ÓVALO (ज्यामितीय आकृति): विशेषताएँ, उदाहरण, अभ्यास - गणित - 2025

सममित अंडाकार एक फ्लैट और बंद वक्र है, जो समरूपता -एक प्रमुख के दो सीधा कुल्हाड़ियों और एक minor- है और ऊपर के बराबर दो दो द्वारा दो परिधीय आर्क्स से बना है के रूप में परिभाषित किया गया है।

इस तरह इसे एक कम्पास और कुछ संदर्भ बिंदुओं की मदद से सममिति की एक रेखा पर खींचा जा सकता है। किसी भी मामले में, इसे खींचने के कई तरीके हैं, जैसा कि हम बाद में देखेंगे।

चित्र 1. रोम में कोलोसियम का दृश्य, वास्तुकला में एक अंडाकार आकृति का एक उदाहरण। स्रोत: पिक्साबे

यह एक बहुत ही परिचित वक्र है, क्योंकि यह एक अंडाकार के समोच्च के रूप में मान्यता प्राप्त है, यह अंडाकार का एक विशेष मामला है। लेकिन अंडाकार एक दीर्घवृत्त नहीं है, हालांकि कभी-कभी यह बहुत समान है, क्योंकि इसके गुण और लेआउट अलग-अलग हैं। उदाहरण के लिए, दीर्घवृत्त का निर्माण कम्पास से नहीं किया जाता है।

विशेषताएँ

अंडाकार के पास बहुत विविध अनुप्रयोग हैं: वास्तुकला, उद्योग, ग्राफिक डिजाइन, वॉचमेकिंग और गहने कुछ ही क्षेत्र हैं जहां इसका उपयोग होता है।

इस महत्वपूर्ण वक्र की सबसे उत्कृष्ट विशेषताएं निम्नलिखित हैं:

-यह तकनीकी वक्रों के समूह के अंतर्गत आता है: यह एक कम्पास की सहायता से परिधीय चाप बनाकर खींचा जाता है।

-इसके सभी बिंदु एक ही तल पर हैं।

घटता या संबंधों का अभाव।

-यानी रास्ता निरंतर है।

-ओवल का वक्र चिकना और उत्तल होना चाहिए।

-जब ओवल में रेखा स्पर्श होती है, तो यह सभी रेखा के एक ही तरफ होती है।

-एक अंडाकार केवल दो समानांतर स्पर्शरेखाओं को स्वीकार करता है।

उदाहरण

अंडाकार के निर्माण की कई विधियाँ हैं जिनमें शासक, वर्ग और कम्पास के उपयोग की आवश्यकता होती है। आगे हम कुछ सबसे ज्यादा इस्तेमाल किए जाने का जिक्र करने जा रहे हैं।

गाढ़ा हलकों का उपयोग कर एक अंडाकार का निर्माण

चित्रा 2. कैसे दो गाढ़ा हलकों का उपयोग कर एक अंडाकार आकर्षित करने के लिए। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स Kmhkmh

चित्र 2, ऊपर, मूल पर केंद्रित दो संकेंद्रित वृत्त दिखाता है। अंडाकार की प्रमुख धुरी बाहरी परिधि के व्यास के समान होती है, जबकि छोटी धुरी आंतरिक परिधि के व्यास से मेल खाती है।

-एक मनमानी त्रिज्या बाहरी परिधि तक खींची जाती है, जो अंक ₁ और पी ₂ पर दोनों सर्कल को काटती है ।

-इस बिंदु P ₂ को फिर क्षैतिज अक्ष पर प्रक्षेपित किया जाता है।

इसी तरह से, बिंदु P ₁ को ऊर्ध्वाधर अक्ष पर प्रक्षेपित किया जाता है।

-दोनों प्रक्षेपण रेखाओं का अंतर बिंदु P है और अंडाकार से संबंधित है।

अंडाकार के इस खंड में सभी बिंदुओं को इस तरह से पता लगाया जा सकता है।

-बाकी अंडाकार के प्रत्येक चक्र में किए गए अनुरूप प्रक्रिया के साथ पता लगाया जाता है।

अभ्यास

अगले, अंडाकार के निर्माण के अन्य तरीकों की जांच की जाएगी, एक निश्चित प्रारंभिक माप दी जाएगी, जो उनके आकार का निर्धारण करेगी।

- अभ्यास 1

शासक और कम्पास का उपयोग करते हुए, एक अंडाकार आकर्षित करें, जिसे इसकी प्रमुख धुरी के रूप में जाना जाता है, जिसकी लंबाई 9 सेमी है।

उपाय

नीचे दिखाए गए चित्र 3 में, परिणामस्वरूप अंडाकार लाल रंग में दिखाई देता है। बिंदीदार रेखाओं पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए, जो एक अंडाकार को खींचने के लिए आवश्यक सहायक निर्माण हैं जिनकी प्रमुख धुरी निर्दिष्ट है। हम अंतिम ड्राइंग तक पहुंचने के लिए सभी आवश्यक चरणों को इंगित करने जा रहे हैं।

