हाइपरजोमेट्रिक वितरण: सूत्र, समीकरण, मॉडल - दुदास - 2025

Hypergeometric वितरण एक असतत सांख्यिकीय समारोह, दो संभावित परिणामों के साथ यादृच्छिक प्रयोगों में संभावना की गणना के लिए उपयुक्त है। इसे लागू करने के लिए आवश्यक शर्त यह है कि वे छोटी आबादी हैं, जिसमें निकासी को प्रतिस्थापित नहीं किया जाता है और संभावनाएं स्थिर नहीं होती हैं।

इसलिए, जब किसी विशिष्ट विशेषता के परिणाम (सत्य या असत्य) को जानने के लिए जनसंख्या के एक तत्व को चुना जाता है, तो उसी तत्व को फिर से नहीं चुना जा सकता है।

चित्रा 1. इस तरह एक बोल्ट आबादी में, निश्चित रूप से दोषपूर्ण नमूने हैं। स्रोत: पिक्साबे

निश्चित रूप से, चुना गया अगला तत्व इस प्रकार एक वास्तविक परिणाम प्राप्त करने की अधिक संभावना है, यदि पिछले तत्व का नकारात्मक परिणाम था। इसका मतलब यह है कि संभावना भिन्न होती है क्योंकि तत्व नमूने से निकाले जाते हैं।

हाइपरजोमेट्रिक वितरण के मुख्य अनुप्रयोग हैं: कम जनसंख्या वाली प्रक्रियाओं में गुणवत्ता नियंत्रण और मौका के खेल में संभावनाओं की गणना।

हाइपरमेट्रिक वितरण को परिभाषित करने वाले गणितीय कार्य के लिए, इसमें तीन पैरामीटर होते हैं, जो हैं:

- जनसंख्या तत्वों की संख्या (N)

- नमूना आकार (एम)

- अध्ययन की विशेषता (n) के अनुकूल (या प्रतिकूल) परिणाम के साथ पूरी आबादी में घटनाओं की संख्या।

सूत्र और समीकरण

हाइपरजोमेट्रिक वितरण का सूत्र संभावना P को बताता है कि एक्स एक निश्चित विशेषता के अनुकूल मामले होते हैं। दहनशील संख्याओं के आधार पर इसे गणितीय रूप से लिखने का तरीका है:

पिछली अभिव्यक्ति में एन, एन और एम पैरामीटर हैं और एक्स स्वयं चर है।

- कुल जनसंख्या N है।

- कुल आबादी के संबंध में एक निश्चित बाइनरी विशेषता के सकारात्मक परिणामों का एन।

नमूने में तत्वों की निरंतरता m है।

इस स्थिति में, X एक यादृच्छिक चर है जो मान लेता है x और P (x) अध्ययन किए गए विशेषता के x अनुकूल मामलों की घटना की संभावना को इंगित करता है।

महत्वपूर्ण सांख्यिकीय चर

अतिवृद्धि वितरण के लिए अन्य सांख्यिकीय चर हैं:

- माध्य μ = एम * एन / एन

- भिन्न V ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1)

- मानक विचलन σ जो विचरण का वर्गमूल है।

मॉडल और गुण

हाइपरजोमेट्रिक वितरण के मॉडल पर पहुंचने के लिए, हम आकार एम के नमूने में एक्स अनुकूल मामलों को प्राप्त करने की संभावना से शुरू करते हैं। इस नमूने में ऐसे तत्व शामिल हैं जो अध्ययन के तहत संपत्ति का अनुपालन करते हैं और ऐसे तत्व जो नहीं करते हैं।

याद रखें कि एन तत्वों की कुल आबादी में अनुकूल मामलों की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। तब संभावना की गणना इस तरह की जाएगी:

दहनशील संख्याओं के रूप में उपरोक्त व्यक्त करते हुए, निम्नलिखित संभाव्यता वितरण मॉडल तक पहुंचा जाता है:

हाइपरजोमेट्रिक वितरण के मुख्य गुण

वे इस प्रकार हैं:

- नमूना हमेशा छोटा होना चाहिए, भले ही आबादी बड़ी हो।

- नमूने के तत्वों को आबादी में वापस शामिल किए बिना, एक-एक करके निकाला जाता है।

- अध्ययन की जाने वाली संपत्ति द्विआधारी है, अर्थात यह केवल दो मान ले सकती है: 1 या 0, या सही या गलत।

