सैद्धांतिक संभावना: इसे कैसे प्राप्त करें, उदाहरण, अभ्यास - दुदास - 2025

एक ई घटना के होने की सैद्धांतिक (या लाप्लास) संभावना जो कि एक नमूना स्थान S से संबंधित है, जिसमें सभी घटनाओं में घटना की समान संभावना होती है, को गणितीय संकेतन में परिभाषित किया जाता है: P (E) = n (E) / एन (एस)

जहां P (E) संभाव्यता है, जिसे ई के संभावित परिणामों की कुल संख्या के बीच भागफल के रूप में दिया जाता है, जिसे हम n (E) कहते हैं, नमूना स्थान S में संभावित परिणामों की कुल संख्या N (S) से विभाजित है।

चित्रा 1. छह-पक्षीय मरने के टॉस में, सैद्धांतिक संभावना है कि शीर्ष पर तीन-बिंदीदार सिर ss है। स्रोत: पिक्साबे

सैद्धांतिक संभावना 0 और 1 के बीच की वास्तविक संख्या है, लेकिन इसे अक्सर प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है, इस स्थिति में संभावना 0% और 100% के बीच का मान होगी।

किसी घटना की संभावना की गणना करना कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण है, जैसे कि ट्रेडिंग, बीमा कंपनियां, जुआ, और बहुत कुछ।

सैद्धांतिक संभावना कैसे प्राप्त करें?

एक उदाहरण के मामले में रैफल्स या लॉटरी का मामला है। मान लीजिए कि एक स्मार्टफोन को रफ करने के लिए 1,000 टिकट जारी किए गए हैं। जैसा कि ड्राइंग यादृच्छिक रूप से किया जाता है, किसी भी टिकट में विजेता होने की समान संभावना होती है।

इस संभावना को खोजने के लिए कि कोई व्यक्ति जो 81 नंबर के साथ टिकट खरीदता है वह विजेता है, निम्नलिखित सैद्धांतिक संभावना गणना की जाती है:

P (1) = 1 / 1,000 = 0.001 = 0.1%

उपरोक्त परिणाम की व्याख्या निम्न प्रकार से की गई है: यदि ड्रा को कई बार अनंत बार दोहराया गया था, तो हर 1,000 बार टिकट 81 का चयन किया जाएगा, औसतन, एक बार।

यदि किसी कारण से किसी को सभी टिकट प्राप्त होते हैं, तो वे निश्चित रूप से पुरस्कार जीतेंगे। यदि आपके पास सभी टिकट हैं, तो पुरस्कार जीतने की संभावना निम्नानुसार है:

पी (1,000) = 1,000 / 1,000 = 1 = 100%।

यही है, कि संभावना 1 या 100% का मतलब है कि यह पूरी तरह से निश्चित है कि यह परिणाम होगा।

अगर कोई 500 टिकट का मालिक है तो उसके जीतने या हारने की संभावना एक समान है। इस मामले में पुरस्कार जीतने की सैद्धांतिक संभावना निम्नानुसार है:

पी (500) = 500 / 1,000 = ½ = 0.5 = 50%।

जो कोई टिकट नहीं खरीदता है उसके पास जीतने का कोई मौका नहीं है और उसकी सैद्धांतिक संभावना निम्नानुसार है:

P (0) = 0 / 1,000 = 0 = 0%

उदाहरण

उदाहरण 1

आपके पास एक तरफ एक सिक्का और दूसरी तरफ एक ढाल या मुहर है। जब सिक्का उछाला जाता है, तो सैद्धांतिक संभावना क्या है कि यह सिर आएगा?

पी (चेहरा) = एन (चेहरा) / एन (चेहरा + ढाल) = 0.5 = 0.5 = 50%

परिणाम की व्याख्या निम्न प्रकार से की जाती है: यदि भारी संख्या में टॉस किए जाते हैं, तो औसतन हर 2 टॉस्क में से एक सिर के ऊपर आएगा।

प्रतिशत के संदर्भ में, परिणाम की व्याख्या यह है कि बड़ी संख्या में टॉस करके, उनमें से 100 में से औसतन 50 का परिणाम होगा।

उदाहरण 2

एक बॉक्स में 3 नीले पत्थर, 2 लाल पत्थर और 1 हरा होता है। सैद्धांतिक संभावना क्या है कि जब आप एक संगमरमर को बॉक्स से बाहर निकालेंगे तो यह लाल होगा?

