अंतरविरोधी: सूत्र और समीकरण, उदाहरण, अभ्यास - गणित - 2025

किसी फ़ंक्शन f (x) का एक प्रतिरूपक एफ (x) को आदिम भी कहा जाता है या बस उक्त फ़ंक्शन का अनिश्चित अभिन्न अंग है, यदि दिए गए अंतराल I में, यह पूरा हो गया है कि F´ (x) = f (x)

उदाहरण के लिए आइए निम्नलिखित कार्य करें:

f (x) = 4x ³

इस फ़ंक्शन का एक एंटीवायरिवेटिव एफ (एक्स) = एक्स ^{4 है}, क्योंकि शक्तियों के व्युत्पन्न नियम का उपयोग करते हुए एफ (एक्स) को विभेदित करना:

हम ठीक एफ (एक्स) = 4x ^{3 प्राप्त करते हैं} ।

हालाँकि, यह f (x) के कई एंटिडराइटिस में से केवल एक है, क्योंकि यह अन्य फ़ंक्शन: G (x) = x ⁴ + 2 भी है, क्योंकि जब x के संबंध में G (x) को विभेदित किया जाता है, तो इसे प्राप्त किया जाता है। बैक च (x)।

चलो पता करते हैं:

याद रखें कि एक स्थिर का व्युत्पन्न 0. है। इसलिए, हम x ⁴ शब्द में कोई भी स्थिरांक जोड़ सकते हैं और इसका व्युत्पन्न 4% ³ रहेगा ।

यह निष्कर्ष निकाला गया है कि सामान्य रूप F (x) = x ⁴ + C, जहां C एक वास्तविक स्थिरांक है, का कोई भी कार्य f (x) के एक प्रतिपक्षी के रूप में कार्य करता है।

उपरोक्त उदाहरण इस तरह व्यक्त किया जा सकता है:

dF (x) = 4x ³ dx

प्रतिपक्षी या अनिश्चित अभिन्न को प्रतीक or के साथ व्यक्त किया जाता है, इसलिए:

F (x) = ∫4x ³ dx = x ⁴ + C

जहाँ फंक्शन f (x) = 4x ³ को इंटीग्रेंड कहा जाता है, और C इंटीग्रेशन का स्थिरांक है।

हरकतों के उदाहरण

चित्रा 1. प्रतिपक्षी अनिश्चितकालीन अभिन्न से अधिक कुछ नहीं है। स्रोत: पिक्साबे

किसी फ़ंक्शन का एक एंटीडाइरेक्टिव ढूंढना कुछ मामलों में सीधा है जहां डेरिवेटिव अच्छी तरह से जाना जाता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f (x) = sin x, इसके लिए एक एंटीडाइराइवेटिव एक और फ़ंक्शन F (x) है, जैसे कि इसे अलग करते समय हम f (x) प्राप्त करते हैं।

वह कार्य हो सकता है:

F (x) = - cos x

आइए देखें कि यह सच है:

F (x) = (- cos x) - = - (-sen x) = sin x

इसलिए हम लिख सकते हैं:

∫sen x dx = -cos x + C

व्युत्पत्ति को जानने के अलावा, कुछ मूल और सरल एकीकरण नियम हैं जो कि अंतरविरोधी या अनिश्चित अभिन्न का पता लगाने के लिए हैं।

आज्ञा देना एक वास्तविक स्थिरांक है, तो:

1.--kdx = k ∫dx = kx + C

2.- -kf (x) dx = k xf (x) dx

यदि एक फ़ंक्शन h (x) को दो कार्यों के जोड़ या घटाव के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो इसका अनिश्चित एकीकरण है:

3.- ∫h (x) dx = xdx = (f (x) dx ∫ dg (x): dx

यह रैखिकता का गुण है।

अभिन्नों के लिए शक्तियों का नियम इस प्रकार स्थापित किया जा सकता है:

N = -1 के मामले के लिए, निम्नलिखित नियम का उपयोग किया जाता है:

5.- C x ^-1 dx = ln x + C

यह दिखाना आसान है कि ln x की व्युत्पत्ति ठीक x ^{-1 है} ।

विभेदक समीकरण

एक विभेदक समीकरण वह है जिसमें अज्ञात को व्युत्पन्न के रूप में पाया जाता है।

अब, पिछले विश्लेषण से, यह महसूस करना आसान है कि व्युत्क्रम में व्युत्क्रम संचालन, प्रतिपक्षी या अनिश्चित अभिन्न है।

F (x) = y´ (x), अर्थात् एक निश्चित कार्य का व्युत्पन्न है। हम इस व्युत्पत्ति को इंगित करने के लिए निम्नलिखित संकेतन का उपयोग कर सकते हैं:

यह तुरंत इस प्रकार है:

विभेदक समीकरण का अज्ञात फलन y (x) है, जिसका व्युत्पन्न f (x) है। इसे हल करने के लिए, पिछली अभिव्यक्ति को दोनों तरफ से एकीकृत किया गया है, जो कि अपक्षयी को लागू करने के बराबर है:

लेफ्ट इंटीग्रल को इंटीग्रेशन रूल 1 के द्वारा k = 1 से हल किया जाता है, इस प्रकार वांछित अज्ञात को हल किया जाता है:

और चूंकि सी एक वास्तविक स्थिरांक है, यह जानने के लिए कि प्रत्येक मामले में कौन सा उपयुक्त है, कथन में सी के मूल्य की गणना करने के लिए पर्याप्त अतिरिक्त जानकारी होनी चाहिए। इसे प्रारंभिक स्थिति कहा जाता है।

