नियम Sarrus 3 × 3 निर्धारकों के परिणाम की गणना करने के लिए प्रयोग किया जाता है। इनका उपयोग रेखीय समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है और पता लगाया जाता है कि क्या वे संगत हैं।
संगत प्रणालियां समाधान प्राप्त करना आसान बनाती हैं। वे यह निर्धारित करने के लिए भी उपयोग किए जाते हैं कि क्या वैक्टर के सेट रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और वेक्टर स्थान का आधार बनाते हैं।
ये अनुप्रयोग मैट्रिसेस की अक्षमता पर आधारित हैं। यदि एक मैट्रिक्स नियमित है, तो इसका निर्धारक 0. से भिन्न है। यदि यह एकवचन है, तो इसका निर्धारक 0. के बराबर है। निर्धारक की गणना केवल वर्ग मैट्रिक्स में की जा सकती है।
किसी भी क्रम के मैट्रिक्स की गणना करने के लिए, लाप्लास प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है। यह प्रमेय हमें उच्च आयामों के मेट्रिसेस को सरल बनाने की अनुमति देता है, छोटे निर्धारकों के सारांश में जो हम मुख्य मैट्रिक्स से विघटित होते हैं।
यह बताता है कि मैट्रिक्स का निर्धारक प्रत्येक पंक्ति या स्तंभ के उत्पादों के योग के बराबर होता है, जो उसके सहायक मैट्रिक्स के निर्धारक का समय होता है।
यह निर्धारकों को कम करता है ताकि डिग्री n का एक निर्धारक n-1 का n निर्धारक बने। यदि हम इस नियम को क्रमिक रूप से लागू करते हैं, तो हम आयाम 2 (2 × 2) या 3 (3 × 3) के निर्धारक प्राप्त कर सकते हैं, जहां इसकी गणना बहुत आसान है।
सररस शासन
पियरे फ्रेडरिक सर्रस 19 वीं सदी के फ्रांसीसी गणितज्ञ थे। उनके अधिकांश गणितीय ग्रंथ, समीकरणों को हल करने के तरीकों और विविधताओं की गणना पर आधारित हैं, संख्यात्मक समीकरणों के भीतर।
अपने एक ग्रंथ में, उन्होंने यांत्रिकी में सबसे जटिल पहेलियों में से एक को हल किया। सरकीकृत टुकड़ों की समस्याओं को हल करने के लिए, सररस ने वैकल्पिक आयताकार आंदोलनों के परिवर्तन को एक समान परिपत्र आंदोलनों में पेश किया। इस नई प्रणाली को सर्रस तंत्र के रूप में जाना जाता है।
इस गणितज्ञ को सबसे अधिक प्रसिद्धि देने वाला शोध वह था जिसमें उन्होंने निर्धारकों की गणना का एक नया तरीका पेश किया था, "नूवेल्स मीथोड्स ला ला रिज्यूशन डेस एचुएशन" लेख में (समीकरणों को हल करने के लिए नया तरीका, जिसे प्रकाशित किया गया था) वर्ष 1833. रैखिक समीकरणों को हल करने के इस तरीके को सररस के नियम के रूप में जाना जाता है।
सररस का नियम हमें 3 × 3 मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने की अनुमति देता है, बिना लैपल के प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता के बिना, बहुत सरल और अधिक सहज विधि का परिचय देता है। सररस के नियम के मूल्य की जांच करने के लिए, हम आयाम 3 के किसी भी मैट्रिक्स को लेते हैं:
इसके निर्धारक की गणना इसके मुख्य विकर्णों के उत्पाद का उपयोग करके की जाएगी, उलटे विकर्णों के उत्पाद को घटाकर। यह इस प्रकार होगा:
