समद्विबाहु त्रिकोण: विशेषताओं, सूत्र और क्षेत्र, गणना - गणित - 2025

एक समद्विबाहु त्रिकोण तीन तरफ, जहां उनमें से दो एक ही उपाय है और तीसरे पक्ष के लिए एक अलग उपाय है के साथ एक बहुभुज है। इस अंतिम पक्ष को आधार कहा जाता है। इस विशेषता के कारण इसे यह नाम दिया गया, जिसका ग्रीक में अर्थ है "समान पैर"

त्रिकोण बहुभुज में सबसे सरल माने जाने वाले बहुभुज हैं, क्योंकि वे तीन भुजाओं, तीन कोणों और तीन शीर्षों से बने होते हैं। वे अन्य बहुभुज के संबंध में पक्ष और कोण की कम से कम संख्या वाले हैं, हालांकि उनका उपयोग बहुत व्यापक है।

समद्विबाहु त्रिभुजों की विशेषताएँ

समद्विबाहु त्रिभुज को इसके पक्षों के मापक के रूप में एक पैरामीटर के रूप में वर्गीकृत किया गया था, क्योंकि इसके दो पक्ष सर्वांगसम हैं (इनकी लंबाई समान है)।

आंतरिक कोणों के आयाम के आधार पर, समद्विबाहु त्रिभुज को इस प्रकार वर्गीकृत किया गया है:

• समद्विबाहु समकोण त्रिभुज: इसके दो पक्ष बराबर हैं। एक कोने सीधे (90 है ^या) और अन्य कर रहे हैं एक ही (45 ^या प्रत्येक)
• समद्विबाहु त्रिभुज त्रिभुज: इसके दो पक्ष बराबर हैं। कोणों में से एक obtuse है (> 90 ^या)।
• समद्विबाहु तीव्र त्रिभुज: इसके दो पक्ष बराबर हैं। सभी कोण तीव्र हैं (<90 ^या) जहां दोनों का माप समान है।

अवयव

• माध्यिका: यह एक रेखा है जो एक तरफ के मध्य बिंदु से शुरू होती है और विपरीत शिखर पर पहुंचती है। तीनों मंझले एक बिंदु पर मिलते हैं जिसे बायरसेंटर या सेंट्रोइड कहा जाता है।
• द्विभाजक: यह एक किरण है जो प्रत्येक शीर्ष के कोण को समान माप के दो कोणों में विभाजित करती है। यही कारण है कि इसे समरूपता की धुरी के रूप में जाना जाता है और इस प्रकार के त्रिकोणों में केवल एक है।
• द्विभाजक: यह त्रिभुज की ओर लंबवत एक खंड है, जिसका मूल इसके बीच में है। एक त्रिभुज में तीन चिकित्साएँ होती हैं और वे एक बिंदु पर मिलती हैं जिसे परिधीय कहा जाता है।
• ऊँचाई: यह वह रेखा है जो कि शिखर से उस तरफ जाती है जो विपरीत है और यह रेखा उस तरफ से लंबवत है। सभी त्रिभुजों की तीन ऊँचाइयाँ होती हैं, जो एक बिंदु पर होती हैं जिसे ऑर्थोसेंटर कहा जाता है।

गुण

समद्विबाहु त्रिकोण परिभाषित या पहचाने जाते हैं क्योंकि उनके पास कई गुण हैं जो उनका प्रतिनिधित्व करते हैं, महान गणितज्ञों द्वारा प्रस्तावित प्रमेयों से उत्पन्न होते हैं:

आंतरिक कोण

आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180 ^{° के} बराबर होता है ।

भुजाओं का योग

दो पक्षों के उपायों का योग हमेशा तीसरे पक्ष, a + b> c के माप से अधिक होना चाहिए।

समीपवर्ती पक्ष

समद्विबाहु त्रिकोण में एक ही माप या लंबाई के साथ दो पक्ष होते हैं; वह है, वे सर्वांगसम हैं और तीसरा पक्ष इन सबसे अलग है।

