- रेखा और निर्देशक वेक्टर का समीकरण
- रेखा का समांतर समीकरण
- उदाहरण 1
- वेक्टर रूप में रेखा
- उदाहरण 2
- लाइन और निर्देशक वेक्टर का निरंतर रूप
- उदाहरण 3
- रेखा के समीकरण का सामान्य रूप
- उदाहरण 3
- रेखा के समीकरण का मानक रूप
- उदाहरण 4
- हल किया अभ्यास
- -अभ्यास 1
- उपाय
- -उपचार 2
- समाधान २
- संदर्भ
एक निर्देशक वेक्टर को एक ऐसा माना जाता है जो एक रेखा की दिशा को विमान या अंतरिक्ष में परिभाषित करता है। इसलिए, रेखा के समानांतर एक वेक्टर को इसका प्रत्यक्ष वेक्टर माना जा सकता है।
यह यूक्लिडियन ज्यामिति के एक स्वयंसिद्ध के लिए संभव है जो कहता है कि दो बिंदु एक रेखा को परिभाषित करते हैं। फिर इन दो बिंदुओं द्वारा गठित उन्मुख खंड भी उक्त पंक्ति के एक निर्देशक वेक्टर को परिभाषित करता है।
चित्रा 1. एक लाइन के निदेशक वेक्टर। (खुद का विस्तार)
लाइन (L) से संबंधित बिंदु P को देखते हुए और उस रेखा के एक निर्देशक वेक्टर u को देखते हुए, रेखा पूरी तरह से निर्धारित होती है।
रेखा और निर्देशक वेक्टर का समीकरण
चित्रा 2. रेखा और निर्देशक वेक्टर का समीकरण। (खुद का विस्तार)
निर्देशांक P के बिंदु P को देखते हुए: (Xo, I) और एक रेखा (L) के एक वेक्टर u निदेशक, निर्देशांक Q के प्रत्येक बिंदु Q: (X, Y) को संतुष्ट करना चाहिए कि वेक्टर PQ u के समानांतर है। यदि PQ यू के समानुपाती है तो यह अंतिम शर्त की गारंटी है:
PQ = t⋅ u
उपरोक्त अभिव्यक्ति में टी एक पैरामीटर है जो वास्तविक संख्याओं से संबंधित है।
यदि PQ और u के कार्टेशियन घटक लिखे गए हैं, तो उपरोक्त समीकरण निम्नानुसार लिखे गए हैं:
(एक्स-एक्सओ, वाई-यो) = टी a (ए, बी)
यदि वेक्टर समानता के घटकों को बराबर किया जाता है, तो समीकरणों के निम्नलिखित युग्म प्राप्त होते हैं:
X - Xo = a Yty Y - I = b.t
रेखा का समांतर समीकरण
लाइन (L) से संबंधित बिंदु के X और Y निर्देशांक जो एक समन्वय बिंदु (Xo, Yo) से होकर गुजरते हैं और निर्देशक वेक्टर u = (a, b) के समानांतर होते हैं, चर पैरामीटर t पर वास्तविक मान निर्दिष्ट करके निर्धारित किए जाते हैं:
{X = Xo + a;t; Y = I + b =t}
उदाहरण 1
पंक्ति के पैरामीट्रिक समीकरण के अर्थ को समझाने के लिए, हम निर्देशन वेक्टर के रूप में लेते हैं
यू = (ए, बी) = (2, -1)
और रेखा के ज्ञात बिंदु के रूप में बिंदु
पी = (एक्सओ, आई) = (1, 5)।
लाइन का पैरामीट्रिक समीकरण है:
{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1 =t; -∞
इस समीकरण के अर्थ को स्पष्ट करने के लिए, आकृति 3 को दर्शाया गया है, जहाँ पैरामीटर t अपना मान बदलता है और निर्देशांक का बिंदु Q (X, Y) लाइन पर अलग-अलग स्थिति लेता है।
चित्रा 3. पीक्यू = टी यू। (खुद का विस्तार)
वेक्टर रूप में रेखा
लाइन पर एक बिंदु P और उसके निदेशक वेक्टर u को देखते हुए, रेखा के समीकरण को वेक्टर रूप में लिखा जा सकता है:
ओक्यू = ओपी + λ। यू
उपरोक्त समीकरण में, Q कोई भी बिंदु है लेकिन रेखा से संबंधित है और λ एक वास्तविक संख्या है।
लाइन का वेक्टर समीकरण किसी भी संख्या में आयामों पर लागू होता है, यहां तक कि हाइपर-लाइन को भी परिभाषित किया जा सकता है।
निर्देशक वेक्टर u = (a, b, c) और एक बिंदु P = (Xo, Yo, Zo) के लिए त्रि-आयामी मामले में, लाइन से संबंधित एक सामान्य बिंदु Q = (X, Y, Z) के निर्देशांक है।:
(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ a (a, b, c)
उदाहरण 2
एक सीधी वेक्टर के रूप में फिर से पंक्ति पर विचार करें
यू = (ए, बी) = (2, -1)
और रेखा के ज्ञात बिंदु के रूप में बिंदु
पी = (एक्सओ, आई) = (1, 5)।
उक्त पंक्ति का सदिश समीकरण है:
(एक्स, वाई) = (1, 5) + λ 2 (2, -1)
लाइन और निर्देशक वेक्टर का निरंतर रूप
पैरामीट्रिक फॉर्म से शुरू करके, पैरामीटर λ को क्लियर करना और बराबर करना, हमारे पास है:
(एक्स-एक्सओ) / ए = (वाई-यो) / बी = (जेड-जेडओ) / सी
यह रेखा के समीकरण का सममित रूप है। ध्यान दें कि ए, बी और सी निदेशक वेक्टर के घटक हैं।
उदाहरण 3
उस रेखा पर विचार करें जिसमें निर्देशन वेक्टर के रूप में है
यू = (ए, बी) = (2, -1)
