सतत चर: विशेषताएँ, उदाहरण और अभ्यास - शारीरिक - 2025

निरंतर चर एक है कि दिए गए दो मूल्यों के बीच संख्यात्मक मानों की एक अनंत संख्या ले जा सकते हैं, भले ही उन दो मानों मनमाने ढंग से पास हो रहा है। उनका उपयोग मापने योग्य विशेषताओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है; उदाहरण के लिए ऊंचाई और वजन। मान जो एक निरंतर चर लेता है वह तर्कसंगत संख्याएं, वास्तविक संख्याएं या जटिल संख्याएं हो सकती हैं, हालांकि बाद वाला मामला आंकड़ों में लगातार कम होता है।

निरंतर चर की मुख्य विशेषता यह है कि दो तर्कसंगत या वास्तविक मूल्यों के बीच एक और हमेशा पाया जा सकता है, और उस बीच और पहले दूसरे मूल्य को पाया जा सकता है, और इसी तरह अनिश्चित काल तक।

चित्र 1. वक्र एक सतत वितरण का प्रतिनिधित्व करता है और बार एक असतत होता है। स्रोत: पिक्साबे

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक समूह में परिवर्तनशील वजन जहां सबसे भारी 95 किलो और सबसे कम वजन 48 किलो है; यह चर की सीमा होगी और संभावित मानों की संख्या अनंत है।

उदाहरण के लिए 50.00 किलोग्राम और 50.10 किलोग्राम के बीच 50.01 हो सकता है। लेकिन 50.00 और 50.01 के बीच 50.005 माप हो सकता है। वह एक निरंतर परिवर्तनशील है। दूसरी ओर, यदि वजन के संभावित माप में किसी एकल दशमलव की परिशुद्धता स्थापित की जाती है, तो प्रयुक्त चर असतत होगा।

निरंतर चर मात्रात्मक चर की श्रेणी से संबंधित हैं, क्योंकि उनके पास एक संख्यात्मक मूल्य है। इस संख्यात्मक मूल्य के साथ गणितीय गणित को अंकगणित से लेकर अपरिमेय गणना विधियों तक ले जाना संभव है।

उदाहरण

भौतिकी में अधिकांश चर निरंतर चर हैं, उनमें से हम नाम दे सकते हैं: लंबाई, समय, गति, त्वरण, ऊर्जा, तापमान और अन्य।

सतत चर और असतत चर

आंकड़ों में, विभिन्न प्रकार के चर को गुणात्मक और मात्रात्मक दोनों में परिभाषित किया जा सकता है। निरंतर चर बाद की श्रेणी के हैं। उनके साथ अंकगणित और गणना संचालन करना संभव है।

उदाहरण के लिए, 1.50 मीटर और 1.95 मीटर के बीच की ऊंचाई वाले लोगों के लिए चर चर, एक निरंतर चर है।

आइए इस चर की तुलना इस के साथ करें: एक सिक्का टॉस जितनी बार आता है, हम इसे n कहेंगे।

चर n 0 और अनंत के बीच मान ले सकता है, हालाँकि n एक निरंतर चर नहीं है क्योंकि यह मान 1.3 या 1.5 नहीं ले सकता है, क्योंकि मान 1 और 2 के बीच कोई दूसरा नहीं है। यह एक असतत चर का एक उदाहरण है।

निरंतर चर व्यायाम

निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें: एक मशीन माचिस पैदा करती है और उन्हें अपने बॉक्स में पैक करती है। दो सांख्यिकीय चर परिभाषित किए गए हैं:

नाममात्र मैच की लंबाई 5.0 सेमी है जिसमें सहिष्णुता 0.1 सेमी है। प्रति बॉक्स में मैचों की संख्या 3 की सहिष्णुता के साथ 50 है।

क) एल और एन ले जा सकने वाले मूल्यों की सीमा को इंगित करें।

बी) एल कितने मूल्य ले सकता है?

c) n कितने मान ले सकता है?

