परिपत्र क्रमपरिवर्तन जब वे कर रहे हैं, एक सेट के सभी तत्वों का समूहों के विभिन्न प्रकार हैं जा हलकों में व्यवस्था की। इस प्रकार के क्रमचय में क्रम मायने रखता है और तत्वों को दोहराया नहीं जाता है।
उदाहरण के लिए, मान लें कि आप चार के माध्यम से अंकों के अलग-अलग सरणियों की संख्या जानना चाहते हैं, प्रत्येक संख्या को एक रोम्बस के कोने पर रखें। ये कुल 6 व्यवस्थाएँ होंगी:
यह भ्रमित नहीं होना चाहिए कि संख्या एक निश्चित स्थिति के रूप में सभी मामलों में राइम्बस की ऊपरी स्थिति में है। सरणी के रोटेशन से परिपत्र क्रमपरिवर्तन नहीं बदले जाते हैं। निम्नलिखित एक या एक ही क्रमपरिवर्तन हैं:
डेमो और सूत्र
एक रोम्बस के कोने पर स्थित विभिन्न 4-अंकीय वृत्ताकार सरणियों के उदाहरण में, सरणियों की संख्या (6) इस तरह पाई जा सकती है:
1- किसी भी चार अंक को वर्टिकल और एडवांस में से किसी एक पर अगले बिंदु पर शुरू किया जाता है। (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह दक्षिणावर्त या वामावर्त है)
2- दूसरा शीर्ष चुनने के लिए 3 विकल्प बचे हैं, फिर तीसरे शीर्ष का चयन करने के लिए 2 विकल्प हैं और निश्चित रूप से, चौथे शीर्ष के लिए केवल एक चयन विकल्प है।
3- इस प्रकार, प्रत्येक (प्रत्येक - 4 - 1) पी (4 - 1) द्वारा निरूपित परिपत्र क्रमांक की संख्या, प्रत्येक स्थिति में चयन विकल्पों के उत्पाद द्वारा प्राप्त की जाती है:
(४ - १) पी (४ - १) = ३ * २ * १ = ६ विभिन्न ४-अंकीय वृत्ताकार सरणियाँ।
सामान्य तौर पर, एक सेट के सभी n तत्वों के साथ प्राप्त किए जा सकने वाले वृत्ताकार क्रमांक:
(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2)… (2) (1)
ध्यान दें कि (n - 1)! इसे n भाज्य के रूप में जाना जाता है और संख्या (n - 1) से सभी संख्याओं के गुणनफल को समावेशी संख्या के रूप में संक्षिप्त करता है।
उदाहरण
उदाहरण 1
6 लोगों को एक गोल मेज पर बैठने के कितने अलग-अलग तरीके हैं?
आप विभिन्न तरीकों की संख्या ज्ञात करना चाहते हैं कि 6 लोग एक गोल मेज के चारों ओर बैठ सकते हैं।
बैठने के तरीकों का एन ° = (6 - 1) पी (6 - 1) = (6 - 1)!
बैठने के तरीकों की संख्या = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 विभिन्न तरीके
उदाहरण 2
5 लोगों को कितने अलग-अलग तरीकों से खुद को एक पेंटागन के कोने पर ढूंढना पड़ता है?
एक पेंटागन के प्रत्येक कोने पर 5 लोगों के रहने के तरीकों की संख्या मांगी गई है।
स्थित होने के तरीकों का एन ° = (5 - 1) पी (5 - 1) = (5 - 1)!
स्थित होने के तरीकों का एन ° = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 विभिन्न तरीके
हल किया अभ्यास
- अभ्यास 1
एक जौहरी 12 अलग-अलग कीमती पत्थरों को एक घड़ी के घंटे के बिंदुओं में रखने के लिए प्राप्त करता है जिसे वह एक यूरोपीय देश के शाही घराने की ओर से तैयार कर रहा है।
क) घड़ी पर पत्थरों को व्यवस्थित करने के लिए उसके कितने अलग-अलग तरीके हैं?
b) अगर 12 बजे जाने वाला पत्थर अनूठा है तो उसके कितने अलग-अलग आकार हैं?
ग) यदि 12 बजे का पत्थर अद्वितीय है और अन्य तीन कार्डिनल बिंदुओं पर पत्थर, 3, 6 और 9 बजे पत्थर कितने अलग हैं; क्या तीन विशेष पत्थर हैं, जिनका आदान-प्रदान किया जा सकता है, और बाकी घंटों को बाकी पत्थरों से सौंपा गया है?