चित्रा 3. एक अंडाकार के निर्माण ने अपनी प्रमुख धुरी दी। स्रोत: एफ। ज़पाटा

चरण 1

एक शासक के साथ 9 सेमी के खंड एबी के साथ ड्रा करें।

चरण 2

ट्राइसेक्ट सेगमेंट एबी, यानी इसे समान लंबाई के तीन सेगमेंट में विभाजित करते हैं। चूंकि मूल खंड AB 9 सेमी है, इसलिए खंड AC, CD और DB को प्रत्येक 3 सेमी मापना चाहिए।

चरण 3

कम्पास के साथ, C पर केंद्रित और CA खोलने पर, एक सहायक परिधि खींची जाती है। इसी तरह, केंद्र डी और त्रिज्या डीबी के साथ सहायक परिधि कम्पास के साथ खींची गई है।

चरण 4

पिछले चरण में निर्मित दो सहायक हलकों के चौराहों को चिह्नित किया गया है। हम इसे अंक ई और एफ कहते हैं।

चरण 5

नियम के साथ, निम्न किरणें खींची जाती हैं: [FC), [FD], [EC), [ED)।

चरण 6

पिछले चरण की किरणें क्रमशः G, H, I, J पर दो सहायक हलकों को काटती हैं।

चरण 7

कम्पास केंद्र के साथ F बना है और खोलने (या त्रिज्या) FG के साथ चाप GH बना है। इसी तरह, ई और त्रिज्या ईआई पर केंद्रित, चाप IJ तैयार है।

चरण 8

मेहराब GJ, JI, IH और HG के मिलन से एक अंडाकार बनता है जिसका प्रमुख अक्ष 9 सेमी मापता है।

चरण 9

हम सहायक बिंदुओं और रेखाओं को छिपाने (छिपाने) के लिए आगे बढ़ते हैं।

- व्यायाम २

एक शासक और कम्पास के साथ एक अंडाकार ड्रा करें, जिसकी छोटी धुरी ज्ञात है और इसका माप 6 सेमी है।

उपाय

चित्रा 4. एक अंडाकार का निर्माण इसकी छोटी धुरी को देखते हुए। स्रोत: एफ। ज़पाटा

ऊपर का आंकड़ा (आंकड़ा 4) अंडाकार (लाल रंग में) के निर्माण का अंतिम परिणाम दिखाता है, साथ ही उस तक पहुंचने के लिए आवश्यक मध्यवर्ती निर्माण भी। 6 सेमी माइनर अक्ष अंडाकार के निर्माण के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन किया गया था:

चरण 1

6 सेमी लंबा खंड एबी शासक के साथ है।

चरण 2

कम्पास और शासक के साथ, द्विभाजक सेगमेंट एबी का पता लगाया जाता है।

चरण 3

खंड एबी के साथ द्विभाजक का चौराहा, खंड एबी के मिडपॉइंट सी में परिणाम देता है।

चरण 4

कम्पास के साथ केंद्र C और त्रिज्या CA की परिधि खींची गई है।

चरण 5

पिछले चरण में खींची गई परिधि बिंदु E और D पर AB के द्विभाजक को काटती है।

चरण 6

किरणों [AD], [AE), [BD] और [BE] को प्लॉट किया जाता है।

चरण 7

कम्पास के साथ केंद्र A और त्रिज्या AB के वृत्त और केंद्र B और त्रिज्या BA में से एक खींचा जाता है।

चरण 8

चरण 7 में तैयार हलकों के चौराहों, चरण 6 में निर्मित किरणों के साथ, चार बिंदुओं को निर्धारित करते हैं, अर्थात्: एफ, जी, एच। आई।

चरण 9

D और त्रिज्या DI पर केंद्र के साथ, चाप IF खींचा गया है। उसी तरह, ई और त्रिज्या ईजी में केंद्र के साथ, आर्क जीएच खींचा गया है।

चरण 10

परिधि एफजी, जीएच, एचआई और आईएफ के आर्क्स का संघ वांछित अंडाकार निर्धारित करता है।

संदर्भ

1. एड प्लास्टिक। तकनीकी घटता: अंडाकार, ओवोइड और सर्पिल। से पुनर्प्राप्त: drajonavarres.wordpress.com।
2. मैथिसिखे बैसलीन। अंडा वक्र और अंडाकार। से पुनर्प्राप्त किया गया: मैथमैटिसिस-बस्टलेयन।
3. वालेंसिया विश्वविद्यालय। Conics और फ्लैट तकनीकी घटता। से पुनर्प्राप्त: ocw.uv.es.
4. विकिपीडिया। ओवल। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.org।
5. विकिपीडिया। ओवल। से पुनर्प्राप्त: en.wikipedia.org।