आंकड़ों में रैंक क्या है? (उदाहरण के साथ) - दुदास - 2025

सीमा, सीमा या आयाम, सांख्यिकी में, अधिकतम मूल्य और एक नमूना या एक जनसंख्या से डेटा का एक सेट के न्यूनतम मूल्य के बीच का अंतर (घटाव) है। यदि सीमा को R अक्षर से दर्शाया जाता है और डेटा को x द्वारा दर्शाया जाता है, तो सीमा का सूत्र बस है:

आर = एक्स _{अधिकतम} - एक्स _मिनट

जहां x _{अधिकतम} डेटा का अधिकतम मूल्य है और x _मिनट न्यूनतम है।

चित्रा 1. पिछली दो शताब्दियों में काडीज़ की जनसंख्या के अनुरूप डेटा की सीमा। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

अवधारणा डेटा के परिवर्तनशीलता की जल्दी से सराहना करने के लिए फैलाव के एक सरल उपाय के रूप में बहुत उपयोगी है, क्योंकि यह अंतराल के विस्तार या लंबाई को इंगित करता है जहां ये पाए जाते हैं।

उदाहरण के लिए, मान लें कि एक विश्वविद्यालय में 25 पुरुष प्रथम वर्ष के इंजीनियरिंग छात्रों के समूह की ऊंचाई मापी गई है। समूह में सबसे लंबा छात्र 1.93 मीटर और सबसे छोटा 1.67 मीटर है। ये नमूना डेटा के चरम मूल्य हैं, इसलिए उनका मार्ग है:

आर = 1.93 - 1.67 मीटर = 0.26 मीटर या 26 सेमी।

इस समूह में छात्रों की ऊंचाई को इस सीमा के साथ वितरित किया जाता है।

फायदे और नुकसान

रेंज है, जैसा कि हमने पहले कहा था, डेटा कैसे फैलता है इसका एक उपाय है। एक छोटी सी सीमा इंगित करती है कि डेटा कम या ज्यादा है और स्प्रेड कम है। दूसरी ओर, एक बड़ी सीमा यह संकेत देती है कि डेटा अधिक फैला हुआ है।

सीमा की गणना के फायदे स्पष्ट हैं: यह बहुत आसान और तेज़ है, क्योंकि यह एक साधारण अंतर है।

इसकी भी वही इकाइयाँ हैं, जिनके साथ यह काम करता है और अवधारणा किसी भी पर्यवेक्षक के लिए व्याख्या करना बहुत आसान है।

इंजीनियरिंग छात्रों की ऊंचाई के उदाहरण में, यदि सीमा 5 सेमी थी, तो हम कहेंगे कि छात्र लगभग सभी एक ही आकार के हैं। लेकिन 26 सेमी की सीमा के साथ, हम तुरंत मान लेते हैं कि नमूने में सभी मध्यवर्ती ऊंचाइयों के छात्र हैं। क्या यह धारणा हमेशा सही है?

फैलाव के माप के रूप में सीमा का नुकसान

अगर हम ध्यान से देखें, तो हो सकता है कि हमारे 25 इंजीनियरिंग छात्रों के नमूने में, उनमें से केवल 1.93 का माप हो और शेष 24 की ऊँचाई 1.67 मीटर के करीब हो।

और फिर भी सीमा समान है, हालांकि इसके विपरीत पूरी तरह से संभव है: कि बहुमत की ऊंचाई लगभग 1.90 मीटर है और केवल एक 1.67 मीटर है।

किसी भी मामले में, डेटा का वितरण काफी अलग है।

फैलाव की माप के रूप में सीमा के नुकसान हैं क्योंकि यह केवल चरम मूल्यों का उपयोग करता है और अन्य सभी को अनदेखा करता है। चूंकि अधिकांश जानकारी खो गई है, इसलिए आपको पता नहीं है कि नमूना डेटा कैसे वितरित किया जाता है।

