4 समाधान के साथ फैक्टरिंग अभ्यास - गणित - 2025

अभ्यास गुणन मदद इस तकनीक, बहुत गणित में प्रयोग किया जाता है और कुछ नियमों का एक उत्पाद के रूप में एक योग लिखने की प्रक्रिया में है समझते हैं।

शब्द गुणनखंडन कारकों को संदर्भित करता है, जो ऐसे शब्द हैं जो अन्य शब्दों को गुणा करते हैं। उदाहरण के लिए, किसी प्राकृतिक संख्या के अभाज्य गुणनखंड में शामिल अभाज्य संख्याओं को कारक कहते हैं।

यानी 14 को 2 * 7 लिखा जा सकता है। इस मामले में, 14 के प्रमुख कारक 2 और 7 हैं। यही वास्तविक चर के बहुपद पर लागू होता है।

यही है, यदि आपके पास बहुपद P (x) है, तो बहुपद को गुणन करने पर P (x) के अंश से कम के अन्य बहुपद के गुणनफल के रूप में P (x) लिखना होता है।

फैक्टरिंग

विभिन्न तकनीकों का उपयोग एक बहुपद को ज्ञात करने के लिए किया जाता है, जिसमें उल्लेखनीय उत्पाद और बहुपद की जड़ों की गणना शामिल है।

यदि हमारे पास दूसरी-डिग्री बहुपद पी (एक्स) है, और एक्स 1 और एक्स 2 पी (एक्स) की वास्तविक जड़ें हैं, तो पी (एक्स) को "ए (एक्स-एक्स 1) (एक्स-एक्स 2)" के रूप में फैक्टर किया जा सकता है। जहाँ "a" गुणांक है जो द्विघात शक्ति के साथ है।

जड़ों की गणना कैसे की जाती है?

यदि बहुपद 2 डिग्री का है, तो जड़ों की गणना "रिज़ॉल्वेंट" नामक सूत्र से की जा सकती है।

यदि बहुपद 3 या उससे अधिक डिग्री का है, तो रफिनी पद्धति का उपयोग आमतौर पर जड़ों की गणना के लिए किया जाता है।

4 फैक्टरिंग अभ्यास

पहला व्यायाम

निम्नलिखित बहुपद का कारक: P (x) = x 1-1।

उपाय

रिज़ॉल्वेंट का उपयोग करना हमेशा आवश्यक नहीं होता है। इस उदाहरण में आप एक उल्लेखनीय उत्पाद का उपयोग कर सकते हैं।

बहुपद को फिर से लिखना इस प्रकार से हम देख सकते हैं कि कौन से उल्लेखनीय उत्पाद का उपयोग करना है: P (x) = x² - 1yn।

उल्लेखनीय उत्पाद 1, वर्गों के अंतर का उपयोग करते हुए, हमारे पास है कि बहुपद P (x) को निम्नानुसार फैक्टर किया जा सकता है: P (x) = (x + 1) (x-1)।

यह आगे इंगित करता है कि P (x) की जड़ें X1 = -1 और x2 = 1 हैं।

दूसरा व्यायाम

निम्नलिखित बहुपद का कारक: Q (x) = x 8 - 8।

उपाय

एक उल्लेखनीय उत्पाद है जो निम्नलिखित कहता है: a-b (= (ab) (a ab + ab + b²)।

यह जानकर, बहुपद Q (x) को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: Q (x) = x³-8 = x³ - 2³।

अब वर्णित उल्लेखनीय उत्पाद का उपयोग करते हुए, हमारे पास है कि बहुपद Q (x) का गुणन Q (x) = x³-2³ = (x-2) (x² + 2x + 2²) = (x-2) (x² +) है 2x + 4)।

पिछले चरण में उत्पन्न होने वाले द्विघात बहुपद को कारक माना जाता है। लेकिन अगर आप इसे देखें, तो उल्लेखनीय उत्पाद # 2 मदद कर सकता है; इसलिए, Q (x) का अंतिम गुणनखंड Q (x) = (x-2) (x + 2) ization द्वारा दिया जाता है।

यह कहता है कि Q (x) की एक जड़ X1 = 2 है, और वह x2 = x3 = 2 Q (x) की दूसरी जड़ है, जिसे दोहराया जाता है।

तीसरा व्यायाम

कारक आर (x) = x² - x - 6।

उपाय

जब एक उल्लेखनीय उत्पाद का पता नहीं लगाया जा सकता है, या अभिव्यक्ति में हेरफेर करने के लिए आवश्यक अनुभव उपलब्ध नहीं है, तो हम रिज़ॉल्वेंट के उपयोग के साथ आगे बढ़ते हैं। मान इस प्रकार हैं = 1, बी = -1, और सी = -6।

एक्सएम = (-1 ((((- 1) ² - 4 * 1 * (- 6)) / 2 * 1 = (-1 ±)25) / 2 = (-1 ± 5) में सूत्र परिणाम में उन्हें प्रतिस्थापित करना।)/दो।

यहाँ से दो समाधान हैं जो निम्नलिखित हैं:

X1 = (-1 + 5) / 2 = 2

x2 = (-1-5) / 2 = -3।

इसलिए, बहुपद R (x) को R (x) = (x-2) (x - (- 3)) = (x-2) (x + 3) के रूप में विभाजित किया जा सकता है।

चौथा व्यायाम

कारक एच (x) = x³ - x H - 2x।

उपाय

इस अभ्यास में, हम सामान्य कारक x को लेकर शुरू कर सकते हैं और हम उस H (x) = x (x²-x-2) को प्राप्त करते हैं।

इसलिए, यह केवल द्विघात बहुपद का कारक है। फिर से रिज़ॉल्व का उपयोग करना, हमारे पास यह है कि जड़ें हैं:

x = (-1 √ ± ((-1) 4-4 * 1 * ((2))) / 2 * 1 = (-1 √)9) / 2 = (-1) 3) / 2।

इसलिए द्विघात बहुपद की जड़ें X1 = 1 और x2 = -2 हैं।

निष्कर्ष में, बहुपद H (x) का गुणन H (x) = x (x-1) (x + 2) द्वारा दिया जाता है।

संदर्भ

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