प्रत्येक तत्व निष्कर्षण चरण में, पिछले परिणामों के आधार पर संभावना बदल जाती है।

द्विपद वितरण का उपयोग करते हुए अनुमान

हाइपरजोमेट्रिक वितरण की एक अन्य संपत्ति यह है कि इसे द्विपद वितरण द्वारा चिह्नित किया जा सकता है, द्विभाषित, जब तक कि जनसंख्या N बड़ा है और नमूना m से कम से कम 10 गुना बड़ा है। इस मामले में यह इस तरह दिखेगा:

नमूना में x = 3 स्क्रू खराब होने की संभावना है: P (500, 5, 60, 3) = 0.0129।

इसके भाग के लिए, संभावना है कि नमूने के साठ में से x = 4 स्क्रू दोषपूर्ण हैं: P (500, 5, 60; 4) = 0.0008।

अंत में, संभावना है कि नमूने में x = 5 स्क्रू दोषपूर्ण हैं: P (500, 5, 60, 5) = 0।

लेकिन अगर आप इस संभावना को जानना चाहते हैं कि उस नमूने में 3 से अधिक दोषपूर्ण पेंच हैं, तो आपको जोड़ते हुए संचयी संभाव्यता प्राप्त करनी होगी:

इस उदाहरण को चित्र 2 में चित्रित किया गया है, जिसे जिप का उपयोग करके प्राप्त किया गया है, स्कूलों, संस्थानों और विश्वविद्यालयों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला एक मुफ्त सॉफ्टवेयर।

चित्र 2. हाइपरजोमेट्रिक वितरण का उदाहरण। F. Zapata द्वारा तैयार किया गया।

उदाहरण 2

एक स्पेनिश डेक डेक में 40 कार्ड हैं, जिनमें से 10 में सोना है और शेष 30 में नहीं है। मान लीजिए कि 7 कार्ड उस डेक से यादृच्छिक रूप से तैयार किए गए हैं, जो डेक में पुनर्जन्म नहीं होते हैं।

यदि X 7 कार्डों में मौजूद स्वर्णों की संख्या है, तो संभावना है कि आपके पास 7-कार्ड ड्रा में x स्वर्ण होंगे जो कि हाइपरजोमेट्रिक वितरण P (40,10,7; x) द्वारा दिए गए हैं।

आइए इसे इस तरह देखें: 7-कार्ड ड्रॉ में 4 गोल्ड होने की संभावना की गणना करने के लिए, हम निम्न मूल्यों के साथ हाइपरोमेट्रिक वितरण के सूत्र का उपयोग करते हैं:

और परिणाम है: 4.57% संभावना।

लेकिन अगर आप 4 से अधिक कार्ड प्राप्त करने की संभावना जानना चाहते हैं, तो आपको जोड़ना होगा:

हल किया हुआ व्यायाम

अभ्यास के निम्नलिखित सेट का उद्देश्य इस लेख में प्रस्तुत अवधारणाओं को चित्रित और आत्मसात करना है। यह महत्वपूर्ण है कि समाधान को देखने से पहले पाठक उन्हें अपने आप हल करने की कोशिश करे।

अभ्यास 1

एक कंडोम कारखाने ने पाया है कि एक निश्चित मशीन द्वारा उत्पादित प्रत्येक 1000 कंडोम में से 5 दोषपूर्ण हैं। गुणवत्ता नियंत्रण के लिए, 100 कंडोम को यादृच्छिक पर लिया जाता है और कम से कम एक या अधिक दोषपूर्ण होने पर इसे अस्वीकार कर दिया जाता है। उत्तर:

क) क्या संभावना है कि बहुत से 100 को छोड़ दिया जाएगा?

बी) क्या यह गुणवत्ता नियंत्रण मानदंड कुशल है?

उपाय

इस मामले में, बहुत बड़े कॉम्बिनेटरियल नंबर दिखाई देंगे। जब तक आपके पास एक उपयुक्त सॉफ्टवेयर पैकेज नहीं है, गणना कठिन है।

लेकिन क्योंकि यह एक बड़ी आबादी है और नमूना कुल आबादी की तुलना में दस गुना छोटा है, इसलिए द्विपद वितरण द्वारा अतिवृष्टि वितरण के सन्निकटन का उपयोग करना संभव है:

उपरोक्त अभिव्यक्ति में C (100, x) एक संयोजन संख्या है। तब एक से अधिक दोष होने की संभावना की गणना इस तरह की जाएगी:

यह एक उत्कृष्ट सन्निकटन है, अगर इसकी तुलना हाइपरजोमेट्रिक वितरण को प्राप्त करने वाले मूल्य के साथ की जाती है: 0.4102

यह कहा जा सकता है कि, 40% संभावना के साथ, 100 प्रोफिलैक्टिक्स के एक बैच को छोड़ दिया जाना चाहिए, जो बहुत कुशल नहीं है।

लेकिन, गुणवत्ता नियंत्रण प्रक्रिया में थोड़ी कम मांग होने और 100 के बहुत कम होने पर ही यदि दो या अधिक दोष हैं, तो बहुत कुछ छोड़ने की संभावना केवल 8% तक गिर जाएगी।

व्यायाम २

एक प्लास्टिक ब्लॉक मशीन इस तरह से काम करती है कि हर 10 टुकड़ों में से एक विकृत हो जाती है। 5 टुकड़ों के नमूने में, यह कैसे संभव है कि केवल एक टुकड़ा खराब हो?