और रेखा के ज्ञात बिंदु के रूप में बिंदु
पी = (एक्सओ, आई) = (1, 5)। इसकी सममित आकृति का पता लगाएं।
पंक्ति का सममित या निरंतर रूप है:
(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)
रेखा के समीकरण का सामान्य रूप
XY समतल में रेखा के सामान्य रूप को निम्नलिखित संरचना के रूप में जाना जाता है:
A⋅X + B⋅Y = C
सममित रूप के लिए अभिव्यक्ति को सामान्य रूप में फिर से लिखा जा सकता है:
bX - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo
लाइन के सामान्य आकार के साथ तुलना करना यह है:
A = b, B = -a और C = boXo - a =Yo
उदाहरण 3
उस रेखा का सामान्य रूप ज्ञात करें जिसका निर्देशक वेक्टर u = (2, -1) है
और वह बिंदु P = (1, 5) से होकर गुजरता है।
सामान्य रूप खोजने के लिए हम दिए गए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं, हालांकि एक वैकल्पिक मार्ग चुना जाएगा।
हम निर्देशक वेक्टर u के दोहरे वेक्टर w को खोजते हुए शुरू करते हैं, जिसे यू के घटकों के आदान-प्रदान द्वारा प्राप्त वेक्टर के रूप में परिभाषित किया जाता है और दूसरे को -1 से गुणा किया जाता है:
डब्ल्यू = (-1, -2)
दोहरी वेक्टर w निर्देशक वेक्टर v के 90 ° दक्षिणावर्त घुमाव से मेल खाती है ।
हम स्केलरली w (X, Y) और (Xo, Yo) के साथ गुणा करते हैं और समान सेट करते हैं:
(-1, -2) • (एक्स, वाई) = (-1, -2) • (1, 5)
-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11
शेष अंत में:
एक्स + 2 वाई = 11
रेखा के समीकरण का मानक रूप
इसे XY समतल में रेखा के मानक रूप के रूप में जाना जाता है, जिसमें निम्न संरचना होती है:
Y = m +X + d
जहाँ m ढलान का प्रतिनिधित्व करता है और Y अक्ष के साथ अवरोधन करता है।
दिशा वेक्टर u = (a, b) को देखते हुए ढलान m b / a है।
Y d ज्ञात बिंदु Xo, I के लिए X और Y को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है:
I = (b / a) Xo + d।
संक्षेप में, m = b / a और d = I - (b / a) Xo
ध्यान दें कि ढलान एम निदेशक वेक्टर के y घटक और इसके x घटक के बीच का भागफल है।
उदाहरण 4
लाइन का मानक रूप ज्ञात करें जिसका निर्देशक वेक्टर u = (2, -1) है
और वह बिंदु P = (1, 5) से होकर गुजरता है।
m = -½ और d = 5 - (-½) 1 = 11/2
Y = (-1/2) X + 11/2
हल किया अभ्यास
-अभ्यास 1
लाइन (L) का एक निदेशक वेक्टर ज्ञात करें जो कि विमान (:) का चौराहा है: X - Y + Z = 3 और विमान (Ω): 2X + Y = 1।
फिर पंक्ति (L) के समीकरण का निरंतर रूप लिखें।
उपाय
विमान के समीकरण (Y) से निकासी Y: Y = 1 -2X
फिर हम विमान के समीकरण में स्थानापन्न करते हैं (the):
X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X
फिर हम एक्स को मापते हैं, हम पैरामीटर एक्स = λ का चयन करते हैं
इसका मतलब है कि लाइन में एक वेक्टर समीकरण दिया गया है:
(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)
जिसे फिर से लिखा जा सकता है:
(एक्स, वाई, जेड) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)
जिसके साथ यह स्पष्ट है कि वेक्टर यू = (1, -2, -3) लाइन (एल) का एक प्रत्यक्ष वेक्टर है।
लाइन का निरंतर रूप (L) है:
(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)
-उपचार 2
विमान को देखते हुए 5X + Y + 4Z = 5
और वह रेखा जिसका समीकरण X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2) है
ऐसे मान का निर्धारण करें कि समतल और रेखा समानांतर हों।
समाधान २
सदिश n = (5, a, 4) समतल के लिए एक वेक्टर सामान्य है।
वेक्टर u = (1, 3, -2) रेखा का एक प्रत्यक्ष वेक्टर है।
यदि रेखा विमान के समानांतर है, तो n • v = 0।
(5, ए, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 ए -8 = 0 ⇒ a = 1।
संदर्भ
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- लील, जेएम, और विलोरिया, एनजी (2005)। विमान विश्लेषणात्मक ज्यामिति। मेरेडा - वेनेजुएला: संपादकीय वेनेज़ोलाना सीए
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- प्रेनोवित्ज़, डब्ल्यू। 2012. ज्योमेट्री की मूल अवधारणा। रोवमैन एंड लिटिलफ़ील्ड।
- सुलिवन, एम। (1997)। Precalculation। पियर्सन शिक्षा।