हम अगले भाग में इस सब के आवेदन के उदाहरण देखेंगे।

अंतरविरोधी व्यायाम

- अभ्यास 1

दिए गए कार्यों के निम्नलिखित प्रतिसाद या अनिश्चित अनिश्चितताओं को प्राप्त करने के लिए एकीकरण नियमों को लागू करें, परिणामों को यथासंभव सरल करें। व्युत्पत्ति द्वारा परिणाम को सत्यापित करना सुविधाजनक है।

चित्र 2. प्रतिपक्षी या निश्चित अभिन्न अंग के व्यायाम। स्रोत: पिक्साबे

का हल

हम नियम 3 को पहले लागू करते हैं, क्योंकि एकीकृत दो शब्दों का योग है:

7 (x + 7) dx = x xdx + x7dx

पहला अभिन्न शक्ति नियम लागू होता है:

∫ dx = (एक्स ² /2) + सी ₁

दूसरे अभिन्न नियम में 1 को लागू किया जाता है, जहां k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

और अब परिणाम जोड़े गए हैं। दो स्थिरांक को एक में बांटा जाता है, जिसे मूल रूप से C कहा जाता है:

∫ (x + 7) dx = (एक्स ² /2) + 7x + सी

समाधान b

रैखिकता द्वारा यह अभिन्न तीन सरल इंटीग्रल्स में विघटित हो जाता है, जिसमें बिजली नियम लागू किया जाएगा:

^/ (X ^3/2 + x ² + 6) dx = ^/ x ^3/2 dx + +x ² dx + d6 dx =

ध्यान दें कि प्रत्येक इंटीग्रल के लिए एक निरंतरता दिखाई देती है, लेकिन वे एक कॉल सी में मिलते हैं।

समाधान c

इस मामले में, एकीकृत को विकसित करने के लिए गुणन की वितरणशील संपत्ति को लागू करना सुविधाजनक है। फिर शक्ति नियम का उपयोग प्रत्येक अभिन्न को अलग-अलग खोजने के लिए किया जाता है, जैसा कि पिछले अभ्यास में किया गया था।

1 (x + 1) (3x-2) dx = 3x (3x ² -2x + 3x-2) dx = + (3x ² + x - 2) dx

सावधान पाठक ध्यान देंगे कि दो केंद्रीय शब्द समान हैं, इसलिए उन्हें एकीकृत करने से पहले कम किया जाता है:

1 (x + 1) (3x-2) dx = 23x ² dx + d x dx + x- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

समाधान ई

अभिन्न को हल करने का एक तरीका शक्ति विकसित करना होगा, जैसा कि उदाहरण d में किया गया था। हालांकि, चूंकि घातांक अधिक है, इसलिए चर को बदलना उचित होगा, ताकि इतना लंबा विकास न हो।

परिवर्तनशील का परिवर्तन इस प्रकार है:

u = x + 7

इस अभिव्यक्ति को दोनों पक्षों तक पहुँचाना:

डु = डीएक्स

अभिन्न एक नए चर के साथ एक सरल में बदल जाता है, जिसे बिजली नियम से हल किया जाता है:

7 (x + 7) ⁵ dx = du u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C

अंत में मूल चर पर लौटने के लिए परिवर्तन लौटा है:

7 (x + 7) ⁵ dx = (1/6) (x + 7) ⁶ + C

- व्यायाम २

एक कण शुरू में आराम करता है और एक्स-एक्सिस के साथ चलता है। T> 0 के लिए इसका त्वरण फ़ंक्शन a (t) = cos t द्वारा दिया गया है। यह ज्ञात है कि t = 0 पर, स्थिति x = 3 है, अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली की सभी इकाइयों में। यह कण के वेग v (t) और स्थिति x (t) को खोजने के लिए कहा जाता है।

उपाय

चूंकि त्वरण समय के संबंध में वेग का पहला व्युत्पन्न है, इसलिए हमारे पास निम्नलिखित अंतर समीकरण हैं:

a (t) = v´ (t) = cos t

यह इस प्रकार है कि:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C _१

दूसरी ओर, हम जानते हैं कि वेग स्थिति के व्युत्पन्न को चालू करता है, इसलिए हम पुन: व्यवस्थित होते हैं:

x (t) = ∫ v (t) dt = sin (sin t + C ₁) dt = +sen t dt + 1C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

एकीकरण के स्थिरांक को कथन में दी गई जानकारी से निर्धारित किया जाता है। पहली जगह में यह कहा गया है कि कण शुरू में आराम कर रहा था, इसलिए v (0) = 0:

v (0) = sin 0 + C ₁ = 0

सी ₁ = 0

फिर हमारे पास x (0) = 3 है:

x (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

गति और स्थिति कार्य निश्चित रूप से इस तरह हैं:

v (t) = sin t

x (t) = - cos t + 4

संदर्भ

1. एंगलर, ए। 2019. इंटीग्रल कैलकुलस। नेशनल यूनिवर्सिटी ऑफ लिटोरल।
2. लार्सन, आर। 2010. एक चर की गणना। 9। संस्करण। मैकग्रा हिल।
3. गणित मुक्त ग्रंथ। Antiderivatives। से पुनर्प्राप्त: math.liibretexts.org।
4. विकिपीडिया। Antiderivative। से पुनर्प्राप्त: en.wikipedia.org।
5. विकिपीडिया। अनिश्चितकालीन एकीकरण। से पुनर्प्राप्त: es.wikipedia.org।