उपाय

जनसंख्या: N = 10

प्रत्येक एन के लिए दोषों की संख्या n: n = 1

नमूना आकार: एम = 5

इसलिए 50% संभावना है कि 5 के नमूने में, एक ब्लॉक विकृत हो जाएगा।

व्यायाम ३

युवा हाई स्कूल स्नातकों की एक बैठक में 7 महिलाएं और 6 सज्जन होते हैं। लड़कियों में 4 अध्ययन मानविकी और 3 विज्ञान हैं। लड़का समूह में, 1 मानविकी और 5 विज्ञान का अध्ययन करता है। निम्नलिखित की गणना करें:

क) तीन लड़कियों को यादृच्छिक रूप से चुनना: यह कैसे संभव है कि वे सभी मानवता का अध्ययन करें?

ख) यदि दोस्तों की बैठक में तीन उपस्थितियों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है: क्या संभावना है कि उनमें से तीन, लिंग की परवाह किए बिना, तीनों में विज्ञान का अध्ययन करें, या मानविकी भी तीनों?

c) अब यादृच्छिक पर दो दोस्तों का चयन करें और x को "मानविकी का अध्ययन करने वालों की संख्या" के यादृच्छिक चर को कॉल करें। चुने गए दोनों के बीच, x और विचरण mean ^ 2 का माध्य या अपेक्षित मान निर्धारित करें।

का हल

अब उपयोग करने के लिए मान निम्न हैं:

-अनुपात: एन = 14

अक्षरों का अध्ययन करने वाली योग्यता: n = 6 और है

नमूने का आकार: एम = 3।

मानविकी का अध्ययन करने वाले दोस्तों की संख्या: x

इसके अनुसार, x = 3 का अर्थ है कि सभी तीन मानविकी का अध्ययन करते हैं, लेकिन x = 0 का अर्थ है कि कोई भी मानवता का अध्ययन नहीं करता है। संभावना है कि सभी तीन एक ही अध्ययन के योग द्वारा दिया गया है:

P (14, 6, 3, x = 0) + P (14, 6, 3, x = 3) = 0.0560 + 0.1539 = 0.2099

फिर हमारे पास 21% संभावना है कि तीन बैठक में भाग लेने वाले, यादृच्छिक पर चुने गए, एक ही बात का अध्ययन करेंगे।

समाधान c

यहां हमारे पास निम्न मूल्य हैं:

N = 14 दोस्तों की कुल जनसंख्या, मानविकी का अध्ययन करने वाली आबादी में n = 6 कुल संख्या, नमूना का आकार m = 2 है।

आशा है:

ई (एक्स) = एम * (एन / एन) = 2 * (6/14) = 0.8572

और विचरण:

2 (एक्स) ^ 2 = एम * (एन / एन) * (1-एन / एन) * (एनएम) / (एन -1) = 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * (14-2) / (14-1) =

= 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * (14-2) / (14-1) = 2 * (3/7) * (1-3 / 7) * (12) / (13) = 0.4521

संदर्भ

1. असतत संभावना वितरण। से पुनर्प्राप्त: biplot.usal.es
2. सांख्यिकीय और संभावना। हाइपरजोमेट्रिक वितरण। से पुनर्प्राप्त: projectdescartes.org
3. CDPYE-यूजीआर। हाइपरजोमेट्रिक वितरण। से पुनर्प्राप्त: ugr.es
4. Geogebra। शास्त्रीय जियोजेब्रा, संभावना कैलकुलस। Geogebra.org से पुनर्प्राप्त
5. आसान कोशिश करो। हाइपरजोमेट्रिक वितरण की समस्याओं का हल। से पुनर्प्राप्त: probafacil.com
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8. Vitutor। सांख्यिकी और संयोजन। से पुनर्प्राप्त: vitutor.net
9. वीसस्टीन, एरिक डब्ल्यू हाइपरजोमेट्रिक डिस्ट्रीब्यूशन से पुनर्प्राप्त: mathworld.wolfram.com
10. विकिपीडिया। हाइपरजोमेट्रिक वितरण। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.com