गेंद के ऊर्ध्वाधर फेंक को दिखाता है, क्योंकि वह इसे (रेक्टिलाइनियर प्रक्षेपवक्र) देखती है और पर्यवेक्षक के रूप में इसे (परवलयिक प्रक्षेपवक्र) देखती है। (एफ। जैपाटा द्वारा तैयार)।

स्पष्ट, अंतर्निहित और पैरामीट्रिक तरीके से मोबाइल का पथ

- समीकरण y द्वारा दिए गए वक्र या लोको को स्पष्ट करना, स्पष्ट करना (x)

- निहित, जिसमें एक वक्र को f (x, y, z) = 0 के रूप में व्यक्त किया जाता है

- पैरामीट्रिक, इस तरह से निर्देशांक x, y और z को एक पैरामीटर के एक फ़ंक्शन के रूप में दिया जाता है, जिसे सामान्य रूप से, टाइम टी के रूप में चुना जाता है। इस मामले में, प्रक्षेपवक्र कार्यों से बना है: x (t), y (t) और z (t)।

इसके बाद, किनेमेटीक्स में व्यापक रूप से अध्ययन किए गए दो प्रक्षेपवक्र विस्तृत हैं: परवलयिक प्रक्षेपवक्र और गोलाकार प्रक्षेपवक्र।

शून्य में झुका हुआ प्रक्षेपण

किसी ऑब्जेक्ट (प्रक्षेप्य) को क्षैतिज और प्रारंभिक वेग v _{o के} साथ कोण पर फेंका जाता है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। वायु प्रतिरोध को ध्यान में नहीं रखा जाता है। आंदोलन को दो स्वतंत्र और एक साथ आंदोलनों के रूप में माना जा सकता है: एक क्षैतिज गति के साथ और दूसरा ऊर्ध्वाधर गुरुत्वाकर्षण की कार्रवाई के तहत।

ये समीकरण प्रक्षेप्य प्रक्षेपण के पैरामीट्रिक समीकरण हैं। जैसा कि ऊपर बताया गया है, उनके पास एक सामान्य पैरामीटर टी है, जो समय है।

निम्नलिखित आंकड़ा में सही त्रिकोण में देखा जा सकता है:

चित्रा 3. एक प्रक्षेप्य द्वारा परवलयिक प्रक्षेपवक्र, जिसमें वेग वेक्टर के घटकों को दिखाया गया है। H अधिकतम ऊंचाई है और R अधिकतम क्षैतिज पहुंच है। स्रोत: आयुष 12 गुप्ता

पैरामीट्रिक समीकरण परिणामों में लॉन्च कोण वाले इन समीकरणों को प्रतिस्थापित करना:

पैराबोलिक पथ का समीकरण

पथ का स्पष्ट समीकरण x (t) के लिए समीकरण से t हल करके और y (t) के लिए समीकरण में प्रतिस्थापित करके पाया जाता है। बीजीय कार्य को सुविधाजनक बनाने के लिए, यह माना जा सकता है कि उत्पत्ति (0,0) प्रक्षेपण बिंदु पर स्थित है और इस प्रकार x _o = y _o = 0 है।

यह स्पष्ट रूप में पथ का समीकरण है।

वृत्ताकार पथ

इसके द्वारा एक गोलाकार रास्ता दिया गया है:

चित्रा 4. एक कण विमान पर एक गोलाकार रास्ते में चलता है। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स से एफ। जैपटा द्वारा संशोधित।

यहाँ x _या yy _o मोबाइल द्वारा वर्णित परिधि के केंद्र का प्रतिनिधित्व करता है और R इसका त्रिज्या है। P (x, y) पथ का एक बिंदु है। छायांकित सही त्रिभुज (आकृति 3) से यह देखा जा सकता है कि:

पैरामीटर, इस मामले में, स्वेप्ट कोण called है, जिसे कोणीय विस्थापन कहा जाता है। विशेष मामले में कि कोणीय वेग particular (कोण प्रति इकाई समय बह) स्थिर है, यह कहा जा सकता है कि:

जहां particle _o कण का प्रारंभिक कोणीय स्थान है, जिसे यदि 0 के रूप में लिया जाता है, तो यह निम्न हो जाता है:

इस तरह के मामले में, समय पैरामीट्रिक समीकरणों पर लौटता है:

यूनिट वैक्टर i और j किसी ऑब्जेक्ट r (t) की स्थिति फ़ंक्शन लिखने के लिए बहुत सुविधाजनक हैं । वे क्रमशः x- अक्ष पर और y- अक्ष पर दिशाओं का संकेत देते हैं। इसकी शर्तों में, एक कण की स्थिति जो एक समान परिपत्र गति का वर्णन करती है:

r (t) = R.cos i t i + R. sin। t j

हल किया अभ्यास

हल किया हुआ व्यायाम 1

एक तोप 200 मीटर / एस के वेग और क्षैतिज के संबंध में 40 respect के कोण के साथ एक गोली फायर कर सकती है। यदि फेंक समतल जमीन पर है और हवा का प्रतिरोध उपेक्षित है, तो खोजें:

a) पथ y (x) का समीकरण ।।

b) पैरामीट्रिक समीकरण x (t) और y (t)।

c) क्षैतिज श्रेणी और प्रक्षेप्य समय हवा में रहता है।

d) वह ऊँचाई जिस पर प्रक्षेप्य होता है जब x = 12,000 मी

का हल)

