अंतरिक्ष में क्षेत्र: ग्राफ़, अनुप्रयोग, अभ्यास कैसे करें - शारीरिक - 2025

अंतरिक्ष में एक सदिश वह सब है जो x, y और z द्वारा दिए गए एक समन्वय प्रणाली द्वारा दर्शाया गया है। अधिकांश समय xy तल क्षैतिज सतह समतल होता है और z अक्ष ऊँचाई (या गहराई) का प्रतिनिधित्व करता है।

कार्टेशियन ने एक्स 1 में विभाजित 1 अक्षों को 8 क्षेत्रों में विभाजित किया, जिसे एक्स - वाई कुल्हाड़ियों ने विमान को 4 क्वाड्रंट में विभाजित किया। फिर हम 1 ओकटेंट, 2 डी ऑक्टेंट और इतने पर होंगे।

चित्रा 1. अंतरिक्ष में एक वेक्टर। स्रोत: स्व बनाया

चित्र 1 में अंतरिक्ष में सदिश v का प्रतिनिधित्व है। स्क्रीन के तल पर तीन आयामों के भ्रम को बनाने के लिए कुछ परिप्रेक्ष्य की आवश्यकता होती है, जो एक तिरछी दृष्टि खींचकर हासिल की जाती है।

एक 3D वेक्टर को ग्राफ़ करने के लिए, किसी को बिंदीदार रेखाओं का उपयोग करना चाहिए जो ग्रिड पर प्रक्षेपण या x सतह पर "छाया" v के निर्देशांक को निर्धारित करता है । यह प्रक्षेपण ओ पर शुरू होता है और हरे बिंदु पर समाप्त होता है।

एक बार वहां, आपको ऊर्ध्वाधर तक आवश्यक ऊँचाई (या गहराई) पर z के मान के अनुसार जारी रखना होगा, जब तक आप P तक नहीं पहुँच जाते। वेक्टर O से शुरू होता है और P पर समाप्त होता है, जो कि उदाहरण में 1 ओक्टेंट में है।

अनुप्रयोग

अंतरिक्ष में वैक्टर व्यापक रूप से यांत्रिकी और भौतिकी और इंजीनियरिंग की अन्य शाखाओं में उपयोग किए जाते हैं, क्योंकि हमारे चारों ओर की संरचनाओं को तीन आयामों में ज्यामिति की आवश्यकता होती है।

अंतरिक्ष में स्थिति वैक्टर का उपयोग वस्तुओं को एक बिंदु बिंदु के संबंध में करने के लिए किया जाता है जिसे OR मूल कहा जाता है। इसलिए, वे भी नेविगेशन में आवश्यक उपकरण हैं, लेकिन यह सब नहीं है।

बोल्ट, ब्रैकेट, केबल, स्ट्रट्स, और अधिक जैसी संरचनाओं पर अभिनय करने वाले बल प्रकृति में वेक्टर हैं और अंतरिक्ष में उन्मुख हैं। इसके प्रभाव को जानने के लिए, इसका पता (और इसके आवेदन का बिंदु भी) जानना आवश्यक है।

और अक्सर एक बल की दिशा को अंतरिक्ष में दो बिंदुओं को जानने के द्वारा जाना जाता है जो इसकी कार्रवाई की रेखा से संबंधित हैं। इस तरह से बल है:

एफ = एफ यू

कहाँ एफ परिमाण या बल का परिमाण है और यू इकाई वेक्टर (मॉड्यूल 1) कार्रवाई की रेखा के साथ निर्देशित है एफ ।

संकेतन और 3 डी वेक्टर प्रतिनिधित्व

इससे पहले कि हम कुछ उदाहरणों को हल करें, हम 3 डी वेक्टर संकेतन की संक्षिप्त समीक्षा करेंगे।

चित्रा 1 में उदाहरण में, वेक्टर v, जिसका मूल बिंदु ओ के साथ मेल खाता है और जिसका अंत बिंदु P है, में सकारात्मक xyz निर्देशांक हैं, जबकि y निर्देशांक नकारात्मक है। ये निर्देशांक हैं: x ₁, y ₁, z ₁, जो ठीक P के निर्देशांक हैं।

इसलिए यदि हमारे पास एक सदिश है जो मूल से जुड़ा हुआ है, जिसका प्रारंभ बिंदु O के साथ मेल खाता है, तो इसके निर्देशांक को इंगित करना बहुत आसान है, जो कि चरम बिंदु या P के बीच होगा। एक बिंदु और वेक्टर के बीच अंतर करने के लिए, हम इसका उपयोग करेंगे। अंतिम बोल्ड अक्षर और कोष्ठक, इस तरह:

v = <x ₁, y ₁, z ₁ >

जबकि बिंदु P को कोष्ठक के साथ निरूपित किया जाता है:

पी = (एक्स ₁, वाई ₁, जेड ₁)

एक अन्य प्रतिनिधित्व इकाई वैक्टर i, j और k का उपयोग करता है जो क्रमशः x, y और z अक्षों पर स्थान की तीन दिशाओं को परिभाषित करता है।

ये वैक्टर एक-दूसरे के लंबवत होते हैं और एक अलौकिक आधार बनाते हैं (चित्र 2 देखें)। इसका मतलब है कि एक 3D वेक्टर को उनके संदर्भ में लिखा जा सकता है:

v = v _x i + v _y j + v _z k

कोण और निदेशक वेक्टर एक वेक्टर के

चित्र 2 यह भी पता चलता निदेशक कोण गामा ₁, γ ₂ और γ ₃ वेक्टर कि वी एक्स, वाई और जेड अक्ष के साथ क्रमश: बनाता है। इन कोणों और वेक्टर के परिमाण को जानने के बाद, यह पूरी तरह से निर्धारित होता है। इसके अलावा, निदेशक कोण के कोसाइन निम्न संबंध को पूरा करते हैं:

