मीन कोणीय वेग: परिभाषा और सूत्र, हल किए गए अभ्यास - शारीरिक - 2025

रोटेशन की औसत कोणीय गति को एक बिंदु के स्थिति वेक्टर के प्रति इकाई समय को घुमाए गए कोण के रूप में परिभाषित किया गया है जो परिपत्र गति का वर्णन करता है। एक सीलिंग फैन के ब्लेड्स (जैसे कि आकृति 1 में दिखाया गया है), सर्कुलर मोशन का अनुसरण करते हैं और उनके रोटेशन की औसत कोणीय गति को कोण को घुमाए गए कोण और उस कोण के बीच के भागफल के हिसाब से लिया जाता है।

घूर्णी गति का पालन करने वाले नियम कुछ हद तक ट्रांसलेशन के लिए परिचित लोगों के समान हैं। यात्रा की गई दूरी को मीटर में भी मापा जा सकता है, हालांकि कोणीय परिमाण विशेष रूप से प्रासंगिक हैं क्योंकि वे आंदोलन के विवरण की सुविधा प्रदान करते हैं।

चित्र 1. पंखे के ब्लेड में कोणीय वेग होता है। स्रोत: पिक्साबे

सामान्य तौर पर, ग्रीक अक्षरों का उपयोग कोणीय मात्राओं और लैटिन अक्षरों के लिए संबंधित रैखिक मात्राओं के लिए किया जाता है।

परिभाषा और सूत्र

आकृति 2 में एक परिपत्र पथ c पर एक बिंदु की गति को दर्शाया गया है। बिंदु P की स्थिति तात्कालिक t से मेल खाती है और उस तात्कालिक की कोणीय स्थिति to है।

तत्काल टी से, समय की अवधि.t होती है। उस अवधि में बिंदु की नई स्थिति P 'है और कोणीय स्थिति कोण Δϕ से बढ़ गई है।

चित्रा 2. एक बिंदु की परिपत्र गति। स्रोत: स्व बनाया

माध्य कोणीय वेग ω वह कोण है जो प्रति इकाई समय पर यात्रा करता है, ताकि भागफल Δϕ / t t और t +:t के बीच मतलब कोणीय वेग का प्रतिनिधित्व करेगा:

चूंकि कोण को रेडियन और सेकंड में समय में मापा जाता है, मतलब कोणीय वेग के लिए इकाई रेड / एस है। यदि हम कोणीय वेग की गणना केवल तत्काल टी पर करना चाहते हैं, तो हमें Δt Δ0 के अनुपात ➡ / Δt की गणना करनी होगी।

वर्दी का घूमना

एक घूर्णी गति एक समान है यदि किसी भी पल में देखा जाता है, तो जिस कोण पर यात्रा की जाती है, वह उसी अवधि में समान होता है। यदि घुमाव एक समान है, तो किसी भी तात्कालिक कोण पर कोणीय वेग का मतलब कोणीय वेग से होता है।

एक समान घूर्णी गति में वह समय जिसमें एक पूर्ण क्रांति की जाती है, अवधि कहलाती है और T द्वारा निरूपित की जाती है।

इसके अलावा, जब एक पूर्ण मोड़ बनाया जाता है, तो यात्रा किया गया कोण 2 so होता है, इसलिए एक समान घुमाव में कोणीय वेग the अवधि T से संबंधित है, निम्न सूत्र द्वारा:

एक समान घुमाव की आवृत्ति f को घुमावों की संख्या और उनके माध्यम से जाने में लगने वाले समय के बीच भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है, अर्थात यदि N समय में बदल जाते हैं तो आवृत्ति होगी:

एफ = एन / =t

चूंकि एक मोड़ (N = 1) समय टी (अवधि) में यात्रा की जाती है, इसलिए निम्न संबंध प्राप्त किया जाता है:

एफ = 1 / टी

यही है, एक समान रोटेशन में कोणीय वेग संबंध के माध्यम से आवृत्ति से संबंधित है:

π = 2π π एफ

कोणीय गति और रैखिक गति के बीच संबंध

रैखिक गति वी, यात्रा की दूरी और इसे यात्रा करने में लगने वाले समय के बीच भागफल है। आकृति 2 में यात्रा की गई दूरी चाप की लंबाई है।

आर्क travels, यात्रा कोण ius और त्रिज्या r के आनुपातिक है, निम्नलिखित संबंध पूरा हो रहा है:

・S = r ・ ・

बशर्ते कि rad रेडियंस में मापा जाता है।

यदि हम पिछली अभिव्यक्ति को समय व्यतीत करके विभाजित करते हैं तो हम प्राप्त करेंगे:

(Δs / Δt) = r Δϕ (Δ / /t)