समतल कोण

समद्विबाहु त्रिभुज को समद्विबाहु त्रिभुज के रूप में भी जाना जाता है, क्योंकि उनके दो कोण होते हैं जिनका माप एक समान होता है (सर्वांगसम)। ये त्रिभुज के आधार पर स्थित होते हैं, जो समान लंबाई वाले पक्षों के विपरीत होते हैं।

इसके कारण, प्रमेय उत्पन्न हुआ जो बताता है कि:

"यदि एक त्रिभुज में दो सर्वांगसम भुजाएँ हैं, तो उन भुजाओं के विपरीत कोण भी अभिन्न होंगे।" इसलिए, यदि कोई त्रिभुज समद्विबाहु है, तो उसके आधारों के कोण सम्‍मिलित हैं।

उदाहरण:

निम्नलिखित आंकड़ा एक त्रिकोण एबीसी दिखाता है। कोण बी के शीर्ष से आधार तक इसके द्विभाजक को खींचकर, त्रिभुज को दो समान त्रिभुजों BDA और BIN में विभाजित किया जाता है:

इस तरह वर्टेक्स बी के कोण को भी दो बराबर कोणों में विभाजित किया गया था। द्विभाजक अब उन दो नए त्रिभुजों के बीच का सामान्य पक्ष (BD) है, जबकि AB और BC पक्षों के अभिसरण पक्ष हैं। इस प्रकार हमारे पास साइड, एंगल, साइड (एलएएल) कॉन्ग्रेंस का मामला है।

इससे पता चलता है कि कोण ए और सी के कोणों का माप एक ही है, साथ ही यह भी दिखाया जा सकता है कि चूंकि त्रिकोण बीडीए और बीडीसी बधाई हैं, इसलिए पक्ष एडी और डीसी भी बधाई हैं।

ऊँचाई, माध्यिका, द्विभाजक और द्विभाजक संयोग हैं

रेखा जो समद्विबाहु त्रिभुज के आधार के मध्य बिंदु के आधार के विपरीत शीर्ष से खींची जाती है, उसी समय ऊंचाई, मंझला और द्विभाजक, साथ ही आधार के विपरीत कोण के सापेक्ष द्विभाजक होती है।

ये सभी खंड एक में मेल खाते हैं जो उनका प्रतिनिधित्व करता है।

उदाहरण:

निम्नलिखित आंकड़ा त्रिकोण एबीसी को एक मिडपॉइंट एम के साथ दिखाता है जो आधार को दो खंडों बीएम और सीएम में विभाजित करता है।

बिंदु M से विपरीत शीर्ष तक के खंड को आरेखित करके, परिभाषा के अनुसार माध्य एएम प्राप्त किया जाता है, जो कि वर्टेक्स A और साइड BC के सापेक्ष है।

चूंकि खंड एएम त्रिभुज एबीसी को दो समान त्रिकोण एएमबी और एएमसी में विभाजित करता है, इसका मतलब है कि अनुरूप पक्ष, कोण, पक्ष का मामला होगा और इसलिए एएम भी BÂC का द्विभाजक होगा।

इसलिए, द्विभाजक हमेशा माध्यिका और इसके विपरीत के बराबर होगा।

खंड एएम उन कोणों को बनाता है जिनके त्रिकोण एएमबी और एएमसी के लिए एक ही माप है; यह है, वे इस तरह से पूरक हैं कि प्रत्येक की माप होगी:

मेड। (एएमबी) + मेड। (एएमसी) = 180 ^या

2 _* मेड। (एएमसी) = 180 ^या

मेड। (एएमसी) = 180 ^या) 2

मेड। (एएमसी) = 90 ^या

यह ज्ञात हो सकता है कि त्रिकोण के आधार के संबंध में खंड एएम द्वारा गठित कोण सही हैं, जो इंगित करता है कि यह खंड आधार के लिए पूरी तरह से लंबवत है।

इसलिए यह ऊंचाई और द्विभाजक का प्रतिनिधित्व करता है, यह जानते हुए कि एम मिडपॉइंट है।

