सामान्य वेक्टर: गणना और उदाहरण - शारीरिक - 2025

सामान्य वेक्टर एक है कि विचाराधीन कुछ ज्यामितीय इकाई है, जो एक वक्र, एक हवाई जहाज या एक सतह, उदाहरण के लिए द्वारा किया जा सकता है करने के लिए खड़ा दिशा परिभाषित करता है।

यह एक गतिशील कण या अंतरिक्ष में कुछ सतह की स्थिति में एक बहुत ही उपयोगी अवधारणा है। निम्नलिखित ग्राफ में यह देखना संभव है कि मनमानी वक्र C के लिए सामान्य वेक्टर क्या है:

चित्रा 1. बिंदु पी पर वक्र के लिए सामान्य के साथ एक वक्र सी। स्रोत: Svjo

वक्र C पर एक बिंदु P पर विचार करें। बिंदु एक गतिशील कण का प्रतिनिधित्व कर सकता है जो C के आकार के पथ के साथ घूम रहा है। बिंदु P पर वक्र के स्पर्शरेखा को लाल रंग में खींचा गया है।

ध्यान दें कि वेक्टर T प्रत्येक बिंदु पर C से स्पर्शज्या है, जबकि वेक्टर N, T से लंबवत है और एक काल्पनिक वृत्त के केंद्र की ओर इंगित करता है, जिसका चाप C. सेक्टर्स का एक खंड है, मुद्रित पाठ में बोल्ड प्रकार में निरूपित किया जाता है, के लिए उन्हें अन्य गैर-वेक्टर मात्रा से अलग करें।

वेक्टर टी हमेशा इंगित करता है कि कण कहां घूम रहा है, इसलिए यह कण की गति को इंगित करता है। दूसरी ओर, वेक्टर एन हमेशा उस दिशा में इंगित करता है जिसमें कण घूम रहा है, इस तरह से यह वक्र सी की संक्षिप्तता को इंगित करता है।

एक विमान को सामान्य वेक्टर कैसे प्राप्त करें?

सामान्य वेक्टर आवश्यक रूप से एक इकाई वेक्टर नहीं है, अर्थात, एक वेक्टर जिसका मापांक 1 है, लेकिन यदि ऐसा है, तो इसे सामान्य इकाई वेक्टर कहा जाता है।

चित्र 2. बाईं ओर एक प्लेन P और दोनों वेक्टर्स जो सामान्य प्लेन हैं। अंतरिक्ष को निर्धारित करने वाले तीन दिशाओं में दाईं ओर इकाई वैक्टर। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स लेखक के लिए पेज देखें

कई अनुप्रयोगों में एक वक्र के बजाय एक विमान को वेक्टर को सामान्य रूप से जानना आवश्यक है। यह वेक्टर अंतरिक्ष में उक्त विमान के उन्मुखीकरण का खुलासा करता है। उदाहरण के लिए, आकृति के विमान P (पीला) पर विचार करें:

इस विमान में दो सामान्य वैक्टर होते हैं: एन ₁ और एन ₂ । एक या दूसरे का उपयोग उस संदर्भ पर निर्भर करेगा जिसमें विमान मिला है। यदि विमान का समीकरण ज्ञात हो तो विमान के सामान्य वेक्टर को प्राप्त करना बहुत सरल है:

यहां वेक्टर एन को लंबवत इकाई वैक्टर i, j और k के रूप में व्यक्त किया गया है, जो xyz स्थान को निर्धारित करने वाले तीन दिशाओं के साथ निर्देशित है, आंकड़ा 2 सही देखें।

वेक्टर उत्पाद से सामान्य वेक्टर

सामान्य वेक्टर को खोजने के लिए एक बहुत ही सरल प्रक्रिया दो वैक्टर के बीच वेक्टर उत्पाद के गुणों का उपयोग करती है।

जैसा कि ज्ञात है, तीन अलग-अलग बिंदु और एक-दूसरे के साथ नहीं मिलते हैं, एक विमान पी। निर्धारित करें। अब, दो वैक्टर यू और वी प्राप्त करना संभव है जो इन तीन बिंदुओं वाले विमान से संबंधित हैं।

वैक्टर प्राप्त होने के बाद, वेक्टर उत्पाद u x v एक ऑपरेशन होता है जिसका परिणाम एक वेक्टर होता है, जिसमें u और v द्वारा निर्धारित विमान के लंबवत होने का गुण होता है ।