समाधान
क) घड़ी की परिधि पर सभी पत्थरों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या का अनुरोध किया गया है; अर्थात्, सभी उपलब्ध पत्थरों को शामिल करने वाली परिपत्र व्यवस्था की संख्या।
घड़ी पर व्यवस्था की संख्या = (१२ - १) पी (१२ - १) = (१२ - १)!
घड़ी पर फिक्स की संख्या = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
घड़ी पर व्यवस्था की संख्या = 39976800 विभिन्न आकार
ख) वह सोचता है कि आदेश देने के कितने अलग-अलग तरीके मौजूद हैं, यह जानते हुए कि 12 बजे का पत्थर अद्वितीय और स्थिर है; अर्थात्, शेष 11 पत्थरों को शामिल करने वाली परिपत्र व्यवस्था की संख्या।
घड़ी पर व्यवस्था की संख्या = (११ - १) पी (११ - १) = (११ - १)!
घड़ी पर फिक्स की संख्या = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
घड़ी पर व्यवस्था की संख्या = 3,628,800 विभिन्न आकार
ग) अंत में, सभी पत्थरों को ऑर्डर करने के तरीकों की संख्या 12 बजे के पत्थरों को छोड़कर मांगी गई है, जो 3, 6 और 9 पत्थरों के लिए निर्धारित है, जिसमें 3 पत्थरों को एक दूसरे को सौंपा जाना है; वह है, ३! व्यवस्था की संभावनाएं, और शेष 8 पत्थरों को शामिल करने वाली परिपत्र व्यवस्था की संख्या।
घड़ी में फिक्स की संख्या = 3! * = 3! * (8–1)!
घड़ी में व्यवस्था की संख्या = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
घड़ी पर व्यवस्था की संख्या = 241920 विभिन्न आकार
- व्यायाम २
एक कंपनी की संचालन समिति में 8 सदस्य होते हैं और वे एक अंडाकार टेबल पर मिलते हैं।
a) समिति के पास तालिका के चारों ओर व्यवस्था के कितने रूप हैं?
ख) मान लीजिए कि अध्यक्ष किसी समिति की व्यवस्था में मेज के शीर्ष पर बैठता है, तो समिति के बाकी हिस्सों के कितने अलग-अलग रूप हैं?
ग) मान लीजिए कि उप-राष्ट्रपति और सचिव किसी भी समिति की व्यवस्था में अध्यक्ष के दोनों ओर बैठते हैं। व्यवस्था के कितने अलग-अलग रूप बाकी समिति के पास हैं?
समाधान
क) हम अंडाकार तालिका के चारों ओर समिति के 12 सदस्यों की व्यवस्था करने के लिए विभिन्न तरीकों की संख्या का पता लगाना चाहते हैं।
समिति व्यवस्थाओं का एन ° = (१२ - १) पी (१२ - १) = (१२ - १)!
समिति की व्यवस्था का एन ° = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
समिति का एन ° व्यवस्था = 39976800 विभिन्न रूपों
ख) चूंकि समिति की कुर्सी एक निश्चित स्थिति में है, इसलिए अंडाकार तालिका के आसपास के शेष 11 समिति सदस्यों को आदेश देने के तरीकों की संख्या मांगी गई है।
समिति व्यवस्थाओं का एन ° = (११ - १) पी (११ - १) = (११ - १)!
समिति की व्यवस्था का एन ° = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
समिति की व्यवस्था का एन ° = 3,628,800 विभिन्न रूप
ग) अध्यक्ष एक निश्चित स्थिति में स्थित होता है और दोनों तरफ उपाध्यक्ष और सचिव होते हैं, जिसमें व्यवस्था की दो संभावनाएँ होती हैं: दाईं ओर उपाध्यक्ष और बाईं ओर सचिव या बाईं ओर उपाध्यक्ष और दाईं ओर सचिव। फिर आप अंडाकार तालिका के चारों ओर समिति के शेष 9 सदस्यों को आदेश देने के विभिन्न तरीकों की संख्या का पता लगाना चाहते हैं और उप-राष्ट्रपति और सचिव की व्यवस्था के 2 रूपों से गुणा करें।
समिति व्यवस्थाओं का एन ° = 2 * = 2 *
समिति की व्यवस्था का एन = 2 * (7 * * * ६ * ५ * ४ * ३ * २ * १)
समिति की एन ° व्यवस्था = 80640 विभिन्न रूपों
संदर्भ
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