ए) प्रक्षेपवक्र को खोजने के लिए, पिछले अनुभाग के समीकरण y (x) में दिए गए मान प्रतिस्थापित किए गए हैं:

समाधान बी)

ख) प्रक्षेपण बिंदु को समन्वय प्रणाली के मूल में चुना गया है (0,0):

समाधान c)

c) यह पता लगाने के लिए कि प्रक्षेप्य हवा में रहता है, y (t) = 0, जहां प्रक्षेपण समतल जगह पर बना है:

X (t) में इस मान को प्रतिस्थापित करके अधिकतम क्षैतिज पहुंच पाई जाती है:

पथ के समीकरण में y = 0 सेट करके सीधे x _{अधिकतम} खोजने का एक और तरीका है:

दशमलव के गोलाई के कारण एक छोटा सा अंतर है।

समाधान d)

d) x = 12000 मीटर होने पर ऊँचाई का पता लगाने के लिए, इस मान को सीधे पथ के समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है:

व्यायाम 2 हल

किसी वस्तु का स्थान कार्य किसके द्वारा दिया जाता है:

r (t) = 3t i + (4 -5t ²) j m

खोजें:

a) रास्ते के लिए समीकरण। क्या वक्र है?

b) प्रारंभिक स्थिति और स्थिति जब t = 2 s।

c) t = 2 s के बाद किया गया विस्थापन।

उपाय

क) स्थिति फ़ंक्शन को यूनिट वैक्टर i और j के संदर्भ में दिया गया है, जो क्रमशः x और y अक्षों में दिशा निर्धारित करते हैं, इसलिए:

पथ y (x) का समीकरण x को t (t) से हल करके और y (t) में प्रतिस्थापित करके पाया जाता है:

b) प्रारंभिक स्थिति है: r (2) = 4 j m; t = 2 s पर स्थिति r (2) = 6 i -16 j m है

ग) विस्थापन डी आर दो स्थिति वैक्टर का घटाव है:

व्यायाम 3 हल

पृथ्वी का त्रिज्या R = 6300 किमी है और यह ज्ञात है कि इसके अक्ष के चारों ओर घूमने की अवधि एक दिन है। खोजें:

क) पृथ्वी की सतह और उसके स्थिति कार्य पर एक बिंदु के प्रक्षेपवक्र का समीकरण।

b) उस बिंदु की गति और त्वरण।

का हल)

क) परिपत्र कक्षा में किसी भी बिंदु के लिए स्थिति समारोह है:

r (t) = R.cos i t i + R. sin। t j

हमारे पास पृथ्वी आर की त्रिज्या है, लेकिन कोणीय वेग नहीं है, हालांकि, यह अवधि से गणना की जा सकती है, यह जानते हुए कि परिपत्र गति के लिए यह कहना मान्य है:

आंदोलन की अवधि है: 1 दिन = 24 घंटे = 1440 मिनट = 86 400 सेकंड, इसलिए:

स्थिति समारोह में प्रतिस्थापित:

r (t) = R.cos i t i + R. sin = t j = 6300 (cos 0.000023148t i + sin 0.000023148t j) Km

पैरामीट्रिक रूप में पथ है:

समाधान बी)

बी) परिपत्र गति के लिए, एक बिंदु के रैखिक वेग v की परिमाण को इसके द्वारा कोणीय वेग से संबंधित है:

145.8 m / s की निरंतर गति के साथ एक गति होने के नाते, एक त्वरण है जो रोटेशन को बिंदु रखने के आरोप में, परिपत्र कक्षा के केंद्र की ओर इंगित करता है। यह _c पर दिया जाने वाला केन्द्रक त्वरण है:

संदर्भ

1. जियानकोली, डी। भौतिकी। (2006)। अनुप्रयोगों के साथ सिद्धांत। 6 ^वें अप्रेंटिस हॉल। 22-25।
2. किर्कपैट्रिक, एल। 2007. भौतिकी: दुनिया पर एक नज़र। 6 ^टा संपादन संक्षिप्त। सेनगेज लर्निंग। २३ - २ 27।
3. रेसनिक, आर। (1999)। शारीरिक। वॉल्यूम 1. स्पेनिश में तीसरा संस्करण। मेक्सिको। Compañía संपादकीय महाद्वीपीय SA de CV 21-22।
4. रेक्स, ए। (2011)। भौतिकी के मूल तत्व। पियर्सन। ३३ - ३६
5. सियर्स, ज़ेमानस्की। (2016)। आधुनिक भौतिकी के साथ विश्वविद्यालय भौतिकी। 14 ^वें । एड। वॉल्यूम १। ५० - ५३।
6. सेरवे, आर।, ज्वेट, जे (2008)। विज्ञान और इंजीनियरिंग के लिए भौतिकी। मात्रा 1. 7 ^मा । संस्करण। मेक्सिको। Cengage Learning संपादकों। 23-25।
7. सेरवे, आर।, वुल्ले, सी। (2011)। भौतिकी के मूल तत्व। 9 ^ना एड। सेंगेज लर्निंग। ४३ - ५५।
8. विल्सन, जे। (2011)। भौतिकी 10. पियर्सन शिक्षा। 133-149।