संभाव्यता स्वयंसिद्ध: प्रकार, स्पष्टीकरण, उदाहरण, अभ्यास - दुदास - 2025

संभावना के एक्सिओम्स गणितीय प्रस्ताव संभावना का सिद्धांत है, जो योग्यता प्रमाण नहीं है की चर्चा करते हुए कर रहे हैं। 1933 में रूसी गणितज्ञ आंद्रेई कोलमोगोरोव (1903-1987) द्वारा प्रोबेशन थ्योरी की अपनी नींव में स्वयंसिद्धों की स्थापना की गई और संभाव्यता के गणितीय अध्ययन के लिए नींव रखी गई।

एक निश्चित यादृच्छिक प्रयोग random को अंजाम देते समय, नमूना स्थान E प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का समूह है, जिसे ईवेंट भी कहा जाता है। किसी भी घटना को ए और पी के रूप में दर्शाया जाता है (ए) इसकी घटना की संभावना है। तब कोलमोगोरोव ने यह स्थापित किया:

चित्र 1. संभावना के स्वयंसिद्ध शब्द हमें रूले जैसे मौके के खेल की संभावना की गणना करने की अनुमति देते हैं। स्रोत: पिक्साबे

- एकोमोम 1 (गैर-नकारात्मकता): संभावना है कि कोई भी घटना ए हमेशा सकारात्मक या शून्य होती है, पी (ए) (0। जब किसी घटना की संभावना 0 होती है, तो इसे एक असंभव घटना कहा जाता है।

- एंटिओम 2 (निश्चितता): जब भी कुछ घटना ई से संबंधित होती है, तो इसके होने की संभावना 1 होती है, जिसे हम P (E) = 1 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। यह एक निश्चित घटना के रूप में जाना जाता है, जब कोई प्रयोग करते हैं, तो निश्चित रूप से एक परिणाम होता है।

- एंटिओम 3 (जोड़): दो या दो से अधिक असंगत घटनाओं के मामले में दो को ए ₁, ए ₂, ए ₃… कहा जाता है, संभावना है कि घटना ए ₁ प्लस ए ₂ प्लस ए ₃ घटित _होगी और इसी तरह क्रमिक रूप से, यह प्रत्येक के अलग-अलग होने की संभावनाओं का योग है।

इसे इस रूप में व्यक्त किया गया है: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U…) = P (A ₁) + P (A ₂) + P (A ₃) +…

चित्रा 2. उल्लेखनीय रूसी गणितज्ञ आंद्रेई कोलमोगोरोव (1903-1987), जिन्होंने स्वयंसिद्ध संभावना के लिए नींव रखी। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

उदाहरण

प्रायिकता के स्वयंसिद्ध अनुप्रयोगों की एक भीड़ में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए:

एक थंबटैक या कील को हवा में फेंक दिया जाता है, और जब यह फर्श पर गिरता है तो पॉइंट अप (यू) या पॉइंट डाउन (डी) के साथ लैंडिंग का विकल्प होता है (हम अन्य संभावनाओं पर विचार नहीं करेंगे)। इस प्रयोग के लिए नमूना स्थान में ये घटनाएँ हैं, फिर E = {U, D}।

चित्रा 3. फेंकने के प्रयोग में अलग-अलग संभावनाओं की दो घटनाएं होती हैं: बिंदु के साथ ऊपर या जमीन की ओर उतरना। स्रोत: पिक्साबे

हमारे पास मौजूद स्वयंसिद्ध शब्दों को लागू करने से:

यदि यह समान रूप से ऊपर या नीचे उतरने की संभावना है, तो P (U) = P (D) = equally (Axiom 1)। हालांकि, थंबटैक के निर्माण और डिजाइन से एक या दूसरे तरीके से गिरने की अधिक संभावना हो सकती है। उदाहरण के लिए, यह हो सकता है कि P (U) = P जबकि P (D) = A (Axiom 1)।

ध्यान दें कि दोनों मामलों में, संभावनाओं का योग 1 देता है। हालांकि, स्वयंसिद्ध संकेत नहीं देते हैं कि संभाव्यता को कैसे असाइन किया जाए, कम से कम पूरी तरह से नहीं। लेकिन वे यह कहते हैं कि वे संख्याएँ 0 और 1 के बीच हैं और जैसा कि इस मामले में है, सभी का योग 1 है।

संभावना असाइन करने के तरीके

प्रायिकता के स्वयंसिद्ध संभावना के मूल्य को निर्दिष्ट करने का एक तरीका नहीं है। इसके लिए तीन विकल्प हैं जो स्वयंसिद्धों के साथ संगत हैं:

लाप्लास का नियम

प्रत्येक घटना को होने की एक ही संभावना सौंपी जाती है, फिर घटना की संभावना को निम्नानुसार परिभाषित किया जाता है:

उदाहरण के लिए, फ्रांसीसी कार्ड के डेक से इक्का खींचने की संभावना क्या है? डेक में 52 कार्ड हैं, प्रत्येक सूट के 13 और 4 सूट हैं। प्रत्येक सूट में 1 इक्के होते हैं, इसलिए कुल मिलाकर 4 इक्के होते हैं:

P (as) = ​​4/52 = 1/13

लाप्लास का नियम सीमित नमूना स्थानों तक सीमित है, जहां प्रत्येक घटना समान रूप से संभावित है।