सररस का नियम हमें निर्धारक के विकर्णों की गणना करते समय बहुत आसान दृष्टि प्राप्त करने की अनुमति देता है। मैट्रिक्स के पीछे पहले दो कॉलम जोड़कर इसे सरल बनाया जाएगा। इस प्रकार, यह अधिक स्पष्ट रूप से देखा जाता है कि उत्पाद की गणना के लिए इसके मुख्य विकर्ण कौन से हैं और व्युत्क्रम वाले हैं।
इस छवि के माध्यम से हम सारस के नियम के आवेदन को देख सकते हैं, हम प्रारंभिक मैट्रिक्स के ग्राफिक प्रतिनिधित्व के नीचे पंक्ति 1 और 2 को शामिल करते हैं। इस तरह, मुख्य विकर्ण तीन विकर्ण हैं जो पहले दिखाई देते हैं।
बदले में तीन रिवर्स विकर्ण, वे हैं जो पहले पीछे दिखाई देते हैं।
इस तरह, विकर्ण अधिक दृश्य तरीके से दिखाई देते हैं, निर्धारक के संकल्प को जटिल किए बिना, यह पता लगाने की कोशिश करते हैं कि मैट्रिक्स के कौन से तत्व प्रत्येक विकर्ण से संबंधित हैं।
जैसा कि यह छवि में दिखाई देता है, हम विकर्णों को चुनते हैं और प्रत्येक फ़ंक्शन के परिणामी उत्पाद की गणना करते हैं। नीले रंग में दिखाई देने वाले विकर्ण वे हैं जो जोड़ते हैं। इनके योग के लिए, हम उन विकर्णों के मूल्य को घटाते हैं जो लाल रंग में दिखाई देते हैं।
संपीड़न को आसान बनाने के लिए, हम बीजगणितीय शब्दों और उपमानों का उपयोग करने के बजाय एक संख्यात्मक उदाहरण का उपयोग कर सकते हैं।
यदि हम कोई 3 × 3 मैट्रिक्स लेते हैं, उदाहरण के लिए:
सर्रस के नियम को लागू करने के लिए, और इसे अधिक दृश्य तरीके से हल करने के लिए, हमें क्रमशः पंक्ति 1 और 2 को पंक्ति 4 और 5 के रूप में शामिल करना चाहिए। पंक्ति 1 को 4 वें स्थान पर और पंक्ति 2 को 5 वें स्थान पर रखना महत्वपूर्ण है। चूंकि अगर हम उनका आदान-प्रदान करते हैं, तो सारस नियम प्रभावी नहीं होगा।
निर्धारक की गणना करने के लिए, हमारा मैट्रिक्स निम्नानुसार होगा:
गणना जारी रखने के लिए, हम मुख्य विकर्णों के तत्वों को गुणा करेंगे। बाईं ओर से शुरू होने वाले वंशज एक सकारात्मक संकेत देंगे; जबकि उलटा विकर्ण, जो दाईं ओर से शुरू होता है, एक नकारात्मक संकेत है।
इस उदाहरण में, नीले वाले को एक सकारात्मक चिन्ह और लाल वाले को नकारात्मक चिन्ह के साथ देखा जाएगा। सररस नियम की अंतिम गणना इस प्रकार होगी:
निर्धारकों के प्रकार
आयाम का निर्धारक १
यदि मैट्रिक्स का आयाम 1 है, तो मैट्रिक्स इस तरह दिखता है: A = (a)
इसलिए, इसका निर्धारक निम्नानुसार होगा: det (A) = -A- = a
सारांश में, मैट्रिक्स ए का निर्धारक मैट्रिक्स ए के निरपेक्ष मूल्य के बराबर है, जो इस मामले में ए है।
आयाम के निर्धारक २
यदि हम आयाम 2 के मैट्रिक्स से गुजरते हैं, तो हम टाइप के मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:
जहां इसके निर्धारक को निम्न के रूप में परिभाषित किया गया है:
इस निर्धारक का संकल्प इसके मुख्य विकर्ण के गुणन पर आधारित है, इसके विपरीत विकर्ण के उत्पाद को घटाकर।
एक महामारी के रूप में, हम इसके आरेख को याद रखने के लिए निम्न आरेख का उपयोग कर सकते हैं:
आयाम का निर्धारक ३
यदि मैट्रिक्स का आयाम 3 है, तो परिणामस्वरूप मैट्रिक्स इस प्रकार का होगा:
इस मैट्रिक्स के निर्धारक को सरस के नियम के माध्यम से इस प्रकार हल किया जाएगा:
संदर्भ
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