POISSON वितरण: सूत्र, समीकरण, मॉडल, गुण - दुदास - 2025

प्वासों बंटन एक असतत संभावना वितरण, जिसके द्वारा यह संभावना पता करने के लिए संभव है कि, एक बड़े आकार के नमूने के भीतर और एक निश्चित अंतराल, एक घटना जिसका संभावना छोटे हो जाएगा है के दौरान।

अक्सर बार, पोइसोन वितरण का उपयोग द्विपद वितरण के स्थान पर किया जा सकता है, जब तक कि निम्नलिखित स्थितियां पूरी नहीं होती हैं: बड़ा नमूना और छोटी संभावना।

चित्रा 1. विभिन्न मापदंडों के लिए पॉइसन वितरण का ग्राफ। स्रोत: विकिमीडिया कॉमन्स

सिमोन-डेनिस पॉइसन (1781-1840) ने इस वितरण का निर्माण किया जो कि अप्रत्याशित घटनाओं की बात आने पर बहुत उपयोगी है। पॉइसन ने 1837 में अपने परिणामों को प्रकाशित किया, गलत आपराधिक वाक्यों की घटना की संभावना पर जांच का एक काम।

बाद में अन्य शोधकर्ताओं ने अन्य क्षेत्रों में वितरण को अनुकूलित किया, उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष की एक निश्चित मात्रा में पाए जाने वाले तारों की संख्या, या संभावना है कि एक सैनिक घोड़े की लात से मर जाएगा।

सूत्र और समीकरण

पोइसन वितरण का गणितीय रूप निम्नानुसार है:

- μ (कभी-कभी λ के रूप में निरूपित) वितरण का माध्य या पैरामीटर है

- यूलर नंबर: e = 2.71828

- y = k प्राप्त करने की संभावना P है

- k सफलताओं की संख्या 0, 1,2,3 है…

- n परीक्षण या घटनाओं (नमूना आकार) की संख्या है

असतत यादृच्छिक चर, जैसा कि उनके नाम का तात्पर्य है, मौका पर निर्भर करता है और केवल असतत मान लेते हैं: 0, 1, 2, 3, 4…, k।

वितरण का मतलब निम्न द्वारा दिया गया है:

विचरण,, जो डेटा के प्रसार को मापता है, एक और महत्वपूर्ण पैरामीटर है। पॉसों वितरण के लिए यह है:

σ = μ

पॉइसन ने निर्धारित किया कि जब n → ∞, और p → 0, माध्य μ - को अपेक्षित मान भी कहा जाता है - एक स्थिर में जाता है:

-प्रत्येक घटनाओं या घटनाओं को एक दूसरे से स्वतंत्र माना जाता है और बेतरतीब ढंग से घटित होता है।

-विशेष अवधि के दौरान होने वाली एक निश्चित घटना की संभावना P बहुत छोटी है: P → 0।

-समय अंतराल में होने वाली एक से अधिक घटनाओं की संभावना 0 है।

औसत मान द्वारा दिए गए एक निरंतर का अनुमान लगाता है: μ = np (n नमूना आकार है)

-जब तक फैलाव ince μ के बराबर है, क्योंकि यह बड़े मूल्यों को अपनाता है, परिवर्तनशीलता भी अधिक हो जाती है।

-उपायों को समय अंतराल में समान रूप से वितरित किया जाना चाहिए।

घटना y के संभावित मूल्यों का सेट है: 0,1,2,3,4…।

-एक वेरिसन वितरण का अनुसरण करने वाले i वेरिएबल्स का योग भी एक अन्य पॉसन वेरिएबल है। इसका औसत मूल्य इन चरों के औसत मानों का योग है।

द्विपद वितरण के साथ अंतर

पोइसन वितरण निम्नलिखित महत्वपूर्ण तरीकों में द्विपद वितरण से भिन्न है:

-दवा का वितरण नमूना आकार n और प्रायिकता P दोनों से प्रभावित होता है, लेकिन पॉइसन वितरण केवल माध्य μ से प्रभावित होता है।

-एक द्विपद वितरण में, यादृच्छिक चर y के संभावित मान 0,1,2,…, N हैं, जबकि पॉइसन वितरण में इन मूल्यों की कोई ऊपरी सीमा नहीं है।