पहले सदस्य की भागफल रैखिक गति है और दूसरे सदस्य की भागफल का मतलब कोणीय वेग है:

v = r ・ ・

हल किया अभ्यास

-अभ्यास 1

चित्रा 1 में दिखाए गए सीलिंग फैन ब्लेड की युक्तियां 5 मी / एस की गति के साथ चलती हैं और ब्लेड की त्रिज्या 40 सेमी है।

इन आंकड़ों के साथ, गणना करें: i) पहिया का औसत कोणीय वेग, ii) एक सेकंड में पहिया को मोड़ने की संख्या, iii) सेकंड में अवधि।

उपाय

i) रैखिक गति v = 5 m / s है।

त्रिज्या r = 0.40 मीटर है।

रैखिक गति और कोणीय गति के बीच के संबंध से हम बाद को हल करते हैं:

v = r / ω => ω = v / r = (5 m / s) / (0.40 मीटर) = 12.57 rad / s

ii) = = 2π = f => f = π / 2 (= (12.57 रेड / सेकेंड) / (2 2 रेड) = 2 टर्न / s

iii) प्रत्येक मोड़ के लिए T = 1 / f = 1 / (2 टर्न / एस) = 0.5 s।

-उपचार 2

एक खिलौना घुमक्कड़ 2 मीटर की त्रिज्या के साथ एक परिपत्र ट्रैक पर चलता है। 0 पर इसकी कोणीय स्थिति 0 रेड है, लेकिन समय के बाद टी कोणीय स्थिति है

= (t) = 2 = t।

इस डेटा के साथ

i) निम्नलिखित समय अंतराल में औसत कोणीय वेग की गणना करें;; और अंत में चूक में।

ii) भाग i के परिणामों के आधार पर) आंदोलन के बारे में क्या कहा जा सकता है?

iii) भाग i से समय की समान अवधि में औसत रैखिक गति निर्धारित करें)

iv) किसी भी पल के लिए कोणीय वेग और रैखिक गति ज्ञात करें।

उपाय

i) माध्य कोणीय वेग निम्न सूत्र द्वारा दिया गया है:

हम यात्रा किए गए कोण और प्रत्येक अंतराल में बीतने वाले समय की चूक की गणना करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

अंतराल 1: ϕ = ϕ (0.5s) - 0.0 (0.0s) = 2 (rad / s) * 0.5 s - 2 (rad / s) * 0.0s = 1.0 rad

Δt = 0.5 s - 0.0s = 0.5 s

ω = 0.5 / Δt = 1.0rad / 0.5s = 2.0 रेड / एस

अंतराल 2: ϕ = ϕ (1.0s) - 0.5 (0.5s) = 2 (rad / s) * 1.0s - 2 (rad / s) * 0.5s = 1.0 rad

Δt = 1.0s - 0.5s = 0.5s

ω = 0.5 / Δt = 1.0rad / 0.5s = 2.0 रेड / एस

अंतराल 3: ϕ = ϕ (1.5s) - 1.0 (1.0s) = 2 (rad / s) * 1.5s - 2 (rad / s) * 1.0s = 1.0 rad

Δt = 1.5s - 1.0s = 0.5s

ω = 0.5 / Δt = 1.0rad / 0.5s = 2.0 रेड / एस

अंतराल 4: ϕ = ϕ (1.5s) - 0.0 (0.0s) = 2 (रेड / एस) * 1.5s - 2 (रेड / एस) * 0.0s = 3.0 रेड

Δt = 1.5s - 0.0s = 1.5s

ω = 1.5 / Δt = 3.0rad / 1.5s = 2.0 रेड / एस

ii) पिछले परिणामों को देखते हुए, जिसमें अलग-अलग समय अंतराल में औसत कोणीय वेग की गणना की गई थी, हमेशा एक ही परिणाम प्राप्त करना, यह इंगित करता है कि यह एक समान परिपत्र गति है। हालांकि, ये परिणाम निर्णायक नहीं हैं।

निष्कर्ष सुनिश्चित करने का तरीका एक मनमाना अंतराल के लिए माध्य कोणीय वेग की गणना करना है: ϕ = ϕ (t ') -' (t) = 2 * t '- 2 * t = 2 * (t'-t)

Δt = t '- t

ω = t / Δt = 2 * (t'-t) / (t'-t) = 2.0 रेड / एस

इसका मतलब यह है कि खिलौना घुमक्कड़ के पास किसी भी समय की अवधि में 2 रेड / एस का निरंतर औसत कोणीय वेग है। लेकिन अगर आप तात्कालिक कोणीय वेग की गणना करते हैं तो आप आगे बढ़ सकते हैं:

इसकी व्याख्या यह है कि हर समय खिलौना कार में निरंतर कोणीय वेग = 2 रेड / एस होता है।

संदर्भ

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