सापेक्ष आवृत्ति

यहाँ प्रयोग दोहराए जाने योग्य है, क्योंकि विधि बड़ी संख्या में दोहराव को पूरा करने पर आधारित है।

आइए मैं प्रयोग ξ की पुनरावृत्ति करता हूं, जिनमें से हम पाते हैं कि n एक निश्चित घटना A होती है, तो यह घटना होने की संभावना कितनी है:

P (A) = लिम _{i → ∞} (n / i)

जहां n / i किसी घटना की सापेक्ष आवृत्ति है।

इस तरह से पी (ए) को परिभाषित करना कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है, लेकिन इसकी खामी यह है कि उपयुक्त होने की संभावना के लिए कई परीक्षण किए जाने हैं।

विषय विधि

एक व्यक्ति या लोगों का एक समूह अपने स्वयं के निर्णय के माध्यम से किसी घटना की संभावना को निर्दिष्ट करने पर सहमत हो सकता है। इस पद्धति का नुकसान यह है कि विभिन्न लोग एक ही घटना के लिए अलग-अलग संभावनाएं बता सकते हैं।

व्यायाम हल किया

एक साथ 3 ईमानदार सिक्कों को वापस लाने के प्रयोग में, वर्णित घटनाओं की संभावनाओं को प्राप्त करें:

क) 2 सिर और एक पूंछ।

बी) 1 सिर और दो पूंछ

ग) 3 पार।

d) कम से कम 1 चेहरा।

का हल

सिर को सी और पूंछ द्वारा एक्स द्वारा निरूपित किया जाता है। लेकिन दो सिर और पूंछ प्राप्त करने के कई तरीके हैं। उदाहरण के लिए, पहले दो सिक्के शीर्ष पर आ सकते हैं और तीसरे में पूंछ को लैंड कर सकते हैं। या पहला सिर गिर सकता है, दूसरा पूंछ और तीसरा सिर। और अंत में पहले पूंछ और शेष सिर हो सकते हैं।

उन सभी संभावनाओं को जानना आवश्यक है, जो पेड़ के आरेख या संभाव्यता वृक्ष नामक उपकरण में वर्णित हैं, जिनका उत्तर देना आवश्यक है:

चित्रा 4. तीन ईमानदार सिक्कों के एक साथ टॉस के लिए ट्री आरेख। स्रोत: एफ। ज़पाटा

संभावना यह है कि कोई भी सिक्का प्रमुख होगा ability, वही पूंछ के लिए सच है, क्योंकि सिक्का ईमानदार है। सही कॉलम उन सभी संभावनाओं को सूचीबद्ध करता है जो टॉस की है, अर्थात, नमूना स्थान।

नमूना स्थान से, अनुरोधित घटना पर प्रतिक्रिया करने वाले संयोजनों को चुना जाता है, क्योंकि जिस क्रम में चेहरे दिखाई देते हैं वह महत्वपूर्ण नहीं है। तीन अनुकूल घटनाएं हैं: CCX, CXC और XCC। प्रत्येक घटना के घटित होने की संभावना है:

पी (CCX) = =। साढ़े। 8 = 1/8

सीएक्ससी और एक्ससीसी घटनाओं के लिए भी ऐसा ही होता है, प्रत्येक में 1/8 होने की संभावना होती है। इसलिए ठीक 2 सिर होने की संभावना सभी अनुकूल घटनाओं की संभावनाओं का योग है:

पी (2-पक्षीय) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0.375

समाधान b

प्रायिकता ज्ञात करना कि दो पार होने वाली समस्या पिछले एक के अनुरूप है, नमूना स्थान से ली गई तीन अनुकूल घटनाएं भी हैं: CXX, XCX और XXC। इस प्रकार:

पी (2 पार) = 3/8 = 0.375

समाधान c

सहज रूप से हम जानते हैं कि 3 पूंछ (या 3 सिर) होने की संभावना कम है। इस स्थिति में, मांगी गई घटना XXX सही स्तंभ के अंत में है, जिसकी संभावना है:

पी (एक्सएक्सएक्स) = ½। साढ़े। ½ = 1/8 = 0.125।

समाधान d

यह अनुरोध किया जाता है कि कम से कम 1 चेहरा प्राप्त किया जाए, इसका मतलब है कि 3 चेहरे, 2 चेहरे या 1 चेहरा सामने आ सकता है। इसके साथ एकमात्र असंगत घटना वह है जिसमें 3 पूंछ निकलती हैं, जिसकी संभावना 0.125 है। इसलिए मांगी गई संभावना है:

पी (कम से कम 1 सिर) = 1 - 0.125 = 0.875।

संदर्भ

1. Canavos, जी। 1988. संभाव्यता और सांख्यिकी: अनुप्रयोग और विधियाँ। मैकग्रा हिल।
2. डेवोर, जे। 2012. इंजीनियरिंग और विज्ञान के लिए संभावना और सांख्यिकी। 8। संस्करण। Cengage।
3. लिप्सकुट्ज़, एस। 1991. शेम सीरीज़: प्रायिकता। मैकग्रा हिल।
4. ओब्रेगॉन, आई। 1989. संभाव्यता का सिद्धांत। संपादकीय लिमूसा।
5. Walpole, R. 2007. इंजीनियरिंग और विज्ञान के लिए संभावना और सांख्यिकी। पियर्सन।