गैर-कॉपलनर वैक्टर: परिभाषा, शर्तें, अभ्यास - शारीरिक - 2025

गैर - समतलीय वैक्टर उन है कि एक ही विमान का हिस्सा नहीं है कर रहे हैं। दो मुक्त वैक्टर और एक बिंदु एक ही विमान को परिभाषित करते हैं। एक तीसरा वेक्टर उस विमान को साझा कर सकता है या नहीं भी कर सकता है, और यदि ऐसा नहीं करता है, तो वे गैर-कोपलानर वैक्टर हैं।

गैर-कोप्लानर वैक्टर को ब्लैकबोर्ड या शीट की तरह दो-आयामी स्थानों में नहीं दिखाया जा सकता है, क्योंकि उनमें से कुछ तीसरे आयाम में निहित हैं। उनका ठीक से प्रतिनिधित्व करने के लिए आपको परिप्रेक्ष्य का उपयोग करना होगा।

चित्रा 1. कोपलानर और गैर-कोपलानर वैक्टर। (खुद का विस्तार)

यदि हम आकृति 1 को देखते हैं, तो दिखाए गए सभी ऑब्जेक्ट स्क्रीन के विमान में सख्ती से हैं, हालांकि परिप्रेक्ष्य के लिए धन्यवाद हमारा मस्तिष्क एक विमान (पी) की कल्पना करने में सक्षम है जो इससे बाहर आता है।

उस समतल (P) पर वैक्टर r, s, u हैं, जबकि वैक्टर v और w उस समतल में नहीं हैं।

इसलिए वैक्टर आर, एस, यू एक ही विमान (पी) को साझा करने के बाद से एक दूसरे के लिए कोपलानर या कोपलानर हैं। वैक्टर वी और डब्ल्यू दिखाए गए अन्य वैक्टर में से किसी के साथ एक विमान साझा नहीं करते हैं, इसलिए वे गैर-कॉपलनर हैं।

कोपलानार वैक्टर और प्लेन का समीकरण

तीन-आयामी अंतरिक्ष में तीन बिंदु होने पर एक विमान को विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है।

मान लीजिए कि वे तीन बिंदु बिंदु A, बिंदु B और बिंदु C हैं जो विमान (P) को परिभाषित करते हैं। इन बिंदुओं के साथ दो वैक्टर एबी = यू और एसी = वी का निर्माण करना संभव है जो कि प्लेन (पी) के साथ निर्माण कॉपलनार द्वारा किया जाता है।

इन दोनों वैक्टरों का वेक्टर उत्पाद (या क्रॉस उत्पाद) उन दोनों के लिए एक तीसरे वेक्टर लंबवत (या सामान्य) के परिणामस्वरूप होता है और इसलिए विमान के लिए लंबवत (पी):

एन = यू एक्स वी => n ⊥ यू और एन ⊥ v => n ⊥ (पी)

किसी भी अन्य बिंदु जो विमान (पी) से संबंधित है, को संतुष्ट करना चाहिए कि वेक्टर ए क्यू वेक्टर एन के लंबवत है; यह कहने के बराबर है कि AQ के साथ n का डॉट उत्पाद (या डॉट उत्पाद) शून्य होना चाहिए:

n • AQ = 0 (*)

पिछली स्थिति यह कहने के बराबर है:

एक्यू • (यू एक्स वी) = 0

यह समीकरण सुनिश्चित करता है कि बिंदु Q विमान (P) से संबंधित है।

विमान का कार्टेशियन समीकरण

उपरोक्त समीकरण को कार्तीय रूप में लिखा जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम अंक A, Q और सामान्य वेक्टर n के घटकों के निर्देशांक लिखते हैं:

तो AQ के घटक हैं:

सदिश AQ को समतल (P) में समाहित करने की शर्त वह स्थिति (*) है जो अब इस प्रकार लिखी जाती है:

डॉट उत्पाद की गणना बनी हुई है:

यदि इसे विकसित किया गया है और इसे फिर से व्यवस्थित किया गया है:

पिछली अभिव्यक्ति एक प्लेन (P) का कार्टेशियन समीकरण है, जो कि P (P) से संबंधित वेक्टर के घटकों के एक फ़ंक्शन और एक बिंदु A (निर्देशांक) से संबंधित है।

तीन वैक्टर के लिए गैर-कॉपलनर होने की स्थिति

जैसा कि पिछले भाग में देखा गया है, स्थिति AQ • (u X v) = 0 इस बात की गारंटी देती है कि वेक्टर AQ u और v के लिए coplanar है ।

अगर हम वेक्टर AQ w को कहते हैं तो हम पुष्टि कर सकते हैं कि:

डब्ल्यू, यू और वी कोप्लानर हैं, यदि और केवल यदि डब्ल्यू • (यू एक्स वी) = ०।

गैर-कॉपलनरिटी की स्थिति

यदि तीन वैक्टर के ट्रिपल उत्पाद (या मिश्रित उत्पाद) शून्य से भिन्न हैं, तो वे तीन वैक्टर गैर-कोप्लानर हैं।

