द्विपद बंटन सफलता या विफलता: एक प्रायिकता वितरण जिसके द्वारा घटनाओं के घटित होने की संभावना, गणना की जाती है कि वे दो तौर-तरीकों के अंतर्गत होने वाली प्रदान की है।
ये पदनाम (सफलता या असफलता) पूरी तरह से मनमाने हैं, क्योंकि ये जरूरी नहीं कि अच्छी या बुरी चीजें हों। इस लेख के दौरान हम द्विपद वितरण के गणितीय रूप का संकेत देंगे और फिर प्रत्येक शब्द के अर्थ के बारे में विस्तार से बताया जाएगा।
चित्र 1. डाई का रोल एक ऐसी घटना है जिसे द्विपद वितरण का उपयोग करके मॉडल किया जा सकता है। स्रोत: पिक्साबे
समीकरण
समीकरण इस प्रकार है:
X = 0, 1, 2, 3….n के साथ, जहां:
- P (x) n प्रयासों या परीक्षणों के बीच बिल्कुल x सफल होने की संभावना है।
- x वह चर है जो ब्याज की घटना का वर्णन करता है, सफलताओं की संख्या के अनुरूप।
- n प्रयासों की संख्या
- p 1 प्रयास में सफलता की संभावना है
- q 1 प्रयास में विफलता की संभावना है, इसलिए q = 1 - p
विस्मयादिबोधक चिह्न "!" तथ्यात्मक संकेतन के लिए उपयोग किया जाता है, इसलिए:
0! = 1
एक! = 1
दो! = 2.1 = 2
3! = ३.२.१ = ६
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
और इसी तरह।
संकल्पना
जिन स्थितियों में कोई घटना घटती है या नहीं होती है, उनका वर्णन करने के लिए द्विपद वितरण बहुत उपयुक्त है। यदि ऐसा होता है तो यह एक सफलता है और यदि नहीं, तो यह एक विफलता है। इसके अलावा, सफलता की संभावना हमेशा स्थिर होनी चाहिए।
ऐसी घटनाएं हैं जो इन स्थितियों को फिट करती हैं, उदाहरण के लिए एक सिक्के का टॉस। इस मामले में, हम कह सकते हैं कि "सफलता" को एक चेहरा मिल रहा है। संभावना prob है और बदलता नहीं है, चाहे कितनी बार सिक्का उछाला जाए।
एक ईमानदार मरने का रोल एक और अच्छा उदाहरण है, साथ ही एक निश्चित उत्पादन को अच्छे टुकड़ों और दोषपूर्ण टुकड़ों में वर्गीकृत करना और एक रूलेट व्हील को मोड़ने पर काले के बजाय एक लाल प्राप्त करना है।
विशेषताएँ
हम द्विपद वितरण की विशेषताओं को संक्षेप में प्रस्तुत कर सकते हैं:
- किसी भी घटना या अवलोकन को एक अनंत आबादी से प्रतिस्थापन के बिना या परिमित आबादी से निकाला जाता है।
- केवल दो विकल्पों पर विचार किया जाता है, पारस्परिक रूप से अनन्य: सफलता या विफलता, जैसा कि शुरुआत में समझाया गया था।
- किसी भी अवलोकन में सफलता की संभावना निरंतर होनी चाहिए।
- किसी भी घटना का परिणाम किसी अन्य घटना से स्वतंत्र है।
- द्विपद वितरण का माध्य np है
- मानक विचलन है:
आवेदन उदाहरण
चलो एक साधारण घटना लेते हैं, जो 3 बार एक ईमानदार मरने के लिए 2 सिर 5 प्राप्त कर रहा है। क्या संभावना है कि 3 टॉइस में 5 के 2 सिर प्राप्त होंगे?