इस वेक्टर को जाना जाता है, इसे N के रूप में दर्शाया जाता है, और इसमें से पिछले भाग में इंगित समीकरण के लिए विमान के समीकरण को निर्धारित करना संभव होगा:

एन = यू एक्स वी

निम्नलिखित आंकड़ा वर्णित प्रक्रिया को दिखाता है:

चित्रा 3. दो वैक्टर और उनके वेक्टर उत्पाद या क्रॉस के साथ, उस विमान का समीकरण जिसमें दो वैक्टर शामिल हैं, निर्धारित किया जाता है। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स मशीन-पठनीय लेखक उपलब्ध नहीं कराया गया। M.Romero Schmidtke ग्रहण किया (कॉपीराइट दावों के आधार पर)।

उदाहरण

बिंदु A (2,1,3) द्वारा निर्धारित विमान के समीकरण का पता लगाएं; बी (0,1,1); C (4.2.1)।

उपाय

यह अभ्यास ऊपर वर्णित प्रक्रिया को दिखाता है। 3 अंक होने से, उनमें से एक को दो वैक्टरों के सामान्य मूल के रूप में चुना जाता है जो इन बिंदुओं द्वारा परिभाषित विमान से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, बिंदु ए को मूल के रूप में सेट किया जाता है और वैक्टर एबी और एसी का निर्माण किया जाता है ।

वेक्टर AB वह वेक्टर है जिसका मूल बिंदु A है और जिसका समापन बिंदु B है। वेक्टर AB के निर्देशांक क्रमशः A के निर्देशांक से B के निर्देशांक को घटाते हुए निर्धारित किए जाते हैं:

हम वेक्टर एसी को खोजने के लिए उसी तरह आगे बढ़ते हैं:

वेक्टर उत्पाद की गणना

दो वैक्टर के बीच क्रॉस उत्पाद को खोजने के लिए कई प्रक्रियाएं हैं। यह उदाहरण एक एमनोमोनिक प्रक्रिया का उपयोग करता है जो यूनिट वैक्टर i, j और k के बीच वेक्टर उत्पादों को खोजने के लिए निम्नलिखित आकृति का उपयोग करता है :

चित्रा 4. यूनिट वैक्टर के बीच वेक्टर उत्पाद का निर्धारण करने के लिए ग्राफ। स्रोत: स्व बनाया

शुरू करने के लिए, यह याद रखना अच्छा है कि समानांतर वैक्टर के बीच वेक्टर उत्पाद शून्य हैं, इसलिए:

i x i = 0; j x j = 0; k x k = ०

और चूंकि वेक्टर उत्पाद भाग लेने वाले वैक्टर के लिए एक और वेक्टर लंबवत है, इसलिए हमारे पास लाल तीर की दिशा में आगे बढ़ रहा है:

यदि आपको तीर के विपरीत दिशा में जाना है तो एक संकेत (-) जोड़ें:

कुल में यूनिट वैक्टर i, j और k के साथ 9 वेक्टर उत्पाद बनाना संभव है, जिनमें से 3 अशक्त होंगे।

AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k) x (2 i + j -2 k) = -4 (i x i) -2 (i x j) +4 (i x k) +0 () j x i) + 0 (j x j) - 0 (j x k) - 4 (k x i) -2 (k x j) + 4 (k x k) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k

समतल का समीकरण

वेक्टर एन को पहले गणना की गई वेक्टर उत्पाद द्वारा निर्धारित किया गया है:

एन = 2 आई -8 जे -2 के

इसलिए a = 2, b = -8, c = -2, जो हवाई जहाज की मांग है:

D का मान निर्धारित किया जाना है। यह आसान है यदि ए, बी या सी में से किसी भी बिंदु का मान विमान के समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है। उदाहरण के लिए C चुनना:

x = 4; y = 2; z = 1

बाकी है:

संक्षेप में, जो नक्शा मांगा गया है:

जिज्ञासु पाठक आश्चर्यचकित हो सकता है कि यदि ए बी एक्स एसी करने के बजाय एसी एक्स ए बी करने के लिए चुना गया होता तो वही परिणाम प्राप्त होता । इसका उत्तर हां है, इन तीन बिंदुओं द्वारा निर्धारित विमान अद्वितीय है और इसमें दो सामान्य वैक्टर हैं, जैसा कि चित्र 2 में दिखाया गया है।

वैक्टर की उत्पत्ति के रूप में चयनित बिंदु के लिए, अन्य दो में से किसी को चुनने में कोई समस्या नहीं है।

संदर्भ

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