(cos) ₁) ² + (cos _{2 2}) ² + (cos ² ₃) ² = 1

चित्रा 2. इकाई वैक्टर i, j और k अंतरिक्ष के 3 अधिमान्य दिशाओं का निर्धारण करते हैं। स्रोत: स्व बनाया

हल किया अभ्यास

-अभ्यास 1

चित्रा 2 में कोण, ₁, γ ₂ और the _{3 है} कि निर्देशांक अक्षों के साथ मापांक 50 के वेक्टर v क्रमशः हैं: 75.0º, 60.0º और 34.3º। इस वेक्टर के कार्टेशियन घटकों को ढूंढें और इकाई वैक्टर i, j, और k के संदर्भ में इसका प्रतिनिधित्व करें ।

उपाय

X- अक्ष पर वेक्टर v का प्रक्षेपण v _x = 50 है। cos 75 cos = 12,941। उसी तरह, y अक्ष पर v का प्रक्षेपण v _y = 50 cos 60 way = 25 है और अंत में z अक्ष पर v _z = 50 है। cos 34.3 41 = 41.3। अब v के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

v = 12.9 i + 25.0 j + 41.3 k

-उपचार 2

प्रत्येक केबल में तनाव का पता लगाएं, जो कि संतुलन में है, जो बाल्टी में है, यदि उसका वजन 30 है।

चित्रा 3. व्यायाम 2 के लिए तनाव आरेख।

उपाय

बाल्टी पर, मुक्त-शरीर आरेख इंगित करता है कि टी _डी (हरा) वजन डब्ल्यू (पीला) से दूर है, इसलिए टी _डी = डब्ल्यू = 30 एन।

नोड पर, वेक्टर T _D को नीचे की ओर सीधा खड़ा किया जाता है, फिर:

टी _डी = 30 (- के) एन।

शेष वोल्टेज को स्थापित करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

चरण 1: सभी बिंदुओं के निर्देशांक का पता लगाएं

A = (4.5,0,3) (A दीवार के तल पर है xz)

बी = (1.5,0,0) (बी एक्स-एक्स पर है)

C = (0, 2.5, 3) (C दीवार और z के समतल पर है)

D = (1.5, 1.5, 0) (D क्षैतिज xy समतल पर है)

चरण 2: अंत और शुरुआत के निर्देशांक घटाकर प्रत्येक दिशा में वैक्टर खोजें

डीए = <3; -1.5; 3>

डीसी = <-1.5; एक; 3>

DB = <0; -1.5; 0>

चरण 3: मॉड्यूल और यूनिट वैक्टर की गणना करें

एक इकाई वेक्टर को अभिव्यक्ति द्वारा प्राप्त किया जाता है: यू = आर / आर, आर (बोल्ड में) वेक्टर और आर (बोल्ड में नहीं) होने के कारण उक्त वेक्टर का मॉड्यूल है।

महंगाई भत्ते = (3 ² + (-1.5) ² + 3 ²) ^आधा = 4.5; डीसी = ((-1.5) ² + 1 ² + 3 ²) ^आधा = 3.5

u _DA = <3; -1.5; 3> 4.5 = <0.67; -0.33; 0.67>

यू _डीसी = <-1.5; एक; 3> 3.5 = <-0.43; 0.29; 0.86>

u _DB = <0; -एक; 0>

यू _डी = <0; 0; -1>

चरण 4: सभी तनावों को वैक्टर के रूप में व्यक्त करें

टी _डीए = टी _डीए यू _डीए = टी _डीए <0.67; -0.33; 0.67>

टी _डीसी = टी _डीसी यू _{डीसी =} टी _डीसी <-0.43; 0.29; 0.86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -एक; 0>

टी _डी = 30 <0; 0; -1>

चरण 5: स्थैतिक संतुलन स्थिति को लागू करें और समीकरणों की प्रणाली को हल करें

अंत में, स्थिर संतुलन की स्थिति को बाल्टी पर लागू किया जाता है, ताकि नोड पर सभी बलों का वेक्टर योग शून्य हो:

टी _डीए + टी _डीसी + टी _डीबी + टी _डी = ०

चूंकि तनाव अंतरिक्ष में हैं, इसलिए तनाव के प्रत्येक घटक (x, y, और z) के लिए तीन समीकरणों की एक प्रणाली होगी।

0.67 टी _डीए -0.43 टी _डीसी + 0 टी _डीबी = 0

-0.33 टी _डीए + 0.29 टी _डीसी - टी _डीबी = 0

0.67 टी _डीए + 0.86 टी _डीसी +0 टी _डीबी - 30 = 0

समाधान है: टी _डीए = 14.9 एन; टी _डीए = 23.3 एन; टी _डीबी = 1.82 एन

संदर्भ

1. बेडफोर्ड, 2000. ए। इंजीनियरिंग मैकेनिक्स: स्टेटिक्स। एडिसन वेस्ले। 38-52।
2. फिगेरोआ, डी। सीरीज: फिजिक्स फॉर साइंसेज एंड इंजीनियरिंग। मात्रा 1. काइनेमेटिक्स। 31-68।
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4. हिबेलर, आर। 2006. मैकेनिक्स फॉर इंजीनियर्स। स्थिर छठा संस्करण। कॉन्टिनेंटल पब्लिशिंग कंपनी। 15-53।
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