प्रपत्र X की त्रिकोणीय X ^ 2 + BX + C (उदाहरण के साथ) - गणित - 2025

X ^ 2 + bx + c के ट्रिनोमियल को हल करने के लिए सीखने से पहले, और ट्रिनोमियल की अवधारणा को जानने से पहले भी दो आवश्यक धारणाओं को जानना महत्वपूर्ण है; अर्थात्, मोनोमियल और बहुपद की अवधारणाएं। एक मोनोमियल एक * x ⁿ प्रकार का एक अभिव्यक्ति है, जहाँ a एक परिमेय संख्या है, n एक प्राकृतिक संख्या है और x एक चर है।

एक बहुपद के रूप का एक रैखिक संयोजन है _{n n} * x ⁿ + a _n-1 * x ^n-1 +… + ₂ * x ² + ₁ * x + ₀, जहाँ प्रत्येक _i, के साथ i = 0,…, n, एक परिमेय संख्या है, n एक प्राकृतिक संख्या है और a_n नॉनज़रो है। इस मामले में बहुपद की डिग्री n कहा जाता है।

अलग-अलग डिग्री के केवल दो शब्दों (दो मोनोमियल) के योग से बनने वाली बहुपद को द्विपद के रूप में जाना जाता है।

trinomials

अलग-अलग डिग्री के केवल तीन शब्दों (तीन मोनोमियल) के योग से बनने वाली बहुपद को ट्रिनोमियल के रूप में जाना जाता है। त्रिनोमियल के उदाहरण निम्नलिखित हैं:

• x ³ + x ² + 5x
• 2x ⁴ -x ³ +5
• x ² + 6x + 3

ट्रिनोमिलेस कई प्रकार के होते हैं। इनमें से, सही वर्ग त्रिनोमियल बाहर खड़ा है।

बिल्कुल सही वर्ग ट्रिनोमियल

एक पूर्ण वर्ग ट्रिनोमियल एक द्विपद को चुकाने का परिणाम है। उदाहरण के लिए:

• (3x-2) ² = 9x ² -12x + 4
• (2x ³ + y) ² = 4x ⁶ + 4x ³ y + y ²
• (4x ² -2y ⁴) ² = 16x ⁴ -16x ² y ⁴ + 4y ⁸
• 1 / 16x ² y ⁸ -1 / 2xy ⁴ z + z ² = (1 / 4xy ⁴) ² -2 (1 / 4xy ⁴) z + z ² = (1 / 4xy ⁴ -z) ²

ग्रेड 2 ट्रिनोमिअल्स के लक्षण

उचित चकोर

सामान्य तौर पर, फार्म का एक ट्रिनोमियल कुल्हाड़ी ² + bx + c एक पूर्ण वर्ग है यदि इसका विभेदक शून्य के बराबर है; वह है, अगर b ² -4ac = 0, क्योंकि इस मामले में इसकी एक ही जड़ होगी और इसे a (xd) ² = (√a (xd)) ² के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ d पहले से ही उल्लेखित मूल है।

बहुपद की जड़ एक संख्या है जिसमें बहुपद शून्य हो जाता है; दूसरे शब्दों में, एक संख्या जो, बहुपद अभिव्यक्ति में x के लिए प्रतिस्थापित करते समय परिणाम शून्य होती है।

निराकरण का सूत्र

फॉर्म ² कुल्हाड़ी + bx + c की दूसरी डिग्री बहुपद की जड़ों की गणना करने के लिए एक सामान्य सूत्र है, जो बताता है कि ये जड़ें (-b ± √ (b ² -4ac)) / द्वारा दी गई हैं। 2a, जहां b ² -4ac को विवेचक के रूप में जाना जाता है और आमतौर पर ∆ द्वारा निरूपित किया जाता है। इस सूत्र से यह पता चलता है कि कुल्हाड़ी ² + bx + c में है:

- दो अलग वास्तविक जड़ें अगर Two> 0।

- एकल वास्तविक जड़ यदि 0 = 0।

- इसकी कोई वास्तविक जड़ नहीं है अगर root <0 है।

इस प्रकार, केवल x ² + bx + c फॉर्म के ट्रिनोमलायस पर विचार किया जाएगा, जहाँ स्पष्ट रूप से c को शून्य के अलावा एक संख्या होना चाहिए (अन्यथा यह एक द्विपद होगा)। फैक्टरिंग और उनके साथ काम करने पर इस तरह के ट्रिनोमिअल्स के कुछ फायदे हैं।

ज्यामितीय व्याख्या

ज्यामितीय, त्रिनाम एक्स ² + bx + c है एक परवलय जो ऊपर की ओर खुलता है और बिंदु पर शिखर (बी / 2, बी है ² कार्तीय तल कि x के / 4 + स) ² + bx + c = (x + b / 2) ² बी ² /4 + ग।

यह परवलय बिंदु (0, c) और बिंदु पर X अक्ष (₁, 0) और (d ₂, 0) पर Y अक्ष को काटता है; फिर डी ₁ और डी ₂ ट्रिनोमियल की जड़ें हैं। ऐसा हो सकता है कि ट्रिनोमियल में एक ही जड़ d है, जिस स्थिति में एक्स अक्ष के साथ एकमात्र कटौती होगी (डी, 0)।

