परिणामी वेक्टर: गणना, उदाहरण, अभ्यास - शारीरिक - 2025

जिसके परिणामस्वरूप वेक्टर वैक्टर जिसका परिणाम भी एक वेक्टर है के साथ एक ऑपरेशन के द्वारा प्राप्त की है। आम तौर पर यह ऑपरेशन दो या दो से अधिक वैक्टर का योग होता है, जिसके माध्यम से एक वेक्टर प्राप्त होता है जिसका प्रभाव बराबर होता है।

इस तरह, परिणामस्वरूप वेग, त्वरण या बल जैसे वैक्टर प्राप्त होते हैं। उदाहरण के लिए, जब कई बल F ₁, F ₂, F ₃,… एक शरीर पर कार्य करते हैं । इन सभी बलों का वेक्टर योग शुद्ध बल (परिणामी) के बराबर है, जो गणितीय रूप से निम्नानुसार व्यक्त किया जाता है:

एफ ₁ + एफ ₂ + एफ ₃ +… = एफ _आर या एफ _एन

चित्रा 1. बर्फ का वजन छत पर वितरित किया जाता है और इसकी क्रिया को उपयुक्त स्थान पर लागू एकल परिणामी बल द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। स्रोत: पिक्साबे

परिणामी वेक्टर, चाहे वह बल हो या कोई अन्य वेक्टर परिमाण, वेक्टर जोड़ के नियमों को लागू करने से पाया जाता है। जैसा कि वैक्टर के पास दिशा और ज्ञान के साथ-साथ एक संख्यात्मक मूल्य है, इसलिए परिणामस्वरूप वेक्टर होने के लिए मॉड्यूल को जोड़ना पर्याप्त नहीं है।

यह केवल उस मामले में सच है जहां शामिल वैक्टर एक ही दिशा में हैं (उदाहरण देखें)। अन्यथा, वेक्टर राशि विधियों का उपयोग करना आवश्यक है, जो मामले के आधार पर ज्यामितीय या विश्लेषणात्मक हो सकते हैं।

उदाहरण

परिणामी वेक्टर को खोजने के लिए ज्यामितीय तरीके अनुप्रस्थ विधि और समांतर चतुर्भुज विधि हैं।

जैसा कि विश्लेषणात्मक तरीकों के लिए, घटक विधि है, जिसके द्वारा वेक्टर के किसी भी प्रणाली के परिणामस्वरूप वेक्टर पाया जा सकता है, बशर्ते कि हमारे पास इसके कार्टेशियन घटक हैं।

दो वैक्टर जोड़ने के लिए ज्यामितीय विधियाँ

मान लीजिए कि वैक्टर यू और वी (हम उन्हें स्केल से अलग करने के लिए बोल्ड में निरूपित करते हैं)। आकृति 2 ए में) हमारे पास उन्हें विमान पर स्थित है। चित्रा 2 बी में) इसे सदिश v में इस तरह से अनुवादित किया गया है कि इसकी उत्पत्ति यू के अंत के साथ मेल खाती है । परिणामी वेक्टर पहले (u) के मूल से अंतिम (v) के सिरे तक जाता है:

चित्रा 2. वैक्टर के ग्राफिकल योग से परिणामी वेक्टर। स्रोत: स्व बनाया

इस मामले में परिणामी आंकड़ा एक त्रिकोण है (एक त्रिभुज 3-पक्षीय बहुभुज है)। यदि हमारे पास एक ही दिशा में दो वैक्टर हैं, तो प्रक्रिया समान है: एक के बाद एक वैक्टर को रखें और एक को ड्रा करें जो पहले की नोक या पूंछ से आखिरी के सिरे या छोर तक जाता है।

ध्यान दें कि जिस क्रम में यह प्रक्रिया की जाती है वह महत्वपूर्ण नहीं है, क्योंकि वैक्टर का योग सराहनीय है।

यह भी ध्यान दें कि इस मामले में परिणामी वेक्टर का मॉड्यूल (लंबाई या आकार) पिछले मामलों के विपरीत, जोड़ा हुआ वैक्टर के मॉड्यूल का योग है, जिसमें परिणामी वेक्टर का मॉड्यूल योग की तुलना में कम है। भागीदार मॉड्यूल।

समांतर चतुर्भुज विधि

यह विधि बहुत उपयुक्त है जब आपको दो वैक्टर को जोड़ने की आवश्यकता होती है, जिनके मूल बिंदु एक संयोग प्रणाली के मूल के साथ मेल खाते हैं, कहते हैं। मान लीजिए कि यह हमारे वैक्टर यू और वी (आंकड़ा 3 ए) के लिए मामला है:

चित्रा 3. फ़िरोज़ा नीले रंग में जिसके परिणामस्वरूप वेक्टर के साथ समांतर चतुर्भुज विधि का उपयोग करते हुए दो वैक्टर का योग। स्रोत: स्व बनाया

चित्रा 3 बी में) एक समानांतर चतुर्भुज का निर्माण यू और वी के समानांतर बिंदीदार रेखाओं की मदद से किया गया है । परिणामी वेक्टर का मूल O पर होता है और इसका अंत उस बिंदु पर होता है जहां बिंदीदार रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं। यह प्रक्रिया पूर्ववर्ती अनुभाग में वर्णित पूरी तरह से समतुल्य है।

अभ्यास

-अभ्यास 1

निम्नलिखित वैक्टरों को देखते हुए, अनुप्रस्थ विधि का उपयोग करके परिणामी वेक्टर खोजें।