इसे प्राप्त करने के कई तरीके हैं, उदाहरण के लिए:
- पहले दो लॉन्च 5 हैं और आखिरी नहीं है।
- पहला और आखिरी 5 हैं लेकिन बीच का नहीं है।
- अंतिम दो थ्रो 5 हैं और पहला नहीं है।
आइए एक उदाहरण के रूप में वर्णित पहला अनुक्रम लेते हैं और घटना की संभावना की गणना करते हैं। पहले रोल पर 5 सिर पाने की संभावना 1/6 है, और दूसरे पर भी, क्योंकि वे स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
अंतिम रोल पर 5 के अलावा एक और सिर पाने की संभावना 1 - 1/6 = 5/6 है। इसलिए, यह अनुक्रम बाहर आने की संभावना संभावनाओं का उत्पाद है:
(1/6)। (1/6)। (५/६) = ५/२१६ = ०.०२३
अन्य दो दृश्यों के बारे में क्या? उनके पास समान संभावना है: 0.023।
और चूंकि हमारे पास कुल 3 सफल अनुक्रम हैं, कुल संभावना होगी:
उदाहरण 2
एक विश्वविद्यालय का दावा है कि कॉलेज बास्केटबॉल टीम में 80% छात्र स्नातक हैं। एक जांच में कहा गया है कि बास्केटबॉल टीम के 20 छात्रों के शैक्षणिक रिकॉर्ड की जांच की गई है, जिन्होंने कुछ समय पहले विश्वविद्यालय में दाखिला लिया था।
इन 20 छात्रों में से 11 ने अपनी पढ़ाई पूरी की और 9 बाहर हो गए।
चित्रा 2. लगभग सभी छात्र जो कॉलेज टीम स्नातक के लिए खेलते हैं। स्रोत: पिक्साबे
यदि विश्वविद्यालय का कथन सत्य है, तो 20 में से बास्केटबॉल और स्नातक खेलने वाले छात्रों की संख्या, n = 20 और p = 0.8 के साथ द्विपद वितरण होना चाहिए। क्या संभावना है कि 20 में से 11 खिलाड़ी स्नातक करेंगे?
उपाय
द्विपद वितरण में:
उदाहरण 3
शोधकर्ताओं ने यह निर्धारित करने के लिए एक अध्ययन किया कि क्या विशेष कार्यक्रमों के माध्यम से भर्ती किए गए मेडिकल छात्रों और नियमित प्रवेश मानदंडों के माध्यम से भर्ती छात्रों के बीच स्नातक दरों में महत्वपूर्ण अंतर था।
विशेष कार्यक्रमों (अमेरिकन मेडिकल एसोसिएशन के जर्नल से डेटा के आधार पर) के माध्यम से भर्ती किए गए छात्र चिकित्सकों के लिए स्नातक दर 94% पाई गई।
यदि विशेष कार्यक्रमों में से 10 छात्रों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, तो संभावना खोजें कि उनमें से कम से कम 9 स्नातक हैं।
बी) क्या विशेष कार्यक्रमों से 10 छात्रों को बेतरतीब ढंग से चुनना असामान्य होगा और पाएंगे कि उनमें से केवल 7 ने स्नातक किया है?
उपाय
एक विशेष कार्यक्रम के माध्यम से एक छात्र ने जो संभावना व्यक्त की है, वह स्नातक 94/100 = 0.94 होगी। हम विशेष कार्यक्रमों में से n = 10 छात्रों को चुनते हैं और हम इस संभावना का पता लगाना चाहते हैं कि उनमें से कम से कम 9 स्नातक होंगे।
फिर निम्न मूल्यों को द्विपद वितरण में प्रतिस्थापित किया जाता है:
ख)
संदर्भ
- बेरेनसन, एम। 1985. सांख्यिकी प्रबंधन और अर्थशास्त्र के लिए। Interamericana SA
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- ट्रायोला, एम। 2012. प्राथमिक सांख्यिकी। 11 वीं। एड। पियर्सन एजुकेशन।
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