यह भी हो सकता है कि ट्रिनोमियल के पास कोई वास्तविक जड़ नहीं है, जिस स्थिति में यह किसी भी बिंदु पर एक्स अक्ष में कटौती नहीं करेगा।

उदाहरण के लिए, x ² + 6x + 9 = (x + 3) ² -9 + 9 = (x + 3) ² परकोटे के साथ परवलय (-3,0) है, जो Y अक्ष पर (0) को काटता है। 9) और एक्स अक्ष पर (-3,0)।

त्रिनयनिक तथ्यात्मक

बहुपद के साथ काम करते समय एक बहुत ही उपयोगी उपकरण फैक्टरिंग है, जिसमें कारकों के एक उत्पाद के रूप में एक बहुपद व्यक्त करना शामिल है। सामान्य तौर पर, प्रपत्र x ² + bx + c की एक ट्रिनोमियल दी जाती है, अगर इसकी दो अलग-अलग जड़ें d ₁ और d _{2 हैं}, तो इसे (xd ₁) (xd ₂) के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है ।

यदि इसकी एकल जड़ d है, तो इसे (xd) (xd) = (xd) ^{2 के} रूप में विभाजित किया जा सकता है, और यदि इसकी कोई वास्तविक जड़ नहीं है, तो यह समान रहता है; इस मामले में यह स्वयं के अलावा अन्य कारकों के उत्पाद के रूप में एक कारक को स्वीकार नहीं करता है।

इसका मतलब यह है कि, पहले से ही स्थापित रूप में एक ट्रिनोमियल की जड़ों को जानना, इसका कारक आसानी से व्यक्त किया जा सकता है, और जैसा कि पहले ही ऊपर उल्लेख किया गया है, इन जड़ों को हमेशा रिज़ॉल्वेंट का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

हालांकि, इस तरह के ट्रिनोमिअल्स की एक महत्वपूर्ण मात्रा है जो पहले उनकी जड़ों को जानने के बिना फैक्टर हो सकती है, जो काम को सरल करता है।

रेज़ोल्वेशन फॉर्मूला का उपयोग किए बिना फैक्टरिज़ेशन से जड़ों को सीधे निर्धारित किया जा सकता है; ये फॉर्म x ² + (a + b) x + ab के बहुपद हैं । इस मामले में हमारे पास:

x ² + (a + b) x + ab = x ² + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a)।

इससे यह आसानी से देखा जा सकता है कि जड़ें -ए और -बी हैं।

दूसरे शब्दों में, एक ट्रिनोमियल x ² + bx + c दिया जाता है, अगर दो संख्याएँ u और v हैं जैसे c = uv और b = u + v, तो x ² + bx + c = (x + u) (x + v)।

अर्थात्, एक ट्रिनोमियल x ² + bx + c दिया जाता है, यह पहली बार सत्यापित किया जाता है कि दो संख्याएँ ऐसी हैं जिन्हें गुणा करने पर वे स्वतंत्र शब्द देते हैं (c) और जोड़ा (या घटाया जाता है, मामले के आधार पर), वे x के साथ आने वाले शब्द को देते हैं (ख)।

इस तरह से सभी ट्रिनोमिअल्स के साथ नहीं इस विधि को लागू किया जा सकता है; जिसमें यह संभव नहीं है, संकल्प का उपयोग किया जाता है और पूर्वोक्त लागू होता है।

उदाहरण

उदाहरण 1

निम्नलिखित ट्रिनोमियल x ² + 3x + 2 को कारक के लिए, निम्नानुसार आगे बढ़ें:

आपको दो नंबर खोजने होंगे जैसे कि उन्हें जोड़ने पर परिणाम 3 होता है, और जब उन्हें गुणा करना होता है तो परिणाम 2 होता है।

एक निरीक्षण करने के बाद यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि खोजे गए नंबर हैं: 2 और 1. इसलिए, x ² + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1)।

उदाहरण 2

ट्रिनोमियल x ² -5x + 6 को फैक्टर करने के लिए, हम दो संख्याओं की तलाश करते हैं, जिनका योग -5 है और उनका उत्पाद है 6. इन दो स्थितियों को पूरा करने वाले नंबर -3 और -2 हैं। इसलिए, दिए गए ट्रिनोमियल का गुणन x ² -5x + 6 = (x-3) (x-2) है।

संदर्भ

1. फ्यूएंट्स, ए। (2016)। मूल गणित। पथरी का एक परिचय। Lulu.com।
2. गारो, एम। (2014)। गणित: द्विघात समीकरण: द्विघात समीकरण को कैसे हल करें। मारिलो गारो।
3. हेसेलर, ईएफ, और पॉल, आरएस (2003)। प्रबंधन और अर्थशास्त्र के लिए गणित। पियर्सन शिक्षा।
4. जिमेनेज, जे।, रोफ्रिग्स, एम।, और एस्ट्राडा, आर। (2005)। गणित 1 एसईपी। थ्रेसहोल्ड।
5. प्रीसीडो, सीटी (2005)। गणित पाठ्यक्रम 3rd। संपादकीय प्रोग्रेसो।
6. रॉक, एनएम (2006)। बीजगणित मैं आसान है! इतना आसान। टीम रॉक प्रेस।
7. सुलिवन, जे। (2006)। बीजगणित और त्रिकोणमिति। पियर्सन शिक्षा।