यदि w • (u X v) then 0 है तो वैक्टर u, v, और w गैर-कॉपलनार हैं।

यदि वैक्टर यू, वी और डब्ल्यू के कार्टेशियन घटकों को पेश किया जाता है, तो गैर-कोप्लानैरिटी की स्थिति को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ट्रिपल उत्पाद की एक ज्यामितीय व्याख्या है और तीन गैर-कोपलानर वैक्टर द्वारा उत्पन्न समानांतर चतुर्भुज की मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है।

चित्रा 2. तीन गैर-कोप्लानर वैक्टर एक समानांतर चतुर्भुज को परिभाषित करते हैं जिनकी मात्रा ट्रिपल उत्पाद का मॉड्यूल है। (खुद का विस्तार)

कारण निम्नानुसार है; जब गैर-कॉपलनर वैक्टर में से दो को सदिश रूप से गुणा किया जाता है, तो एक वेक्टर प्राप्त होता है जिसका परिमाण उस समानांतर चतुर्भुज का क्षेत्र है जिसे वे उत्पन्न करते हैं।

फिर जब यह वेक्टर तीसरे गैर-कोप्लानर वेक्टर द्वारा स्केलरली गुणा किया जाता है, तो हमारे पास विमान के लिए एक वेक्टर के लिए प्रक्षेपण होता है जो पहले दो उस क्षेत्र से गुणा करता है जो वे निर्धारित करते हैं।

दूसरे शब्दों में, हमारे पास तीसरे वेक्टर की ऊंचाई से पहले दो गुणा किए गए समानांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है।

गैर-कॉपलनरिटी की वैकल्पिक स्थिति

यदि आपके पास तीन वैक्टर हैं और उनमें से कोई भी अन्य दो के रैखिक संयोजन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, तो तीन वैक्टर गैर-कोपर्जर हैं। यदि तीन वैक्टर यू, वी और डब्ल्यू गैर-कॉपलनर हैं तो स्थिति:

α u + + v + = w = 0

यह केवल तभी संतुष्ट होता है जब α = 0, only = 0 और 0 = 0 हो।

हल किया अभ्यास

-अभ्यास 1

तीन वैक्टर हैं

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) और w = (-1, 2, z)

ध्यान दें कि वेक्टर w का z घटक अज्ञात है।

उन मानों की श्रेणी ज्ञात करें जो z ऐसे ले सकते हैं कि तीन वैक्टर की गारंटी है कि वे एक ही विमान को साझा न करें।

उपाय

w • (u X v) = -3 (z - ०) + ६ (४ z - ०) + २ (1 + १) = -३z + २४z + १ 21 = २१z + १ v

हम इस अभिव्यक्ति को मूल्य शून्य के बराबर सेट करते हैं

२१ z + १ 18 = ०

और हम z के लिए हल करते हैं

z = -18 / 21 = -6/7

यदि चर z ने मान -6/7 लिया तो तीन वैक्टर कोप्लानर होंगे।

तो z के मान जो गारंटी देते हैं कि वैक्टर गैर-कॉपलनार हैं वे निम्नलिखित अंतराल में हैं:

z z (-∈, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

-उपचार 2

निम्नलिखित आकृति में दिखाए गए समानांतर चतुर्भुज का आयतन ज्ञात कीजिए:

उपाय

चित्रा में दिखाए गए समानांतर चतुर्भुज की मात्रा का पता लगाने के लिए, समन्वय प्रणाली के मूल में तीन समवर्ती गैर-कोपलानर वैक्टर के कार्टेशियन घटकों को निर्धारित किया जाएगा। पहले वाला 4m का सदिश u है और X अक्ष के समानांतर है:

u = (4, 0, 0) मी

दूसरा एक्स 3 प्लेन के XY प्लेन में वेक्टर v है जो X एक्स के साथ 60 the बनता है:

v = (3 * cos 60º, 3 * पाप 60 0, 0) = (1.5, 2.6, 0.0) m

और तीसरा 5 मीटर का सदिश w है और जिसका XY तल में प्रक्षेपण X अक्ष के साथ 60 the है, इसके अलावा Z अक्ष के साथ 30 axis बनता है।

w = (5 * पाप 30º * कॉस 60º, 5 * पाप 30 sin * पाप 60 5, 5 * पाप 30º)

एक बार गणना किए जाने के बाद, हमारे पास: w = (1.25, 2.17, 2.5) मी।

संदर्भ

1. फिगेरोआ, डी। सीरीज: फिजिक्स फॉर साइंसेज एंड इंजीनियरिंग। मात्रा 1. काइनेमेटिक्स। 31-68।
2. शारीरिक। मॉड्यूल 8: वैक्टर। से पुनर्प्राप्त: frtl.utn.edu.ar
3. हिबेलर, आर। 2006. मैकेनिक्स फॉर इंजीनियर्स। स्थिर छठा संस्करण। महाद्वीपीय प्रकाशन कंपनी। 28-66।
4. मैकलीन, डब्ल्यू। शाउम सीरीज़। इंजीनियर्स के लिए मैकेनिक्स: स्टेटिक्स और डायनेमिक्स। तीसरा संस्करण। मैकग्रा हिल। 1-15।
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