एक अन्य महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि नमूने की सीमा कभी कम नहीं होती है। यदि हम अधिक जानकारी जोड़ते हैं, अर्थात हम अधिक डेटा पर विचार करते हैं, तो सीमा बढ़ जाती है या समान रहती है।

और किसी भी मामले में, यह केवल उपयोगी है जब छोटे नमूनों के साथ काम किया जाता है, तो बड़े नमूनों में फैलाव के उपाय के रूप में इसका एकमात्र उपयोग अनुशंसित नहीं है।

क्या किया जाना चाहिए यह फैलाव के अन्य उपायों की गणना के साथ पूरक करने के लिए है जो कुल आंकड़ों द्वारा प्रदान की गई जानकारी को ध्यान में रखते हैं: इंटरक्वेर्टाइल रेंज, विचरण, मानक विचलन और भिन्नता का गुणांक।

इंटरक्वेर्टाइल रेंज, चतुर्थक और काम किया उदाहरण

हमने महसूस किया है कि फैलाव के माप के रूप में सीमा की कमजोरी यह है कि यह केवल डेटा वितरण के चरम मूल्यों का उपयोग करता है, दूसरों को छोड़ देता है।

इस असुविधा से बचने के लिए, चतुर्थक का उपयोग किया जाता है: तीन मान जिन्हें स्थिति उपायों के रूप में जाना जाता है।

वे अनियंत्रित डेटा को चार भागों में वितरित करते हैं (अन्य व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले स्थिति उपाय डिकिले और प्रतिशताइल हैं)। ये हैं इसकी विशेषताएं:

-पहली बार चतुर्थक क्यू ₁ डेटा का मूल्य है जैसे कि उन सभी का 25% क्यू ₁ से कम है ।

-दूसरा चतुर्थक क्यू ₂ वितरण का माध्यिका है, जिसका अर्थ है कि डेटा का आधा (50%) इस मूल्य से कम है।

-दरअसल, तीसरी चतुर्थांश Q ₃ इंगित करता है कि 75% डेटा Q ₃ से कम है ।

फिर, इंटरक्वेर्टाइल रेंज या इंटरक्वेर्टाइल रेंज को डेटा के तीसरे चतुर्थक क्यू ₃ और पहले चतुर्थक क्यू ₁ के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है:

अंतरवर्ती सीमा = आर _क्यू = क्यू _३ - क्यू _१

इस तरह, आर _क्यू की सीमा चरम मूल्यों से प्रभावित नहीं होती है। इस कारण से, तिरछे वितरण से निपटने के लिए इसका उपयोग करना उचित है, जैसे कि ऊपर वर्णित बहुत लंबा या बहुत छोटा।

- चतुर्थक की गणना

उनकी गणना करने के कई तरीके हैं, यहां हम एक का प्रस्ताव करेंगे, लेकिन किसी भी मामले में आदेश संख्या "एन _ओ " को जानना आवश्यक है, जो कि वह जगह है जो संबंधित चतुर्थक वितरण में व्याप्त है।

यही है, उदाहरण के लिए यदि Q ₁ से मेल खाने वाला शब्द दूसरा, तीसरा या चौथा और इसी तरह वितरण है।

पहला चतुर्थांश

एन _या (क्यू ₁) = (एन + 1) / 4

दूसरा चतुर्थक या मध्यमा

एन _या (क्यू ₂) = (एन + 1) / 2

तीसरी चौपाई

एन _या (क्यू ₃) = 3 (एन + 1) / ४

जहां N डेटा की संख्या है।

मध्यमान वह मान है जो वितरण के बीच में सही है। यदि डेटा की संख्या विषम है, तो इसे खोजने में कोई समस्या नहीं है, लेकिन अगर यह भी है, तो दो केंद्रीय मान एक बनने के लिए औसत हैं।

आदेश संख्या की गणना हो जाने के बाद, इन तीन नियमों में से एक का पालन किया जाता है:

-यदि कोई दशमलव नहीं है, तो वितरण में संकेतित डेटा खोजा जाता है और यह मांगी गई चतुर्थांश होगा।

-जब क्रम संख्या दो के बीच आधी हो जाती है, तो पूर्णांक भाग द्वारा दर्शाया गया डेटा निम्न डेटा के साथ औसत होता है, और परिणाम संगत चतुर्थांश होता है।

-किसी अन्य मामले में, यह निकटतम पूर्णांक के लिए गोल है और यह चतुर्थक की स्थिति होगी।

काम का उदाहरण

0 से 20 के पैमाने पर, 16 गणित के छात्रों के एक समूह ने मिडटर्म परीक्षा में निम्नलिखित अंक (अंक) अर्जित किए:

16, 10, 12, 8, 9, 15, 18, 20, 9, 11, 1, 13, 17, 9, 10, 14

खोजें:

a) डेटा की रेंज या रेंज।

b) चतुर्थांश Q ₁ और Q _{3 के} मान

c) इंटरक्वेर्टाइल रेंज।

चित्र 2. क्या इस गणित परीक्षा के प्राप्तांकों में इतनी अधिक परिवर्तनशीलता है? स्रोत: पिक्साबे

का हल

मार्ग को खोजने के लिए पहली बात यह है कि बढ़ते हुए या घटते क्रम में डेटा को ऑर्डर करना है। उदाहरण के लिए आपके पास बढ़ते क्रम में:

1, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20

शुरुआत में दिए गए सूत्र का उपयोग करना: आर = एक्स _{अधिकतम} - एक्स _मिनट

आर = 20 - 1 अंक = 19 अंक।

परिणाम के अनुसार, इन रेटिंगों में एक बड़ा फैलाव है।

समाधान b

एन = 16

एन _या (क्यू ₁) = (एन + 1) / ४ = (१६ + १) / ४ = १4/४ = ४.२५

यह दशमलव के साथ एक संख्या है, जिसका पूर्णांक भाग 4 है। फिर हम वितरण पर जाते हैं, हम चौथे स्थान पर रहने वाले डेटा की तलाश करते हैं और इसका मान पांचवें स्थान के साथ औसत होता है। चूंकि वे दोनों 9 हैं, औसत भी 9 है और इसलिए:

क्यू ₁ = 9

अब हम Q ₃ को खोजने के लिए प्रक्रिया को दोहराते हैं:

N _या (Q ₃) = 3 (N + 1) / 4 = 3 (16 +1) / 4 = 12.75

फिर से यह एक दशमलव है, लेकिन चूंकि यह आधा रास्ता नहीं है, यह 13. के लिए गोल है। चतुर्थांश मांगी गई तेरहवें स्थान पर है और है:

क्यू ₃ = 16

समाधान c

आर _क्यू = क्यू ₃ - क्यू _१ = १६ - ९ = - अंक।

जैसा कि हम देख सकते हैं, यह खंड a) में गणना की गई डेटा की सीमा से बहुत छोटा है, क्योंकि न्यूनतम स्कोर 1 अंक था, बाकी से बहुत अधिक मूल्य।

संदर्भ

1. बेरेनसन, एम। 1985. प्रबंधन और अर्थशास्त्र के लिए सांख्यिकी। Interamericana SA
2. Canavos, जी। 1988. संभाव्यता और सांख्यिकी: अनुप्रयोग और विधियाँ। मैकग्रा हिल।
3. डेवोर, जे। 2012. इंजीनियरिंग और विज्ञान के लिए संभावना और सांख्यिकी। 8। संस्करण। Cengage।
4. चतुर्थांश के उदाहरण। से पुनर्प्राप्त: matematicas10.net।
5. लेविन, आर। 1988. प्रशासकों के लिए सांख्यिकी। 2। संस्करण। शागिर्द कक्ष।
6. Walpole, R. 2007. इंजीनियरिंग और विज्ञान के लिए संभावना और सांख्यिकी। पियर्सन।