समबाहु त्रिभुज: विशेषताएँ, गुण, सूत्र, क्षेत्र - गणित - 2025

एक समभुज त्रिभुज तीन भुजाओं वाला बहुभुज है, जहाँ वे सभी समान हैं; यह है, वे एक ही उपाय है। इस विशेषता के लिए इसे समबाहु (समान भुजा) का नाम दिया गया था।

त्रिकोण बहुभुज में सबसे सरल माने जाने वाले बहुभुज हैं, क्योंकि वे तीन भुजाओं, तीन कोणों और तीन शीर्षों से बने होते हैं। समबाहु त्रिभुज के मामले में, चूंकि इसकी भुजाएँ समान हैं, इसका तात्पर्य है कि इसके तीन कोण भी होंगे।

एक समबाहु त्रिभुज का उदाहरण

समबाहु त्रिभुजों की विशेषताएँ

- समान पक्ष

समबाहु त्रिभुज समतल और बंद आकृतियाँ हैं, जो तीन रेखाखंडों से बनी हैं। त्रिकोण अपनी विशेषताओं द्वारा वर्गीकृत किए जाते हैं, उनके पक्षों और कोणों के संबंध में; समभुज को एक पैरामीटर के रूप में इसके पक्षों के माप का उपयोग करके वर्गीकृत किया गया था, क्योंकि ये बिल्कुल समान हैं, अर्थात, वे बधाई हैं।

समबाहु त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज का एक विशेष मामला है क्योंकि इसके दो पक्ष सर्वांगसम हैं। तो सभी समभुज त्रिकोण भी समद्विबाहु हैं, लेकिन सभी समद्विबाहु त्रिभुज समबाहु नहीं होंगे।

इस तरह, समबाहु त्रिभुज में समद्विबाहु त्रिभुज के समान गुण होते हैं।

समबाहु त्रिकोणों को उनके आंतरिक कोणों के आयाम द्वारा एक समभुज तीव्र त्रिभुज के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है, जिसमें तीन पक्ष और तीन आंतरिक कोण समान माप के होते हैं। कोण तीव्र होंगे, यानी 90 ^{या उससे} कम होंगे ।

- अवयव

सामान्य रूप से त्रिकोण में कई पंक्तियाँ और बिंदु होते हैं जो इसकी रचना करते हैं। उनका उपयोग क्षेत्र, पक्षों, कोणों, माध्यिका, द्विभाजक, द्विभाजक और ऊंचाई की गणना करने के लिए किया जाता है।

• माध्यिका: यह एक रेखा है जो एक तरफ के मध्य बिंदु से शुरू होती है और विपरीत शिखर पर पहुंचती है। तीनों मंझले एक बिंदु पर मिलते हैं जिसे बायरसेंटर या सेंट्रोइड कहा जाता है।
• द्विभाजक: यह एक किरण है जो कोणों के कोण को समान माप के दो कोणों में विभाजित करता है, इसीलिए इसे समरूपता के अक्ष के रूप में जाना जाता है। समबाहु त्रिभुज में सममिति के तीन अक्ष होते हैं। समबाहु त्रिभुज में, द्विभाजक को एक कोण के शीर्ष से इसके विपरीत तरफ खींचा जाता है, इसे इसके मध्य बिंदु पर काट दिया जाता है। ये एक बिंदु पर मिलते हैं जिसे incenter कहा जाता है।
• द्विभाजक: यह त्रिभुज की ओर एक लंब खंड है, जिसके मध्य में इसका मूल है। एक त्रिभुज में तीन चिकित्साएँ होती हैं और वे एक बिंदु पर मिलती हैं जिसे परिधीय कहा जाता है।
• ऊँचाई: यह वह रेखा है जो कि शिखर से उस तरफ जाती है जो विपरीत है और यह रेखा उस तरफ से लंबवत है। सभी त्रिभुजों की तीन ऊँचाइयाँ होती हैं जो एक बिंदु पर होती हैं जिसे ऑर्थोसेंटर कहा जाता है।

निम्नलिखित ग्राफ में हम एक स्केलीन त्रिकोण को देखते हैं जहां कुछ घटक उल्लिखित हैं

द्विभाजक, मध्यिका और द्विभाजक संयोग हैं

द्विभाजक त्रिभुज की भुजा को दो भागों में विभाजित करता है। समबाहु त्रिभुजों में उस भुजा को दो समान भागों में विभाजित किया जाएगा, अर्थात त्रिभुज को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित किया जाएगा।

इस प्रकार, एक समबाहु त्रिभुज के किसी भी कोण से खींचा गया द्विभाजक उस कोण के विपरीत माध्यिका और पक्ष के द्विभाजक के साथ मेल खाता है।

उदाहरण:

निम्नलिखित आंकड़ा त्रिकोण एबीसी को एक मिडपॉइंट डी के साथ दिखाता है जो अपने एक पक्ष को दो खंडों एडी और बीडी में विभाजित करता है।

बिंदु डी से विपरीत शिखर तक एक रेखा खींचकर, माध्य सीडी परिभाषा द्वारा प्राप्त की जाती है, जो कि शीर्ष C और पक्ष AB के सापेक्ष है।