इसलिए लाइन AM:

• बीसी की ऊंचाई पर प्रतिनिधित्व करता है।
• मध्यम आकार का है।
• यह ई.पू. के द्विभाजक के भीतर निहित है।
• यह शीर्ष कोण का द्विभाजक है ector

सापेक्ष ऊंचाइयां

समान पक्षों के सापेक्ष ऊँचाई का माप भी समान होता है।

चूंकि समद्विबाहु त्रिभुज में दो समान भुजाएँ होती हैं, इसलिए उनकी दो संबंधित ऊँचाइयाँ भी समान होंगी।

ऑर्टोसेंटर, बैरीसेंटर, इंसेंटर और संयोग परिधि

आधार के सापेक्ष ऊँचाई, मध्यमा, द्विभाजक और द्विभाजक, एक ही खंड द्वारा एक ही समय में दर्शाए जाते हैं, ऑर्थोसेंटर, बैरीसेंटर इंसेंटर और परिधि के समतुल्य बिंदु होंगे, अर्थात, वे एक ही पंक्ति में पाए जाएंगे:

परिधि की गणना कैसे करें?

बहुभुज की परिधि की गणना पक्षों को जोड़कर की जाती है।

जैसा कि इस मामले में समद्विबाहु त्रिभुज में एक ही माप के दो पक्ष हैं, इसकी परिधि की गणना निम्न सूत्र से की जाती है:

पी = 2 _* (साइड ए) + (साइड बी)।

ऊंचाई की गणना कैसे करें?

ऊँचाई आधार के लिए लंबवत है, यह त्रिकोण को दो समान भागों में विभाजित करता है क्योंकि यह विपरीत शिखर तक फैला हुआ है।

ऊंचाई विपरीत पैर (ए), आधार के मध्य (बी / 2) आसन्न पैर और पक्ष "ए" कर्ण का प्रतिनिधित्व करती है।

पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करते हुए, ऊंचाई का मूल्य निर्धारित किया जा सकता है:

एक ² + बी ² = सी ²

कहाँ पे:

एक ² = ऊंचाई (एच)।

बी ² = बी / 2।

सी ² = साइड ए।

पाइथागोरस प्रमेय में इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करना, और ऊंचाई को हल करना, हमारे पास है:

h ² + (b / 2) ² = a ²

ज ² + b ² /4 = एक ²

ज ² = एक ² - बी ² /4

ज = √ (एक ² - बी ² /4)।

यदि कोण पक्षों द्वारा निर्मित कोण ज्ञात है, तो ऊंचाई की गणना निम्न सूत्र से की जा सकती है:

क्षेत्र की गणना कैसे करें?

त्रिकोण के क्षेत्र की गणना हमेशा एक ही सूत्र से की जाती है, आधार को ऊंचाई से गुणा करके और दो से विभाजित करें:

ऐसे मामले हैं जहां त्रिकोण के केवल दो पक्षों के माप और उनके बीच बने कोण ज्ञात हैं। इस मामले में, उस क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात को लागू करना आवश्यक है:

त्रिकोण के आधार की गणना कैसे करें?

चूंकि समद्विबाहु त्रिभुज के दो समान पक्ष हैं, इसलिए इसके आधार के मूल्य को निर्धारित करने के लिए आपको कम से कम ऊंचाई या इसके कोण में से एक को जानना होगा।

ऊंचाई जानने के बाद, पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग किया जाता है:

एक ² + बी ² = सी ²

कहाँ पे:

एक ² = ऊंचाई (एच)।

सी ² = साइड ए।

b ² = b / 2, अज्ञात है।

हम सूत्र से b ² को अलग करते हैं और हमारे पास है:

बी ² = ए ² - सी ²

b = = a ² - c ²

चूंकि यह मान आधा आधार से मेल खाता है, इसे समद्विबाहु त्रिभुज के आधार का पूरा माप प्राप्त करने के लिए इसे दो से गुणा करना चाहिए:

b = 2 _* (² a ² - c ²)