चित्रा 4. बहुभुज विधि का उपयोग करके अपने परिणामी को खोजने के लिए क्षेत्र। व्यायाम 1. स्रोत: स्वयं का विस्तार।

उपाय

पारगमन विधि देखी गई विधियों में से पहली है। याद रखें कि वैक्टर का योग सराहनीय है (व्यसनों का क्रम राशि में परिवर्तन नहीं करता है), इसलिए आप किसी भी वैक्टर के साथ शुरुआत कर सकते हैं, उदाहरण के लिए यू (आंकड़ा 5 ए) या आर (आंकड़ा 5 बी):

चित्रा 5. बहुभुज विधि का उपयोग कर वैक्टर के योग। स्रोत: स्व बनाया

प्राप्त चित्रा एक बहुभुज है और परिणामस्वरूप वेक्टर (नीले रंग में) को आर कहा जाता है । यदि आप दूसरे वेक्टर से शुरू करते हैं, तो जो आकृति बनती है वह भिन्न हो सकती है, जैसा कि उदाहरण में दिखाया गया है, लेकिन परिणामी वेक्टर एक ही है।

व्यायाम २

निम्नलिखित आकृति में हम जानते हैं कि वैक्टर यू और वी के मॉड्यूल क्रमशः यू = 3 मनमानी इकाई और वी = 1.8 मनमाना इकाइयाँ हैं। सकारात्मक एक्स-अक्ष के साथ जो कोण यू बनाता है, वह 45 होता है, जबकि v 60- y- अक्ष के साथ बनाता है, जैसा कि चित्र में देखा गया है। परिणामी वेक्टर, परिमाण और दिशा ज्ञात करें।

उपाय

पूर्ववर्ती अनुभाग में परिणामी वेक्टर को समांतर चतुर्भुज विधि (आकृति में फ़िरोज़ा) लगाकर पाया गया था।

परिणामी वेक्टर को खोजने का एक आसान तरीका यह है कि अपने कार्टेशियन घटकों के संदर्भ में परिशिष्ट वैक्टर को व्यक्त करें, जो कि एक आसान कार्य है जब मापांक और कोण ज्ञात होते हैं, जैसे कि इस उदाहरण में वैक्टर:

यू _एक्स = यू। cos 45 cos = 3 x cos 45º = 2.12; u _y = u पाप 45 sin = 3x पाप 45º = 2.12

वी _एक्स = वी। पाप 60 sin = 1.8 x पाप 60º = 1.56; v _य = -व। cos 60 cos = -1.8 x cos 60º = - 0.9

वैक्टर यू और वी विमान से संबंधित वैक्टर हैं, इसलिए प्रत्येक में दो घटक होते हैं। वेक्टर यू पहले चतुर्थांश में है और इसके घटक सकारात्मक हैं, जबकि वेक्टर वी चौथे चतुर्थांश में है; इसका x घटक सकारात्मक है, लेकिन ऊर्ध्वाधर अक्ष पर इसका प्रक्षेपण नकारात्मक y अक्ष पर पड़ता है।

परिणामी वेक्टर के कार्टेशियन घटकों की गणना

परिणामी वेक्टर को उनके कार्टेशियन घटकों को प्राप्त करने के लिए बीजगणितीय रूप से संबंधित x और y घटकों को जोड़कर पाया जाता है:

आर _एक्स = 2.12 + 1.56 = 3.68

आर _y = 2.12 + (-0.9) = 1.22

कार्टेसियन घटकों को निर्दिष्ट किए जाने के बाद, वेक्टर पूरी तरह से जाना जाता है। परिणामी वेक्टर को कोष्ठक में संकेतन के साथ व्यक्त किया जा सकता है:

आर = <3.68; 1.22> मनमाना इकाइयाँ

ब्रैकेट नोटेशन का उपयोग विमान (या अंतरिक्ष में) से एक वेक्टर को अलग करने के लिए किया जाता है। परिणामी वेक्टर को विश्लेषणात्मक रूप से व्यक्त करने का दूसरा तरीका विमान में यूनिट वैक्टर i और j का उपयोग करके है (i, j और k अंतरिक्ष में):

R = 3.68 i + 1.22 j मनमानी इकाइयाँ

चूंकि परिणामी वेक्टर के दोनों घटक सकारात्मक हैं, वेक्टर आर पहले क्वाड्रंट के अंतर्गत आता है, जिसे पहले भी रेखांकन से पहले देखा जा चुका है।

परिणामी वेक्टर का परिमाण और दिशा

कार्टेशियन घटकों को जानने के बाद, R के परिमाण की गणना पाइथोगोरियन प्रमेय के माध्यम से की जाती है, क्योंकि सदिश R, इसके घटकों R _X और R के साथ मिलकर _और एक सही त्रिभुज बनाता है:

परिमाण या मॉड्यूल: आर = (3.68 ² + 1.22 ²) ^आधा = 3.88

एक संदर्भ के रूप में धनात्मक x अक्ष लेने वाली दिशा q: q = arctan (R _y / R _x) = arctg (1.22 / 3.68) = 18.3 positive

संदर्भ

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2. फिगेरोआ, डी। सीरीज: फिजिक्स फॉर साइंसेज एंड इंजीनियरिंग। मात्रा 1. काइनेमेटिक्स। 31-68।
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4. हिबेलर, आर। 2006. मैकेनिक्स फॉर इंजीनियर्स। स्थिर छठा संस्करण। कॉन्टिनेंटल पब्लिशिंग कंपनी। 15-53।
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