चूंकि खंड सीडी त्रिभुज ABC को दो समान त्रिभुज CDB और CDA में विभाजित करता है, इसका मतलब है कि सर्वांगसमता का मामला होगा: साइड, एंगल, साइड और इसलिए सीडी भी बीसीडी का बाइसेक्टर होगा।

एक साजिश रचने खंड सीडी, शिखर के कोण 30 के दो बराबर कोण में बांटा गया है ^या शिखर एक के कोण अभी भी 60 को मापने ^या और लाइन सीडी पर 90 के कोण ^या मध्य डी के संबंध में

सेगमेंट सीडी ऐसे कोण बनाती है जिनमें त्रिभुज ADC और BDC के लिए समान माप होते हैं, अर्थात, वे इस तरह से पूरक हैं कि प्रत्येक का माप होगा:

मेड। (ADB) + मेड। (ADC) = 180 ^या

2 _* मेड। (एडीसी) = 180 ^या

मेड। (ADC) = 180 ^या) 2

मेड। (एडीसी) = 90 ^ओ ।

और इसलिए, हमारे पास वह सेगमेंट सीडी है जो एबी के साइड की बाइसेक्टर है।

द्विभाजक और ऊंचाई संयोग हैं

एक कोण के शीर्ष से द्विभाजक को विपरीत दिशा के मध्य बिंदु तक खींचकर, यह समबाहु त्रिभुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है।

ताकि 90 का कोण ^या (सीधा) बने। यह इंगित करता है कि वह रेखा खंड उस तरफ पूरी तरह से लंबवत है, और परिभाषा के अनुसार वह रेखा ऊंचाई होगी।

इस प्रकार, समबाहु त्रिभुज के किसी भी कोण का द्विभाजक उस कोण के विपरीत पक्ष के सापेक्ष ऊँचाई से मेल खाता है।

ऑर्टोसेंटर, बैरीसेंटर, इंसेंटर और संयोग परिधि

जैसे ही ऊँचाई, माध्यिका, द्विभाजक और द्विभाजक को एक ही खंड द्वारा एक समबाहु त्रिभुज में दर्शाया जाता है, एक समबाहु त्रिभुज में इन खंडों के मिलन बिंदु -The orthocenter, bisector, incenter और circumcenter- एक ही बिंदु पर मिलेंगे:

गुण

समबाहु त्रिभुजों की मुख्य संपत्ति यह है कि वे हमेशा समद्विबाहु त्रिभुज होंगे, क्योंकि समद्विबाहु दो संयुग्मन पक्षों द्वारा बनते हैं और तीन से समबाहु होते हैं।

इस तरह, समभुज त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज के सभी गुणों को विरासत में मिला:

आंतरिक कोण

कोणों का योग हमेशा 180 के बराबर होता है ^या, जैसा कि सभी कोण सम्‍मिलित होते हैं, फिर इनमें से प्रत्येक का माप 60 ^{या होगा} ।

बाहरी कोण

बाहरी कोण 360 का योग हमेशा बराबर होगा ^या इसलिए प्रत्येक बाहरी कोण 120 ^या मापेगा । इसका कारण यह है कि आंतरिक और बाहरी कोण पूरक हैं, अर्थात, जब उन्हें जोड़ने पर वे हमेशा 180 ^{ओ के} बराबर होंगे ।

भुजाओं का योग

दो पक्षों के उपायों का योग हमेशा तीसरे पक्ष के माप से अधिक होना चाहिए, अर्थात, ए + बी> सी, जहां ए, बी और सी प्रत्येक पक्ष के उपाय हैं।

समीपवर्ती पक्ष

समबाहु त्रिभुज में एक ही माप या लंबाई के साथ सभी तीन पक्ष होते हैं; यही है, वे बधाई हैं। इसलिए, पिछले आइटम में हमारे पास एक = बी = सी है।

समतल कोण

समबाहु त्रिभुज को समबाहु त्रिभुज के रूप में भी जाना जाता है, क्योंकि उनके तीन आंतरिक कोण एक-दूसरे के अनुरूप हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि इसके सभी पक्षों का माप भी समान है।

परिधि की गणना कैसे करें?

बहुभुज की परिधि की गणना पक्षों को जोड़कर की जाती है। जैसा कि इस मामले में समबाहु त्रिभुज के सभी पक्ष एक ही माप के साथ हैं, इसकी परिधि की गणना निम्न सूत्र से की जाती है:

पी = 3 _* ओर।

ऊंचाई की गणना कैसे करें?

चूंकि ऊँचाई आधार के लंबवत रेखा है, इसलिए यह इसे दो अलग-अलग भागों में विभाजित करता है, जो विपरीत शिखर तक विस्तृत होता है। इस प्रकार दो बराबर दाएं त्रिकोण बनते हैं।

ऊंचाई (एच) विपरीत पैर (ए) का प्रतिनिधित्व करता है, बगल के एसी के बीच का हिस्सा आसन्न पैर (बी) और साइड बीसी कर्ण (सी) का प्रतिनिधित्व करता है।

पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करते हुए, ऊंचाई का मूल्य निर्धारित किया जा सकता है:

3 _* एल = 450 मीटर।

पी = 3 _* एल

पी = 3 _* 71.6 मीटर

पी = 214.8 मीटर।

संदर्भ

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