इस मामले में कि केवल इसके समान पक्षों का मान और उनके बीच का कोण ज्ञात हो, त्रिकोणमिति लागू किया जाता है, शीर्ष से रेखा की रेखा खींचते हुए समद्विबाहु त्रिभुज को दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करता है।

इस तरह से आधे आधार की गणना इस प्रकार की जाती है:

यह भी संभव है कि आधार के विपरीत केवल शीर्ष की ऊंचाई और कोण का मूल्य ज्ञात हो। उस स्थिति में, त्रिकोणमिति द्वारा आधार को निर्धारित किया जा सकता है:

अभ्यास

पहला व्यायाम

समद्विबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, इसके दो भाग 10 सेमी और तीसरे पक्ष 12 सेमी हैं।

उपाय

त्रिकोण के क्षेत्र को खोजने के लिए, पाइथागोरस प्रमेय से संबंधित क्षेत्र सूत्र का उपयोग करके ऊंचाई की गणना करना आवश्यक है, क्योंकि समान पक्षों के बीच बने कोण का मूल्य ज्ञात नहीं है।

हमारे पास समद्विबाहु त्रिभुज का निम्नलिखित डेटा है:

• समान पक्ष (ए) = 10 सेमी।
• आधार (b) = 12 सेमी।

सूत्र में मान निर्दिष्ट किए गए हैं:

दूसरा व्यायाम

समद्विबाहु त्रिभुज के दो समान पक्षों की लंबाई 42 सेमी है, इन पक्षों का संघ 130 ^या का कोण बनाता है । तीसरे पक्ष का मान, उस त्रिभुज का क्षेत्रफल और परिधि निर्धारित करें।

उपाय

इस मामले में, पक्षों की माप और उनके बीच के कोण को जाना जाता है।

लापता पक्ष के मूल्य को जानने के लिए, उस त्रिकोण का आधार, इसके लिए लंबवत एक रेखा खींची जाती है, कोण को दो समान भागों में विभाजित करते हुए, प्रत्येक दाहिने त्रिकोण के लिए एक जो बनता है।

• समान भुजाएँ (a) = 42 सें.मी.
• कोण (Ɵ) = 130 ^o

अब त्रिकोणमिति द्वारा आधार के आधे के मान की गणना की जाती है, जो कर्ण के आधे भाग से मेल खाता है:

क्षेत्र की गणना करने के लिए, उस त्रिकोण की ऊंचाई जानना आवश्यक है, जिसे त्रिकोणमिति या पाइथागोरस प्रमेय द्वारा गणना की जा सकती है, अब आधार का मूल्य पहले ही निर्धारित किया जा चुका है।

त्रिकोणमिति द्वारा यह होगा:

परिधि की गणना की जाती है:

पी = 2 _* (साइड ए) + (साइड बी)।

पी = 2 _* (42 सेमी) + (76 सेमी)

पी = 84 सेमी + 76 सेमी

पी = 160 सेमी।

तीसरा व्यायाम

समद्विबाहु त्रिभुज के आंतरिक कोणों की गणना करें, यह जानते हुए कि आधार का कोण Â = 55 ^{या है}

उपाय

दो लापता कोणों (Ê और it) को खोजने के लिए त्रिकोण के दो गुणों को याद रखना आवश्यक है:

• हर त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180 ^{या होगा}:

 + Ê + Ô = 180 ^या

• समद्विबाहु त्रिभुज में आधार के कोण सदैव सर्वांगसम होते हैं, अर्थात, उनका माप समान होता है, इसलिए:

Ô = Ô

Or = 55 ^या

कोण To के मान को निर्धारित करने के लिए, हम पहले नियम में दूसरे कोणों के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और Ê के लिए हल करते हैं:

55 ^या + 55 ^या + 180 = 180 ^या

110 ^या + Ô = 180 ^या

Ô = 180 ^ओ - 110 ^ओ

O = 70 ^ओ ।

संदर्भ

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