फैक्टरिंग: विधियाँ और उदाहरण - गणित - 2025

गुणन एक तरीका है जिसके द्वारा एक बहुपद गुणा कारक है, जो संख्या या अक्षर या दोनों हो सकता है के रूप में व्यक्त किया जाता है। कारक के लिए, वे कारक जो शर्तों के लिए सामान्य होते हैं, उन्हें एक साथ समूहीकृत किया जाता है, और इस तरह बहुपद को कई बहुपद में विघटित किया जाता है।

इस प्रकार, जब कारकों को एक साथ गुणा किया जाता है, तो परिणाम मूल बहुपद होता है। जब आप बीजीय भाव रखते हैं तो फैक्टरिंग एक बहुत ही उपयोगी तरीका है, क्योंकि इसे कई सरल शब्दों के गुणन में परिवर्तित किया जा सकता है; उदाहरण के लिए: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b)।

ऐसे मामले हैं जिनमें एक बहुपद को तथ्यित नहीं किया जा सकता है क्योंकि इसकी शर्तों के बीच कोई सामान्य कारक नहीं है; इस प्रकार, ये बीजीय अभिव्यक्तियाँ केवल स्वयं और 1 से विभाज्य हैं। उदाहरण के लिए: x + y + z।

एक बीजीय अभिव्यक्ति में, सामान्य कारक इसे बनाने वाले शब्दों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

फैक्टरिंग तरीके

कई फैक्टरिंग विधियां हैं, जो मामले के आधार पर लागू की जाती हैं। इनमें से कुछ इस प्रकार हैं:

सामान्य कारक द्वारा फैक्टरिंग

इस विधि में उन कारकों की पहचान की जाती है जो आम हैं; वह है, जो अभिव्यक्ति की शर्तों में दोहराया जाता है। फिर वितरण संपत्ति को लागू किया जाता है, सबसे बड़ा सामान्य भाजक लिया जाता है, और फैक्टरिंग पूरी हो जाती है।

दूसरे शब्दों में, अभिव्यक्ति के सामान्य कारक की पहचान की जाती है और प्रत्येक शब्द इसके द्वारा विभाजित होता है; परिणामी शब्दों को गुणन को व्यक्त करने के लिए सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा गुणा किया जाएगा।

उदाहरण 1

कारक (b ² x) + (b ² y)।

उपाय

पहले आप प्रत्येक पद के सामान्य कारक को खोजते हैं, जो इस स्थिति में बी ^{2 है}, और फिर सामान्य कारक द्वारा शर्तों को निम्नानुसार विभाजित करें:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y

कारक के परिणामस्वरूप सामान्य कारक को गुणा करके गुणन को व्यक्त किया जाता है:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y)।

उदाहरण 2

कारक (2a ² b ³) + (3ab ²)।

उपाय

इस मामले में हमारे पास दो कारक हैं जो प्रत्येक शब्द में दोहराए गए हैं जो "ए" और "बी" हैं, और जो एक शक्ति के लिए उठाए गए हैं। उन्हें कारक करने के लिए, दो शब्दों को पहले उनके लंबे रूप में विघटित किया जाता है:

2 _* ए _* ए _* बी _* बी _* बी + 3 ए _* बी _* बी

यह देखा जा सकता है कि कारक "ए" को केवल एक बार दूसरे कार्यकाल में दोहराया जाता है, और कारक "बी" को इसमें दो बार दोहराया जाता है; इसलिए पहले कार्यकाल में केवल 2 ही बचे हैं, एक कारक "ए" और एक कारक "बी"; जबकि दूसरे कार्यकाल में केवल 3 ही बचे हैं।

इसलिए, बार "" ए "और" बी "को दोहराया जाता है और उन कारकों से गुणा किया जाता है जो प्रत्येक शब्द से बचे होते हैं, जैसा कि छवि में दिखाया गया है:

ग्रुपिंग फैक्टरिंग

जैसा कि सभी मामलों में एक बहुपद का सबसे बड़ा सामान्य भाजक स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया जाता है, बहुपद और इस तरह के कारक को फिर से लिखने में सक्षम होने के लिए अन्य चरणों को करना आवश्यक है।

उन चरणों में से एक बहुपद की शर्तों को कई समूहों में समूहित करना है, और फिर सामान्य कारक विधि का उपयोग करना है।

उदाहरण 1

कारक एसी + बीसी + विज्ञापन + बीडी।

उपाय

4 कारक हैं जहां दो आम हैं: पहली अवधि में यह «सी» है और दूसरे में यह «डी» है। इस तरह दो शब्दों को समूहीकृत और अलग किया जाता है:

(एसी + बीसी) + (विज्ञापन + बीडी)।

अब सामान्य कारक विधि को लागू करना संभव है, प्रत्येक शब्द को उसके सामान्य कारक से विभाजित करना और फिर उस सामान्य कारक को परिणामी शब्दों से गुणा करना, जैसे:

