कर्टोसिस: परिभाषा, प्रकार, सूत्र, इसके लिए क्या है, उदाहरण - दुदास - 2025

कुकुदता या कुकुदता एक सांख्यिकीय एक यादृच्छिक चर के प्रायिकता वितरण चिह्नित करने के लिए इस्तेमाल किया पैरामीटर, केंद्रीय उपाय चारों ओर मूल्यों की एकाग्रता की डिग्री का संकेत देती है। इसे "पीक ग्रेड" के रूप में भी जाना जाता है।

यह शब्द ग्रीक "कर्टोस" से आया है जिसका अर्थ है धनुषाकार, इसलिए कुर्तोसिस वितरण की ओर इशारा या चपटे होने की डिग्री को इंगित करता है, जैसा कि निम्नलिखित आंकड़े में देखा गया है:

चित्रा 1. कुर्तोसिस के विभिन्न प्रकार। स्रोत: एफ। ज़पाटा

एक यादृच्छिक चर के लगभग सभी मान मध्य माध्य जैसे क्लस्टर करते हैं। लेकिन कुछ वितरणों में, मूल्यों को दूसरों की तुलना में अधिक फैलाया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप चापलूसी या स्लिमर घटता है।

परिभाषा

कर्टोसिस प्रत्येक आवृत्ति वितरण का एक संख्यात्मक मान है, जो कि अर्थ के आसपास के मूल्यों की एकाग्रता के अनुसार तीन समूहों में वर्गीकृत किया गया है:

- लेप्टोकोर्टिक: जिसमें मान के आस-पास मूल्यों को बहुत अधिक क्लस्टर किया जाता है, इसलिए वितरण काफी इंगित किया जाता है और पतला (आंकड़ा 1, बाएं)।

- मेसोकोएर्टिक: इसमें माध्य (केंद्र में आंकड़ा 1) के आसपास मूल्यों की एक मध्यम एकाग्रता है।

- प्लाटिकुआर्टिका: इस वितरण का एक व्यापक आकार है, क्योंकि मान अधिक फैलाव करते हैं (दाईं ओर आंकड़ा 1)।

सूत्र और समीकरण

कर्टोसिस का कोई भी मूल्य हो सकता है, बिना सीमाओं के। इसकी गणना डेटा को डिलीवर करने के तरीके के आधार पर की जाती है। प्रत्येक मामले में प्रयुक्त संकेतन निम्नलिखित है:

-कारण की क्षमता: जी ₂

-अर्थमितिक माध्य: X या x बार के साथ

-एक i-th मान: x _i

-विस्तृत विचलन::

डेटा की संख्या: एन

-इ-वें मान की आवृत्ति: च _i

-क्लास ब्रांड: mx _i

इस अंकन के साथ, हम कुर्तोसिस को खोजने के लिए कुछ सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले सूत्र प्रस्तुत करते हैं:

- आंकड़ों की प्रस्तुति के अनुसार कर्टोसिस

डेटा को फ़्रीक्वेंसी में समूहीकृत या समूहीकृत नहीं किया जाता है

डेटा अंतराल में समूहीकृत

अतिरिक्त कुपोषण

फिशर के लक्ष्यीकरण गुणांक या फिशर के माप को भी कहा जाता है, इसका उपयोग सामान्य वितरण के साथ अध्ययन के तहत वितरण की तुलना करने के लिए किया जाता है।

जब अतिरिक्त कुर्टोसिस 0 होता है, तो हम एक सामान्य वितरण या गॉसियन बेल की उपस्थिति में होते हैं। इस तरह, जब भी किसी वितरण के अतिरिक्त कर्टोसिस की गणना की जाती है, हम वास्तव में सामान्य वितरण के साथ तुलना कर रहे हैं।

दोनों अनियंत्रित और पूल किए गए डेटा के लिए, फिशर की ओर इशारा करते हुए गुणांक, जिसे K द्वारा दर्शाया गया है:

के = जी ₂ - 3

अब, यह दिखाया जा सकता है कि सामान्य वितरण का कुरूपता 3 है, इसलिए यदि फिशर गुणांक को 0 या 0 के करीब है और एक मेसोकेरिटिक वितरण है। यदि K> 0 वितरण लेप्टोकर्टिक है और यदि K <0 है तो यह platicúrtic है।

कर्टोसिस किसके लिए है?