प्रत्येक मामले में बताएं कि क्या यह असतत है या निरंतर परिवर्तनशील है।

उपाय

L के मान श्रेणी में हैं; अर्थात, L का मान अंतराल में है और चर L इन दोनों मापों के बीच अनंत मान ले सकता है। यह तो एक सतत चर है।

चर n का मान अंतराल में है। वेरिएबल एन केवल सहिष्णुता अंतराल में 6 संभावित मान ले सकता है, फिर यह एक असतत चर है।

का व्यायाम

यदि, निरंतर होने के अलावा, चर द्वारा लिए गए मूल्यों में उनके साथ जुड़े होने की एक निश्चित संभावना है, तो यह एक सतत यादृच्छिक चर है। यदि चर असतत या निरंतर है, तो अंतर करना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि एक और दूसरे पर लागू होने वाले संभावित मॉडल अलग हैं।

एक सतत रैंडम वैरिएबल पूरी तरह से परिभाषित किया जाता है जब यह मान जो इसे मान सकता है, और संभावना यह है कि उनमें से हर एक को होता है, ज्ञात हैं।

संभावनाओं का -Exercise 1

मैचमेकर उन्हें इस तरह से बनाता है कि स्टिक्स की लंबाई हमेशा मूल्यों के बीच 4.9 सेमी और 5.1 सेमी है, और इन मूल्यों के बाहर शून्य है। एक छड़ी प्राप्त करने की संभावना है जो 5.00 और 5.05 सेमी के बीच मापता है, हालांकि हम 5,0003 सेमी में से एक भी निकाल सकते हैं। क्या ये मूल्य समान रूप से होने की संभावना है?

उपाय

मान लीजिए कि संभाव्यता घनत्व एक समान है। एक निश्चित लंबाई के साथ एक मैच खोजने की संभावनाएं नीचे सूचीबद्ध हैं:

-क्या एक मैच सीमा में है संभावना = 1 (या 100%) है, क्योंकि मशीन उन मूल्यों के बाहर मैच नहीं खींचती है।

-एक मैच जो 4.9 और 5.0 के बीच है, उसमें प्रायिकता = 0.5 = 0.5 (50%) है, क्योंकि यह लंबाई की आधी सीमा है।

-और संभावना है कि मैच की लंबाई 5.0 से 5.1 के बीच है, वह भी 0.5 (50%)

-यह ज्ञात है कि कोई भी मैच स्टिक नहीं हैं जिनकी लंबाई 5.0 और 5.2 के बीच है। संभावना: शून्य (0%)।

एक निश्चित सीमा में टूथपिक खोजने की संभावना

अब हम निम्नलिखित संभावनाओं का निरीक्षण करते हैं कि लाठी की लंबाई जिनकी लंबाई l ₁ और l _{2 के} बीच है:

-एक मैच की लंबाई 5.00 और 5.05 के बीच होती है, जिसे P () के रूप में दर्शाया जाता है:

-पी कि पहाड़ी की लंबाई 5.00 और 5.01 के बीच है:

-पी कि पहाड़ी की लंबाई 5,000 और 5,001 के बीच है, और भी कम है:

यदि हम अंतराल को करीब और 5.00 के करीब पाने के लिए कम करते रहते हैं, तो संभावना है कि एक दन्तखुद 5.00 सेमी है (शून्य 0%)। हमारे पास जो कुछ है वह एक निश्चित सीमा के भीतर मैच खोजने की संभावना है।

किसी दिए गए रेंज में कई टूथपिक्स खोजने की संभावना

यदि ईवेंट स्वतंत्र हैं, तो दो टूथपिक्स एक निश्चित सीमा में होने की संभावना उनकी संभावनाओं का उत्पाद है।