(एसी + बीसी) / सी = ए + बी

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b)।

अब हमें एक द्विपद मिलता है जो दोनों शब्दों के लिए सामान्य है। इसे कारक करने के लिए, इसे शेष कारकों से गुणा किया जाता है; इस तरह से आपको निम्न करना होगा:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b)।

निरीक्षण तथ्य

इस पद्धति का उपयोग द्विघात बहुपद को कारक करने के लिए किया जाता है, जिसे ट्रिनोमिअल्स भी कहा जाता है; वह है, जिन्हें कुल्हाड़ी ² c bx + c के रूप में संरचित किया जाता है, जहां "a" का मान 1 से भिन्न होता है। इस विधि का उपयोग तब भी किया जाता है जब ट्रिनोमियल में x ² x bx + c और "a" का मान हो। = 1।

उदाहरण 1

फैक्टर x ² + 5x + 6।

उपाय

हमारे पास फॉर्म x ² + bx + c का द्विघात त्रिअक्षीय है । इसे करने के लिए, आपको पहले दो संख्याएँ मिलनी चाहिए, जब गुणा किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप «c» (जो कि, 6) का मान है और यह कि उनका योग गुणांक «b» के बराबर है, जो 5. संख्या है 2 और 3:

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5।

इस तरह, इस तरह अभिव्यक्ति सरल हो जाती है:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

प्रत्येक शब्द तथ्यपूर्ण है:

- (x ² + 2x) के लिए सामान्य शब्द लिया गया है: x (x + 2)

- के लिए (3x + 6) = 3 (x + 2)

इस प्रकार, अभिव्यक्ति है:

x (x +2) + 3 (x +2)।

चूँकि हमारे पास सामान्य रूप से एक द्विपद है, इसलिए अभिव्यक्ति को कम करने के लिए हम इसे शेष शब्दों से गुणा करते हैं और हमें निम्न करना होगा:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3)।

उदाहरण 2

कारक 4 ए ² + 12 ए + 9 = 0।

उपाय

हमारे पास फॉर्म कुल्हाड़ी ² + bx + cy का द्विघात त्रिभुज है, इसे गुणनखंडन करने के लिए, x ² के गुणांक से पूरी अभिव्यक्ति को गुणा करें; इस मामले में, ४।

4 ए ² + 12 ए +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

१६ ए ^२ + १२ ए (४) + ३६ = ०

4 ² एक ² + 12a (4) + 36 = 0

अब हमें दो संख्याओं का पता लगाना चाहिए, जब एक दूसरे से गुणा किया जाता है, परिणामस्वरूप "c" (जो कि 36 है) का मान दें और जब जोड़ा जाता है, तो "a" शब्द के गुणांक के रूप में देते हैं, जो कि 6 है।

६ _* ६ = ३६

६ + ६ = १२।

इस तरह से अभिव्यक्ति को फिर से लिखा जाता है, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि 4 ² a ² = 4a _* 4a। इसलिए, प्रत्येक शब्द के लिए वितरण संपत्ति लागू होती है:

(४ ए + ६) _* (४ ए + ६)।

अंत में, अभिव्यक्ति को ² के गुणांक से विभाजित किया जाता है; वह है, 4:

(4th + 6) _* (4th + 6) / 4 = ((4th + 6) / 2) _* ((4th + 6) / 2)।

अभिव्यक्ति इस प्रकार है:

4 ए ² + 12 ए +9 = (2 ए +3) _* (2 ए + 3)।

उल्लेखनीय उत्पादों के साथ फैक्टरिंग

ऐसे मामले हैं, जहां उपरोक्त विधियों के साथ बहुपद को पूरी तरह से कारक करने के लिए, यह एक बहुत लंबी प्रक्रिया बन जाती है।

इसीलिए उल्लेखनीय उत्पादों के सूत्रों के साथ एक अभिव्यक्ति विकसित की जा सकती है और इस तरह यह प्रक्रिया सरल हो जाती है। सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल किए जाने योग्य उल्लेखनीय उत्पाद हैं:

- दो वर्गों का अंतर: (एक ² - बी ²) = (ए - बी) _* (ए + बी)

- किसी राशि का पूर्ण वर्ग: एक ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- एक अंतर का सही वर्ग: एक ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- दो घनों का अंतर: एक ³ - b ³ = (ab) _* (एक ² + ab + b ²)

- दो घन का योग: एक ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ²)

उदाहरण 1

कारक (5 ² - x ²)

उपाय

इस मामले में दो वर्गों का अंतर है; इसलिए उल्लेखनीय उत्पाद सूत्र लागू होता है:

(एक ² - बी ²) = (ए - बी) _* (ए + बी)

(५ ^२ - x ^२) = (५ - x) _* (५ + x)