कर्टोसिस एक परिवर्तनशीलता का एक उपाय है जिसका उपयोग वितरण के आकारिकी को चिह्नित करने के लिए किया जाता है। इस तरह, समान औसत और समान फैलाव (मानक विचलन द्वारा दिए गए) के साथ सममित वितरण की तुलना की जा सकती है।

परिवर्तनशीलता के उपाय होने से यह सुनिश्चित होता है कि औसत विश्वसनीय है और वितरण में विविधता को नियंत्रित करने में मदद करता है। एक उदाहरण के रूप में, आइए इन दो स्थितियों को देखें।

3 विभागों का वेतन

मान लीजिए कि निम्नलिखित ग्राफ एक ही कंपनी के 3 विभागों के वेतन वितरण को दर्शाता है:

चित्रा 2. विभिन्न कुर्तोसिस के साथ तीन वितरण व्यावहारिक स्थितियों को चित्रित करते हैं। (फैनी ज़पाटा द्वारा तैयार)

कर्व ए सभी में सबसे पतला है, और इसके रूप से यह अनुमान लगाया जा सकता है कि उस विभाग के अधिकांश वेतन मीन के बहुत करीब हैं, इसलिए अधिकांश कर्मचारियों को समान मुआवजा मिलता है।

दूसरी ओर, विभाग बी में, वेज वक्र एक सामान्य वितरण का अनुसरण करता है, क्योंकि वक्र मेसोक्यूरिक है, जिसमें हम मानते हैं कि मजदूरी यादृच्छिक रूप से वितरित की गई थी।

और अंत में हमारे पास वक्र सी है जो बहुत सपाट है, एक संकेत है कि इस विभाग में वेतन रेंज दूसरों की तुलना में बहुत व्यापक है।

एक परीक्षा के परिणाम

अब मान लीजिए कि चित्र 2 में तीन वक्र एक ही विषय के छात्रों के तीन समूहों पर लागू परीक्षा के परिणामों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

जिस समूह की रेटिंग को लेप्टोकर्टिक वक्र द्वारा दर्शाया गया है वह काफी सजातीय है, बहुमत ने औसत या करीबी रेटिंग प्राप्त की।

यह भी संभव है कि परिणाम परीक्षण में कम या ज्यादा समान कठिनाई वाले प्रश्नों के कारण था।

दूसरी ओर, समूह C के परिणाम समूह में एक बड़ी विविधता का संकेत देते हैं, जिसमें संभवतः औसत छात्र, कुछ अधिक उन्नत छात्र और निश्चित रूप से एक ही कम चौकस होते हैं।

या इसका मतलब यह हो सकता है कि परीक्षण के सवालों में बहुत अलग डिग्री थी।

कर्व बी mesocutic है, संकेत है कि परीक्षण के परिणाम एक सामान्य वितरण का पालन करते हैं। यह आमतौर पर सबसे अक्सर होने वाला मामला है।

कुर्तोसिस का काम किया उदाहरण

1 से 10 के पैमाने के साथ, छात्रों के एक समूह को भौतिकी परीक्षा में प्राप्त निम्नलिखित ग्रेड के लिए फिशर के स्कोरिंग गुणांक का पता लगाएं:

उपाय

निम्नलिखित अभिव्यक्ति का उपयोग गैर-समूहीकृत डेटा के लिए किया जाएगा, जो पूर्ववर्ती खंडों में दिए गए हैं:

के = जी ₂ - 3

यह मान आपको वितरण के प्रकार को जानने की अनुमति देता है।

जी _{2 की} गणना करने के लिए इसे क्रमबद्ध तरीके से करना आसान है, कदम से कदम, क्योंकि कई अंकगणितीय संचालन को हल करना होगा।

चरण 1

सबसे पहले, ग्रेड के औसत की गणना की जाती है। एन = 11 डेटा हैं।

चरण 2

मानक विचलन पाया जाता है, जिसके लिए इस समीकरण का उपयोग किया जाता है:

σ = 1.992

या आप एक तालिका भी बना सकते हैं, जो अगले चरण के लिए भी आवश्यक है और जिसमें योग के प्रत्येक शब्द की आवश्यकता होगी, (x _i - X), फिर (x _i - X) ² और फिर (x _i - X) ⁴:

चरण 3

जी _{2 के} लिए सूत्र के अंश में इंगित राशि को बाहर ले जाएं । इसके लिए, पिछली तालिका के दाहिने कॉलम के परिणाम का उपयोग किया जाता है:

- (x _i - X) ⁴ = 290.15

इस प्रकार:

जी ₂ = (1/11) x 290.15 / 1.992 ⁴ = 1.675

फिशर का इंगित गुणांक है:

के = जी ₂ - 3 = 1.675 - 3 = -1.325

ब्याज क्या है, परिणाम का संकेत है, जो नकारात्मक होने के नाते, एक platicúrtic वितरण से मेल खाती है, जिसे व्याख्या किया जा सकता है जैसा कि पिछले उदाहरण में किया गया था: संभवतः यह एक विषम पाठ्यक्रम है जिसमें विभिन्न डिग्री के छात्र या परीक्षा के प्रश्न थे कठिनाई के विभिन्न स्तरों पर।

एक्सेल जैसी स्प्रेडशीट का उपयोग इन प्रकार की समस्याओं के समाधान की सुविधा प्रदान करता है और वितरण को रेखांकन करने का विकल्प भी प्रदान करता है।

संदर्भ

1. लेविन, आर। 1988. प्रशासकों के लिए सांख्यिकी। 2। संस्करण। शागिर्द कक्ष।
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