चित्रा 2. रंगीन पत्थर के निष्कर्षण की संभावना। स्रोत: एफ। ज़पाटा

यह लाल होने की संभावना है:

पी (लाल) = अनुकूल मामलों की संख्या / संभावित मामलों की संख्या

यानी:

पी (लाल) = लाल पत्थर की संख्या / कुल पत्थर की संख्या

अंत में, संभावना है कि एक लाल संगमरमर खींचा गया है:

पी (लाल) = 2/6 = ⅓ = 0.3333 = 33.33%

जबकि संभावना है कि जब एक हरे रंग की संगमरमर ड्राइंग है:

पी (हरा) = ⅙ = 0.1666 = 16.66%

अंत में, एक अंधे निष्कर्षण में नीले संगमरमर को प्राप्त करने की सैद्धांतिक संभावना है:

पी (नीला) = 3/6 = ½ = 0.5 = 50%

यही है, प्रत्येक 2 प्रयासों के लिए परिणाम उनमें से एक में नीला और दूसरे प्रयास में एक और रंग होगा, इस आधार पर कि निकाले गए संगमरमर को बदल दिया गया है और परीक्षण की संख्या बहुत अधिक है, बहुत बड़ी है।

अभ्यास

अभ्यास 1

इस संभावना को निर्धारित करें कि एक मरते हुए रोल को 4 के बराबर या उससे कम मूल्य मिलेगा।

उपाय

इस घटना की संभावना की गणना करने के लिए, सैद्धांतिक संभाव्यता की परिभाषा लागू की जाएगी:

P (of4) = अनुकूल मामलों की संख्या / संभावित मामलों की संख्या

P (835) = 5/6 = = 83.33%

व्यायाम २

इस संभावना को खोजें कि एक सामान्य छह-पक्षीय मरने के लगातार दो समय पर, 5 2 बार रोल करेगा।

उपाय

इस अभ्यास का उत्तर देने के लिए, सभी संभावनाओं को दिखाने के लिए एक तालिका बनाएं। पहला अंक पहले मरने का परिणाम बताता है और दूसरा अंक दूसरे का परिणाम।

सैद्धांतिक संभाव्यता की गणना करने के लिए हमें संभावित मामलों की कुल संख्या जानने की आवश्यकता है, इस मामले में, जैसा कि पिछली तालिका से देखा जा सकता है, 36 संभावनाएं हैं।

तालिका को देखने के साथ, यह भी माना जा सकता है कि लगातार दो लॉन्च होने वाली घटनाओं के अनुकूल मामलों की संख्या 5 है, केवल 1 है, रंग के साथ हाइलाइट किया गया है, इसलिए यह घटना होने की संभावना है:

पी (5 x 5) = 1/36।

यह परिणाम सैद्धांतिक संभाव्यता के गुणों में से एक का उपयोग करके भी आ सकता है, जो बताता है कि दो स्वतंत्र घटनाओं की संयुक्त संभावना उनकी व्यक्तिगत संभावनाओं का उत्पाद है।

इस मामले में संभावना है कि पहले टॉस 5 रोल होगा ability। दूसरा टॉस पहले से पूरी तरह से स्वतंत्र है, इसलिए दूसरे में 5 को रोल करने की संभावना भी completely है। तो संयुक्त संभावना है:

पी (5 × 5) = पी (5) पी (5) = (1/6) (1/6) = 1/36।

व्यायाम ३

इस संभावना को ढूंढें कि 2 से कम संख्या को पहले टॉस पर रोल किया गया है और 2 से अधिक नंबर को दूसरे पर रोल किया गया है।

उपाय

फिर से, संभावित घटनाओं की एक तालिका बनानी होगी, जिसमें पहली फेंक 2 से कम और दूसरी 2 से अधिक हो।

कुल में कुल 36 में से 4 संभावनाएँ हैं। अर्थात्, इस घटना की संभावना है:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0.1111 = 11.11%

संभावना प्रमेय का उपयोग करना जो बताता है:

एक ही परिणाम प्राप्त होता है:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0.1111 = 11.11%

इस प्रक्रिया के साथ प्राप्त मूल्य पिछले परिणाम के साथ, संभाव्यता के सैद्धांतिक या शास्त्रीय परिभाषा के माध्यम से मेल खाता है।

व्यायाम ४

क्या संभावना है कि दो पासा को घुमाते समय मानों का योग 7 हो।

उपाय

इस मामले में समाधान खोजने के लिए, संभावनाओं की एक तालिका तैयार की गई है जिसमें ऐसे मामले हैं जो इस शर्त को पूरा करते हैं कि मानों का योग 7 रंग में इंगित किया गया है।

तालिका को देखते हुए, 6 संभावित मामलों को गिना जा सकता है, इसलिए संभावना है:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0.1666 = 16.66%

संदर्भ

1. Canavos, जी। 1988. संभाव्यता और सांख्यिकी: अनुप्रयोग और विधियाँ। मैकग्रा हिल।
2. डेवोर, जे। 2012. इंजीनियरिंग और विज्ञान के लिए संभावना और सांख्यिकी। 8। संस्करण। Cengage।
3. लिप्सकुट्ज़, एस। 1991. शेम सीरीज़: प्रायिकता। मैकग्रा हिल।
4. ओब्रेगॉन, आई। 1989. संभाव्यता का सिद्धांत। संपादकीय लिमूसा।
5. Walpole, R. 2007. इंजीनियरिंग और विज्ञान के लिए संभावना और सांख्यिकी। पियर्सन।