उदाहरण 2

कारक 16x ² + 40x + 25 ²

उपाय

इस स्थिति में, आपके पास एक राशि का एक पूर्ण वर्ग होता है, क्योंकि आप दो शब्दों को चुकता कर सकते हैं, और जो शब्द रहता है, वह दूसरे पद के वर्गमूल द्वारा, पहले पद के वर्गमूल से दो को गुणा करने का परिणाम है।

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

केवल पहले और तीसरे शब्दों के वर्गमूल की गणना की जाती है:

² (16x ²) = 4x) (25 ²) = 5।

फिर दो परिणामी शब्दों को ऑपरेशन के संकेत द्वारा अलग किया जाता है, और पूरे बहुपद को चुकता किया जाता है:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ² ।

उदाहरण 3

फैक्टर 27 ए ³ - बी ³

उपाय

अभिव्यक्ति एक घटाव का प्रतिनिधित्व करती है जिसमें दो कारक घुल जाते हैं। उन्हें करने के लिए, क्यूब्स के अंतर के उल्लेखनीय उत्पाद के लिए सूत्र लागू किया जाता है, जो है:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ²)

इस प्रकार, कारक के लिए, द्विपद के प्रत्येक शब्द का घनमूल लिया जाता है और पहले शब्द के वर्ग से गुणा किया जाता है, साथ ही दूसरे शब्द से पहले का गुणनफल, और दूसरे पद का वर्ग चुकता किया जाता है।

27 ए ³ - बी ³

³ (27 ए ³) = 3 ए

³ (-b ³) = -b

^२ ए ^३ - बी ^३ = (३ ए - बी) _*

27a ³ - b ³ = (3a - b) _* (9a ² + 3ab + b ²)

रफिनी के शासन के साथ फैक्टरिंग

इस विधि का उपयोग तब किया जाता है जब आपके पास दो से अधिक डिग्री का बहुपद होता है, जिससे अभिव्यक्ति को कम डिग्री के कई बहुपदों तक सरल बनाया जा सके।

उदाहरण 1

कारक Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

उपाय

पहले हम उन संख्याओं की तलाश करते हैं जो 12 के भाजक हैं, जो कि स्वतंत्र शब्द है; ये, 1,, 2, ± 3, ± 4, and 6, और, 12 हैं।

फिर एक्स को इन मूल्यों से बदल दिया जाता है, निम्नतम से उच्चतम तक, और इस प्रकार यह निर्धारित किया जाता है कि विभाजन किन मूल्यों के साथ सटीक होगा; अर्थात्, शेष 0 होना चाहिए:

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0।

x = 1

क्यू (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8। 0।

x = 2

क्यू (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0।

और इसलिए प्रत्येक भाजक के लिए। इस स्थिति में, पाए गए कारक x = -1 और x = 2 हैं।

अब रफ़िनी पद्धति लागू की जाती है, जिसके अनुसार अभिव्यक्ति के गुणांकों को विभाजित कारकों द्वारा विभाजित किया जाएगा ताकि विभाजन सटीक हो। बहुपद शर्तों को उच्चतम से निम्नतम प्रतिपादक तक आदेश दिया जाता है; इस मामले में कि अगली डिग्री वाला एक शब्द अनुक्रम में गायब है, एक 0 को उसके स्थान पर रखा गया है।

गुणांक एक योजना में स्थित हैं जैसा कि निम्नलिखित छवि में दिखाया गया है।

पहले गुणांक को भाजक द्वारा कम और गुणा किया जाता है। इस मामले में, पहला भाजक -1 है, और परिणाम अगले कॉलम में रखा गया है। फिर उस परिणाम के साथ गुणांक का मूल्य लंबवत जोड़ा गया है और परिणाम नीचे रखा गया है। इस तरह अंतिम कॉलम तक प्रक्रिया को दोहराया जाता है।

फिर वही प्रक्रिया फिर से दोहराई जाती है, लेकिन दूसरे भाजक के साथ (जो 2 है) क्योंकि अभिव्यक्ति अभी भी सरल हो सकती है।

इस प्रकार, प्रत्येक रूट के लिए बहुपद में एक पद (x - a) होगा, जहां "a" मूल का मान है:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

दूसरी ओर, इन शर्तों को रफिनी के नियम 1: 1 और -6 के शेष भाग से गुणा किया जाना चाहिए, जो ऐसे कारक हैं जो एक डिग्री का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस तरह से जो अभिव्यक्ति बनती है वह है: (x ² + x - 6)।

रफिनी विधि द्वारा बहुपद के गुणन का परिणाम प्राप्त करना है:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

अंत में, पिछली अभिव्यक्ति में दिखाई देने वाली डिग्री 2 का बहुपद (x + 3) (x-2) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इसलिए, अंतिम कारक है:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2)।

संदर्भ

1. आर्थर गुडमैन, एलएच (1996)। विश्लेषणात्मक ज्यामिति के साथ बीजगणित और त्रिकोणमिति। पियर्सन शिक्षा।
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5. शार्प, डी। (1987)। छल्ले और फैक्टराइजेशन।