तीव्र त्रिभुज: विशेषताएँ और प्रकार - गणित - 2025

तीव्र त्रिकोण जिनकी तीन आंतरिक कोण न्यून कोण हैं; यही है, इन कोणों में से प्रत्येक का माप 90 डिग्री से कम है। कोई समकोण न होने से, हमारे पास यह है कि पाइथागोरस प्रमेय इस ज्यामितीय आकृति के लिए नहीं है।

इसलिए, यदि हम इसके किसी भी पक्ष या कोण के बारे में कुछ प्रकार की जानकारी रखना चाहते हैं, तो अन्य प्रमेयों का उपयोग करना आवश्यक है जो हमें उक्त डेटा तक पहुंचने की अनुमति देते हैं। हम जिन लोगों का उपयोग कर सकते हैं, वे हैं, प्रमेय और कोसाइन प्रमेय।

विशेषताएँ

इस ज्यामितीय आकृति में जो विशेषताएं हैं, उनमें से हम उन पर प्रकाश डाल सकते हैं जो त्रिकोण होने के साधारण तथ्य द्वारा दिए गए हैं। इनमें से हमारे पास हैं:

- त्रिभुज एक बहुभुज है जिसमें तीन भुजाएँ और तीन कोण होते हैं।

- इसके तीन आंतरिक कोणों का योग 180 ° के बराबर है।

- इसके दो पक्षों का योग हमेशा तीसरे से अधिक होता है।

एक उदाहरण के रूप में निम्नलिखित त्रिभुज ABC देखें। सामान्य तरीके से, हम इसके किनारों को एक लोअरकेस लेटर और इसके एंगल को कैपिटल लेटर के साथ पहचानते हैं, इस तरह से एक साइड और इसके विपरीत एंगल में एक ही अक्षर होता है।

पहले से दी गई विशेषताओं से, हम जानते हैं कि:

A + B + C = 180 °

a + b> c, a + c> b और b + c> a

मुख्य विशेषता जो इस प्रकार के त्रिकोण को बाकी हिस्सों से अलग करती है, जैसा कि हमने पहले ही उल्लेख किया है, इसके आंतरिक कोण तीव्र हैं; अर्थात्, इसके प्रत्येक कोण का माप 90 ° से कम है।

एक साथ त्रिभुज, एक साथ त्रिभुज त्रिभुज (जिनके कोण में उनके एक कोण का माप 90 ° से अधिक है), तिरछे त्रिभुजों के समुच्चय का हिस्सा हैं। यह सेट त्रिभुजों से बना है जो समकोण नहीं हैं।

जैसा कि तिरछे त्रिभुज भाग हैं, हमें तीव्र त्रिभुजों से संबंधित समस्याओं को हल करने में सक्षम होना चाहिए, हमें साइन प्रमेय और कोसाइन प्रमेय का उपयोग करना चाहिए।

साइन प्रमेय

साइन प्रमेय हमें बताता है कि इसके विपरीत कोण की साइन की ओर का अनुपात, त्रिभुज के तीन कोने द्वारा निर्मित वृत्त के त्रिज्या के दोगुने के बराबर है। यानी:

2r = / a sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

कोसाइन प्रमेय

दूसरी ओर, कोसाइन प्रमेय हमें किसी भी त्रिभुज ABC के लिए ये तीन समानताएँ देता है:

a ² = b ² + c ² -2bc * cos (A)

b ² = a ² + c ² -2ac * cos (B)

c ² = a ² + b ² -2ab * cos (C)

इन प्रमेयों को क्रमशः साइन लॉ और कॉशन लॉ के रूप में भी जाना जाता है।

एक और विशेषता जो हम तीव्र त्रिकोणों को दे सकते हैं, वह यह है कि इनमें से दो बराबर हैं यदि वे निम्नलिखित मानदंडों में से किसी से मिलते हैं:

- यदि उनके तीन पक्ष समान हैं।

- यदि उनका एक पक्ष और दो समान कोण एक दूसरे के हैं।

- यदि उनके दो समान पक्ष और कोण हैं।

प्रकार

तीव्र त्रिकोणों को उनके पक्षों के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है। ये हो सकते हैं:

समबाहु तीव्र त्रिभुज

वे तीव्र त्रिकोण हैं जिनके सभी पक्ष समान हैं और इसलिए, उनके सभी आंतरिक कोणों का मूल्य समान है, जो ए = बी = सी = 60 डिग्री है।