-दो चॉपस्टिक की संभावना 5.0 और 5.1 के बीच 0.5 * 0.5 = 0.25 (0.25%) है।

-50 टूथपिक्स 5.0 और 5.1 के बीच (0.5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16 है, यानी लगभग शून्य कहने की संभावना।

-50 टूथपिक 4.9 और 5.1 के बीच है (1) ^ 50 = 1 (100%) होने की संभावना

संभावनाओं के -Exercise 2

पिछले उदाहरण में, यह धारणा बनाई गई थी कि दिए गए अंतराल में संभावना एक समान है, हालांकि यह हमेशा मामला नहीं होता है।

टूथपिक्स का उत्पादन करने वाली वास्तविक मशीन के मामले में, मौका है कि टूथपिक केंद्र मूल्य पर है, यह चरम मूल्यों में से एक से अधिक है। गणितीय दृष्टिकोण से यह एक फ़ंक्शन f (x) के साथ मॉडलिंग की जाती है जिसे प्रायिकता घनत्व के रूप में जाना जाता है।

L और a के बीच जो मापन L की संभावना है, उसकी गणना a और b के बीच फ़ंक्शन f (x) के निश्चित इंटीग्रल का उपयोग करके की जाती है।

एक उदाहरण के रूप में, मान लें कि हम फ़ंक्शन f (x) को ढूंढना चाहते हैं, जो कि व्यायाम 1 से मूल्यों 4.9 और 5.1 के बीच एक समान वितरण का प्रतिनिधित्व करता है।

यदि संभाव्यता वितरण समान है, तो f (x) निरंतर c के बराबर है, जो c के 4.9 और 5.1 के बीच के अभिन्न को ले कर निर्धारित होता है। चूंकि यह अभिन्नता संभावना है, इसलिए परिणाम 1 होना चाहिए।

चित्रा 2. समान संभावना घनत्व। (खुद का विस्तार)

इसका मतलब यह है कि सी 1 / 0.2 = 5. के बराबर है। अर्थात्, इस रेंज के बाहर समान संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन f (x) = {5 है यदि 4.9.1x if5.1 और 0 है। एक समान संभावना घनत्व समारोह चित्र 2 में दिखाया गया है।

ध्यान दें कि एक ही चौड़ाई के अंतराल में (उदाहरण के लिए 0.02) संभावना केंद्र के समान है जो निरंतर चर L (टूथपिक लंबाई) की सीमा के अंत में है।

एक अधिक यथार्थवादी मॉडल निम्नलिखित की तरह एक संभावना घनत्व समारोह होगा:

चित्रा 3. गैर-समान संभावना घनत्व फ़ंक्शन। (खुद का विस्तार)

आकृति 3 में यह देखा जा सकता है कि 4.99 और 5.01 (चौड़ाई 0.02) के बीच टूथपिक्स खोजने की संभावना 4.90 और 4.92 (चौड़ाई 0.02) के बीच टूथपिक्स खोजने की तुलना में अधिक है।

संदर्भ

1. दीनोव, इवो। असतत यादृच्छिक चर और संभावना वितरण। से लिया गया: stat.ucla.edu
2. असतत और सतत यादृच्छिक चर। से लिया गया: ocw.mit.edu
3. असतत यादृच्छिक चर और संभावना वितरण। से लिया गया: होमपेज.divms.uiowa.edu
4. एच। पिश्रो संभावना का परिचय। से पुनर्प्राप्त: प्रायिकता course.com
5. मेंडेनहॉल, डब्ल्यू। 1978. प्रबंधन और अर्थशास्त्र के लिए सांख्यिकी। ग्रुपो संपादकीय Iberoamericana। 103-106।
6. यादृच्छिक चर समस्याओं और संभावना मॉडल। से पुनर्प्राप्त: ugr.es.
7. विकिपीडिया। लगातार बदलने वाला। Wikipedia.com से पुनर्प्राप्त
8. विकिपीडिया। सांख्यिकी चर। Wikipedia.com से पुनर्प्राप्त।