उदाहरण

पॉइसन ने शुरुआत में अपने प्रसिद्ध वितरण को कानूनी मामलों में लागू किया, लेकिन औद्योगिक स्तर पर, उनका सबसे पहला उपयोग बीयर पीने में था। इस प्रक्रिया में खमीर संस्कृतियों का उपयोग किण्वन के लिए किया जाता है।

खमीर में जीवित कोशिकाएँ होती हैं, जिनकी जनसंख्या समय के साथ परिवर्तनशील होती है। बीयर के निर्माण में आवश्यक मात्रा को जोड़ना आवश्यक है, इसलिए उन कोशिकाओं की मात्रा जानना आवश्यक है जो मात्रा प्रति यूनिट हैं।

द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान पॉइसन वितरण का उपयोग यह पता लगाने के लिए किया गया था कि क्या जर्मन वास्तव में कैलिस से लंदन को निशाना बना रहे थे, या सिर्फ यादृच्छिक रूप से गोलीबारी कर रहे थे। यह निर्धारित करने के लिए मित्र राष्ट्रों के लिए महत्वपूर्ण था कि नाजियों के लिए तकनीक कितनी अच्छी थी।

व्यवहारिक अनुप्रयोग

पॉइसन वितरण के अनुप्रयोग हमेशा समय में मायने रखते हैं या अंतरिक्ष में मायने रखते हैं। और चूंकि घटना की संभावना छोटी है, इसलिए इसे "दुर्लभ घटनाओं के कानून" के रूप में भी जाना जाता है।

यहां उन घटनाओं की एक सूची दी गई है जो इन श्रेणियों में से एक में आती हैं:

-एक रेडियोधर्मी क्षय में कणों का आदान-प्रदान, जो खमीर कोशिकाओं के विकास की तरह, एक घातीय कार्य है।

-किसी खास वेबसाइट पर जाने का नम्बर।

लोगों को भुगतान करने या उपस्थित होने के लिए एक पंक्ति में शामिल होना (कतार सिद्धांत)।

एक निश्चित समय अंतराल के दौरान एक सड़क पर एक निश्चित बिंदु से गुजरने वाली कारों की संख्या।

चित्रा 2. लगभग एक बिंदु से गुजरने वाली कारों की संख्या एक पॉइसन वितरण का अनुसरण करती है। स्रोत: पिक्साबे

-विकिरण के संपर्क में आने के बाद म्यूटेशन एक निश्चित डीएनए श्रृंखला में हुआ।

-एक वर्ष में 1 मीटर से अधिक व्यास वाले उल्कापिंडों की संख्या।

-एक कपड़े के प्रति वर्ग मीटर की दूरी।

1 घन सेंटीमीटर में रक्त कोशिकाओं की निरंतरता।

एक टेलीफोन एक्सचेंज के लिए प्रति मिनट कॉल।

-1 किलो केक बैटर में मौजूद चिपबोर्ड चिप्स।

-1 हेक्टेयर जंगल में एक निश्चित परजीवी द्वारा संक्रमित पेड़ों की संख्या।

ध्यान दें कि ये यादृच्छिक चर एक निश्चित समयावधि (टेलीफोन एक्सचेंज में प्रति मिनट कॉल), या किसी दिए गए क्षेत्र (फैब्रिक दोष प्रति वर्ग मीटर) के दौरान एक घटना के समय की संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं।

ये घटनाएँ, जैसा कि पहले ही स्थापित हो चुकी हैं, पिछली घटना के बाद से गुजरे समय से स्वतंत्र हैं।

पोइसन वितरण के साथ द्विपद वितरण का अनुमान लगाना

Poisson वितरण द्विपद वितरण के लिए एक अच्छा सन्निकटन है जब तक कि:

-नमूने का आकार बड़ा है: n sample 100

-संभाव्यता p छोटा है: p prob 0.1

- μ क्रम में है: np order 10

ऐसे मामलों में पॉइसन वितरण एक उत्कृष्ट उपकरण है, क्योंकि इन मामलों में द्विपद वितरण को लागू करना मुश्किल हो सकता है।

हल किया हुआ व्यायाम

अभ्यास 1

एक भूकंपीय अध्ययन ने निर्धारित किया कि पिछले 100 वर्षों के दौरान, दुनिया भर में 93 बड़े भूकंप थे, रिक्टर पैमाने पर कम से कम 6.0 -logarithmic-। मान लीजिए कि पोइसन वितरण इस मामले में एक उपयुक्त मॉडल है। खोजें:

क) प्रति वर्ष बड़े भूकंपों की औसत घटना।

बी) यदि पी (वाई) यादृच्छिक रूप से चयनित वर्ष के दौरान भूकंप आने की संभावना है, तो निम्नलिखित संभावनाएं खोजें:

यह P (2) से काफी कम है।

परिणाम नीचे सूचीबद्ध हैं:

P (0) = 0.395, P (1) = 0.367, P (2) = 0.171, P (3) = 0.0529, P (4) = 0.0123, P (5) = 0.00229, P (6) - 0.000355, P (7) = 0.0000471

उदाहरण के लिए, हम कह सकते हैं कि 39.5% संभावना है कि किसी भी वर्ष में कोई बड़ा भूकंप नहीं आएगा। या उस वर्ष में होने वाले 3 बड़े भूकंपों का 5.29% है।

समाधान c)

c) आवृत्तियों का विश्लेषण किया जाता है, n = 100 वर्ष से गुणा किया जाता है:

39.5; 36.7; 17.1; 5.29; 1.23; 0.229; 0.0355 और 0.00471 है।

उदाहरण के लिए:

- 39.5 की आवृत्ति इंगित करती है कि, 100 वर्षों में से 39.5 में, 0 बड़े भूकंप आते हैं, हम कह सकते हैं कि यह 47 वर्षों के वास्तविक परिणाम के बिना किसी भी बड़े भूकंप के काफी करीब है।

आइए वास्तविक परिणाम के साथ एक और पॉइसन परिणाम की तुलना करें:

- 36.7 प्राप्त मूल्य का मतलब है कि 37 वर्षों की अवधि में 1 महान भूकंप है। वास्तविक परिणाम यह है कि 31 वर्षों में 1 बड़ा भूकंप था, मॉडल के साथ एक अच्छा मैच।

- 2 बड़े भूकंपों के साथ 17.1 वर्ष होने की उम्मीद है और यह ज्ञात है कि 13 वर्षों में, जो कि एक करीबी मूल्य है, वास्तव में 2 बड़े भूकंप थे।

इसलिए इस मामले के लिए पॉइसन मॉडल स्वीकार्य है।

व्यायाम २

एक कंपनी का अनुमान है कि 100 ऑपरेटिंग घंटों तक पहुंचने से पहले विफल होने वाले घटकों की संख्या एक पॉइसन वितरण का अनुसरण करती है। यदि उस समय में विफलताओं की औसत संख्या 8 है, तो निम्नलिखित संभावनाएं खोजें:

क) यह घटक 25 घंटों में विफल हो जाता है।

b) 50 घंटे में दो घटकों से कम की विफलता।

c) 125 घंटों में कम से कम तीन घटक विफल होते हैं।

का हल)

a) यह ज्ञात है कि 100 घंटों में विफलताओं का औसत 8 है, इसलिए 25 घंटे में विफलताओं का एक चौथाई होने की उम्मीद है, अर्थात 2 विफलताएं। यह μ पैरामीटर होगा।

संभावना है कि 1 घटक विफल रहता है, यादृच्छिक चर "25 घंटे से पहले विफल होने वाले घटक" है और इसका मान y = 1 है। प्रायिकता फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करके:

हालाँकि, प्रश्न यह संभावना है कि दो घटक 50 घंटों में विफल हो जाते हैं, यह नहीं कि 50 घटकों में ठीक 2 घटक विफल होते हैं, इसलिए हमें उन संभावनाओं को जोड़ना चाहिए:

-नहीं फेल

- असफलता केवल १

इस मामले में वितरण का पैरामीटर μ है:

μ = μ + २ = १२५ घंटों में १० असफलताएँ।

P (3 या अधिक घटक विफल) = 1- P (0) - P (1) - P (2) =

संदर्भ

1. MathWorks। पॉसों वितरण। से पुनर्प्राप्त: es.mathworks.com
2. मेंडेनहॉल, डब्ल्यू। 1981. सांख्यिकी प्रबंधन और अर्थशास्त्र के लिए। 3। संस्करण। ग्रुपो संपादकीय Iberoamérica।
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