एक उदाहरण के रूप में, आइए निम्नलिखित त्रिभुज को लेते हैं, जिनकी भुजाएँ a, b और c का मान 4 है।

समद्विबाहु तीव्र त्रिकोण

इन त्रिभुजों में, तीव्र आंतरिक कोण होने के अलावा, उनके दो समान पक्षों और तीसरे होने की विशेषता है, जिसे आमतौर पर आधार के रूप में लिया जाता है, अलग।

इस प्रकार के त्रिभुजों का एक उदाहरण वह हो सकता है जिसका आधार 3 है और इसके अन्य दो पक्षों का मान 5 है। इन मापों के साथ, इसके विपरीत कोण समान भुजाओं के साथ 72.55 ° और विपरीत कोण के मान के साथ होंगे। आधार 34.9 ° होगा।

स्कैलीन तीव्र त्रिकोण

ये त्रिभुज हैं जो सभी के अलग-अलग पक्ष हैं। इसलिए, इसके सभी कोण, 90 ° से कम होने के अलावा, दो से दो से भिन्न होते हैं।

त्रिभुज DEF (जिसका माप d = 4, e = 5 और f = 6 है और इसके कोण D = 41.41 °, E = 55.79 ° और F = 82.8 ° हैं) एक तीव्र त्रिभुज का एक अच्छा उदाहरण है विषमभुज।

तीव्र त्रिकोणों का संकल्प

जैसा कि हमने पहले कहा, तीव्र त्रिभुजों से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए साइन और कोसाइन प्रमेय का उपयोग करना आवश्यक है।

उदाहरण 1

कोण A = 30 °, B = 70 ° और पक्ष a = 5cm वाले त्रिभुज ABC को देखते हुए, हम कोण C और भुजाओं b और c के मान को जानना चाहते हैं।

पहली चीज जो हम करते हैं वह इस तथ्य का उपयोग करता है कि त्रिकोण के आंतरिक कोणों का योग 180 ° है, ताकि C के मान को प्राप्त किया जा सके।

180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C

हम C साफ़ करते हैं और हमारे पास है:

C = 180 ° - 100 ° = 80 °

चूंकि हम पहले से ही तीन कोणों और एक पक्ष को जानते हैं, हम शेष पक्षों के मूल्य को निर्धारित करने के लिए साइन प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं। हमारे पास प्रमेय है:

a / sin (A) = b / sin (B) और a / sin (A) = c / (sin (C)

हम समीकरण से b को अलग करते हैं और हम साथ रह जाते हैं:

b = (a * sin (B)) / sin (A) 5 (5 * 0.940) / (0.5) sin 9.4

अब हमें केवल c के मान की गणना करने की आवश्यकता है। हम पिछले मामले की तरह ही आगे बढ़ते हैं:

c = (a * sin (C)) / sin (A) 5 (5 * 0.984) / (0.5) sin 9.84

इस प्रकार हम त्रिकोण के सभी डेटा प्राप्त करते हैं। जैसा कि हम देख सकते हैं, यह त्रिभुज स्केलीन तीव्र त्रिभुज की श्रेणी में आता है।

उदाहरण 2

पक्षों के साथ एक त्रिभुज DEF को देखते हुए d = 4cm, e = 5cm और f = 6cm, हम उक्त त्रिभुज के कोणों का मान जानना चाहते हैं।

इस मामले के लिए हम कॉशन कानून का उपयोग करेंगे, जो हमें बताता है कि:

डी ² = ई ² + एफ ² - ² एफकोस (डी)

इस समीकरण से हम cos (D) के लिए हल कर सकते हैं, जो हमें परिणाम के रूप में देता है:

कॉस (D) = ((4) ² - (5) ² - (6) ²) / (- 2 * 5 * 6 / = 2 = 75

इसलिए हमारे पास ≈ 41.41 ° है

अब सीनेम प्रमेय का उपयोग करते हुए हमारे पास निम्नलिखित समीकरण हैं:

d / (sin (D) = e / (sin (E))

पाप के लिए समाधान (ई), हमारे पास है:

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0.66) / 4 e 0.827

इसलिए हमारे पास E≈55.79 ° है

अंत में, त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180 ° है, जिसका उपयोग हमारे पास F.882.8 ° है।

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